1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 13及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 其中 A为常数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X的密度函数为 （分数：2.00）A.与 a无关，随 增大而增大B.与 a无关，随 增大而减小C.与 无关，随 a增大而增大D.与 无关，随 a增大而减小4.设随机变量 X与 Y均服从正态分布，XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 P 1 =PX 一
2、4)，p=Py+5)，则 ( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，都有 p 1 =p 2B.对任意实数 ，都有 p 1 p 2C.只对 的个别值，才有 p 1 =p 2D.对任意实数 ，都有 p 1 p 25.设 X的概率密度为 （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知随机向量(X 1 ，x 2 )的概率密度为 f 1 (x 1 ，x 2 )，设 Y 1 =2X 1 ， （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（分数：2.00）A.(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量B.Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C.Z=XY是服从
3、均匀分布的随机变量D.Z=X 2 是服从均匀分布的随机变量8.设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，则随机变量 Z=YX的概率密度 f z (z)为 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0， 1 2 )，YN(0， 2 2 )，则概率 PXY1) ( )（分数：2.00）A.随 1 与 2 的减少而减少B.随 1 与 2 的增加而增加C.随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加D.随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少10.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0，1)，YB(n，p)(0P1)，则 X+Y的分布函数
4、( )（分数：2.00）A.为连续函数B.恰有 n+1个间断点C.恰有 1个间断点D.有无穷多个间断点11.现有 10张奖券，其中 8张为 2元的，2 张为 5元的今从中任取 3张，则奖金的数学期望为 ( )（分数：2.00）A.6B.78C.9D.112二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的密度函数为 f Y (y)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_13.设二维随机变量(X，Y)在区域 （分数：2.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)在 上服从均匀分布，则条件概率 （分数：2.0
5、0）填空项 1:_15.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_16.设二维随机变量的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从参数为 1的指数分布，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_18.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部件数，则 X的方差 DX为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 y服从参数为 1的指数分布，记 （分数：2.
6、00）填空项 1:_21.已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率（分数：2.00）_24.某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采
7、购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率（分数：2.00）_25.设昆虫产 k个卵的概率为 （分数：2.00）_26.盒子中有 n个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1号球的概率（分数：2.00）_27.甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2分为止，多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率，比赛是否有可能无限地一直进行下去?（分数：2.00）_28.向半
8、径为 r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x)，并求 （分数：2.00）_29.随机地取两个正数 x和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x与 y之和不超过 1，积不小于009 的概率（分数：2.00）_30.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 （分数：2.00）_31.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.00）_32.设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，一x+求：(1)系数 A与 B；(2
9、)P(一 1X1)；(3)X的概率密度（分数：2.00）_33.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 13答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 其中 A为常数，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：3.设随机变量 X的密度函数为 （分数：2.00）A.与 a无关，随 增大而增大B.与 a无关，随 增大而减小C.与 无关，随 a增大而增大 D
10、.与 无关，随 a增大而减小解析：解析：由密度函数的性质，4.设随机变量 X与 Y均服从正态分布，XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 P 1 =PX 一 4)，p=Py+5)，则 ( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，都有 p 1 =p 2 B.对任意实数 ，都有 p 1 p 2C.只对 的个别值，才有 p 1 =p 2D.对任意实数 ，都有 p 1 p 2解析：解析：用 代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有 5.设 X的概率密度为 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：6.已知随机向量(X 1 ，x 2 )的概率密度为 f 1 (x 1 ，x 2 )，设 Y 1
11、 =2X 1 ， （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设(X 1 ，X 2 )的分布函数 为 F 1 (x 1 ,x 2 )，(Y 1 ,Y 2 )的分布函数为 F 2 (y 1 ,y 2 )，则 7.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（分数：2.00）A.(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量 B.Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C.Z=XY是服从均匀分布的随机变量D.Z=X 2 是服从均匀分布的随机变量解析：解析：当 X与 y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时，(X，Y)的概率密度为8.设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，
12、y)，则随机变量 Z=YX的概率密度 f z (z)为 ( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：记 Z的分布函数为 Fz(z)，则 19.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0， 1 2 )，YN(0， 2 2 )，则概率 PXY1) ( )（分数：2.00）A.随 1 与 2 的减少而减少B.随 1 与 2 的增加而增加C.随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加 D.随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少解析：解析：由 XN(0， 1 2 )，YN(0， 2 2 )且独立知 XYN(0， 1 2 + 2 2 )，从而 由于 (x)是 x的单调增加函数，因此当 1 增
13、加时， 减少；当 2 减少时 10.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0，1)，YB(n，p)(0P1)，则 X+Y的分布函数 ( )（分数：2.00）A.为连续函数 B.恰有 n+1个间断点C.恰有 1个间断点D.有无穷多个间断点解析：解析：记 Z=X+Y，则 Z的分布函数11.现有 10张奖券，其中 8张为 2元的，2 张为 5元的今从中任取 3张，则奖金的数学期望为 ( )（分数：2.00）A.6B.78 C.9D.112解析：解析：记奖金为 X，则 X全部可能取的值为 6，9，12，并且二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则
14、随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的密度函数为 f Y (y)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设二维随机变量(X，Y)在区域 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 如图 32阴影部分所示，它的面积 所以(X，Y)的概率密度为14.设二维随机变量(X，Y)在 上服从均匀分布，则条件概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：G 如图 33中OAB，它的面积 所以(X，Y)的概率密度为 由于关于 Y的边缘概率密度 所以 其中，D 如图 33带阴影的三角形 所以15.设二维
15、随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f(x，y)的表达式知 X与 Y相互独立，且关于 X与关于 Y的边缘概率密度分别为 由此可知，当 x0 时，由 f X (x)0 知 16.设二维随机变量的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从参数为 1的指数分布，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：X 的概率密度为18.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 010，020，0
16、30，设备部件状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部件数，则 X的方差 DX为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.46）解析：解析：X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0)=(1010)(1020)(1030)=0504，PX=1)=(1010)(1020)030+(1010)(1030)020+(1020)(1030)010=0398，PX=2)=(1010)020030+(1020)010030+(1030)010020 =0092，PX=3=010020030=0006， 所以 EX=00504+10398+20092+30006=06 E(X
17、2 )=0 2 0504+1 2 0398+2 2 0092+3 2 0006=082 DX=E(X 2 )=(EX) 2 =082=(06) 2 =04619.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设随机变量 y服从参数为 1的指数分布，记 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：21.已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：EZ=3 点：X 一 2=4三、解答题(总题数：12，分数：24.00)22.解答题解
18、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=飞机被击落，B i =飞机中 i弹，i=1，2，3则 P(A)=P(B 1 )P(AB 1 )+P(B 2 )P(AB 2 )+P(B 3 )P(AB 3 )=02P(B 1 )+06P(B 2 )+P(B 3 )设 C i =第 i个人命中)，i=1，2，3，则 )解析：24.某考生想借
19、张宇编著的张宇高等数学 18讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=该生能借到此书，B i =从第 i馆借到)，i=1，2，3则 )解析：25.设昆虫产 k个卵的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.盒子中有 n个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1号球的概率（分数
20、：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=第一次取到 1号球，B=第二次取到志号球，C=第一次取到 k号球，则有 (1)当 k=1时，因为 (2)当 k1 时，因为 )解析：27.甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2分为止，多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率，比赛是否有可能无限地一直进行下去?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=甲最终获胜，B=乙最终获胜在前两次比赛中，若“甲连胜两个回合”，记为 C 1 ，则 P(AC 1 )=1；若“乙连胜两个回合”，记为 C 2 ，
21、则 P(AC 2 )=0；若“甲、乙各胜一个回合”，记为 C 3 ，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一样，所以 P(AC 3 )=P(A)显然 P(C 1 )= 2 ，P(C 2 )= 2 ，P(C 3 )=2，由全概率公式 P(A)=P(AC 1 )P(C 1 )+P(AC 2 )P(C 2 )+P(AC 3 )P(C 3 )= 2 +0+2P(A) )解析：28.向半径为 r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x)，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 35， )解析：29.随机地取两个正数 x和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试
22、求 x与 y之和不超过 1，积不小于009 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 36所示，有 )解析：30.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX=0)=P第一个路口即为红灯)= PX=1)=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)= 以此类推，得 X的分布律为 )解析：31.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =第 i个零件是合格品，i=1，2，3，则 )解析：32.设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，一x+求：(1)系数 A与 B；(2)P(一 1X1)；(3)X的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由分布函数的性质 )解析：33.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的图形如图 37所示，则 X的分布函数为 )解析：
