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    【考研类试卷】考研数学一(无穷级数)-试卷8及答案解析.doc

    • 资源ID:1394044       资源大小:264KB        全文页数:10页
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    【考研类试卷】考研数学一(无穷级数)-试卷8及答案解析.doc

    1、考研数学一(无穷级数)-试卷 8 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.已知级数 绝对收敛,级数 (分数:2.00)A.B.C.1a3D.3.设 (分数:2.00)A.都收敛B.都发散C.发散D.收敛4.下列命题中正确的是 ( )(分数:2.00)A.若 u n v n (n=1,2,3,),则 B.若 u n n n (n=1,2,3,),且 C.若D.若 w n u n v n (n=1,2,3,),且 5.下列命题中错误的是 ( )(分数:2.0

    2、0)A.若B.若C.若D.若6.对于级数 (分数:2.00)A.若B.若C.若D.若7.下列结论正确的是(分数:2.00)A.在收敛域上必绝对收敛B.的收敛半径为 R,则 R 一定是正常数C.若D.都是幂级数8.设 (分数:2.00)A.B.C.D.9.设 a0 为常数,则 (分数:2.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关10.展开成(x 一 3)幂级数的时候,其收敛区间为 ( ) (分数:2.00)A.(-1,1)B.(-6,0)C.(-3,3)D.(0,6)11.设 f(x)=x+1(0x1),则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )(分数:2.00

    3、)A.1B.-1C.0D.二、填空题(总题数:9,分数:18.00)12.设 a 为正常数,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 a 为常数,若级数 收敛,则 (分数:2.00)填空项 1:_14.级数 (分数:2.00)填空项 1:_15.级数 (分数:2.00)填空项 1:_16.函数 (分数:2.00)填空项 1:_17.设 f(x)=x+x 2 ,一 x,且周期为 T=2当 f(x)在一 ,)上的傅里叶级数为 (分数:2.00)填空项 1:_18.常数项级数 (分数:2.00)填空项 1:_19.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_20.幂级数 (分数:2.00)填空项

    4、 1:_三、解答题(总题数:12,分数:24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_22.求 (分数:2.00)_23.求 (分数:2.00)_24.判别下列级数的敛散性(k1,a1):(1) (2) (3) (分数:2.00)_25.判别级数 (分数:2.00)_26.判别级数 (分数:2.00)_27.判别级数 (分数:2.00)_28.判别级数 (分数:2.00)_29.证明:级数 (分数:2.00)_30.已知 f n (x)满足 f n “(x)=f n (x)+x n-1 e x (n 为正整数),且 求函数项级数 (分数:2.00)_31.

    5、将函数 (分数:2.00)_32.求幂级数 的收敛域与和函数,并求 (分数:2.00)_考研数学一(无穷级数)-试卷 8 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.已知级数 绝对收敛,级数 (分数:2.00)A.B.C.1a3D. 解析:解析:设 ,则当 n时, 的敛散性相同,故 而由 条件收敛可知 03 一1,即 23若使两个结论都成立,只有3.设 (分数:2.00)A.都收敛B.都发散C.发散 D.收敛解析:解析:因为 所以级数 是满足莱布尼茨条件

    6、的交错级数,因此 是等价无穷小,且调和级数 发散,所以4.下列命题中正确的是 ( )(分数:2.00)A.若 u n v n (n=1,2,3,),则 B.若 u n n n (n=1,2,3,),且 C.若D.若 w n u n v n (n=1,2,3,),且 解析:解析:因为 w n v n v n ,所以 0u n 一 wv n 一 w n 又因为 收敛,所以 收敛因为只有当级数收敛时,才能比较其和的大小,所以不能选 A;选项 B,C 将正项级数的结论用到了一般级数上,显然不对例如取级数 可以说明 B 不对,取级数 5.下列命题中错误的是 ( )(分数:2.00)A.若B.若C.若D.

    7、若 解析:解析:由级数收敛的性质知命题 A 正确由反证法可知命题 B 正确若设 ,这两个级数都发散,但是6.对于级数 (分数:2.00)A.若B.若 C.若D.若解析:解析:因(一 1) n-1 u n =u n =u n ,由 绝对收敛,命题 B 正确A 错误:如 7.下列结论正确的是(分数:2.00)A.在收敛域上必绝对收敛B.的收敛半径为 R,则 R 一定是正常数C.若 D.都是幂级数解析:解析:由幂级数 在收敛域(一 R,R)的和函数性质可知,命题 C 正确A 错误:如 ,收敛域为(一 1,1,但在 x=1 处, 条件收敛B 错误:因为可能 R=0 或 R=+D 错误:由幂级数的定义可

    8、知8.设 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:因 收敛,由正项级数的比较审敛法知 收敛,故 绝对收敛从而收敛,故选DA,C 错,如 B 错,如9.设 a0 为常数,则 (分数:2.00)A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关解析:解析:因 收敛,因此10.展开成(x 一 3)幂级数的时候,其收敛区间为 ( ) (分数:2.00)A.(-1,1)B.(-6,0)C.(-3,3)D.(0,6) 解析:解析:因11.设 f(x)=x+1(0x1),则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )(分数:2.00)A.1 B.-1C.0D.解析:解析:要得到以 2

    9、 为周期的余弦级数 f(x)需延拓为以 2 为周期的偶函数 F(x)因 x=0 时,f(x)连续,由狄利克雷收敛定理,余弦级数在 x=0 处收敛于 F(0)=f(0)=1故选 A二、填空题(总题数:9,分数:18.00)12.设 a 为正常数,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:发散)解析:解析:13.设 a 为常数,若级数 收敛,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a)解析:解析:因级数14.级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:15.级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(一

    10、 1,1)解析:解析:16.函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:17.设 f(x)=x+x 2 ,一 x,且周期为 T=2当 f(x)在一 ,)上的傅里叶级数为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:18.常数项级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:发散)解析:解析:将已给级数每相邻二项加括号得新级数19.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:20.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1,3))解析:解析:三、解答题(总题数:

    11、12,分数:24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:22.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用级数的收敛,求数列极限或证明数列收敛若 )解析:23.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.判别下列级数的敛散性(k1,a1):(1) (2) (3) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:25.判别级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.判别级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.判别级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式, )解析

    12、:解析:这是交错级数,但不易判别u n u n+1 ,因此不能使用莱布尼茨判别法为了能确定一般项 28.判别级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因此级数 满足莱布尼茨判别法条件,是条件收敛的但级数 )解析:解析:这是交错级数,易见:u0,但u n u n-1 不成立,莱布尼茨判别法失效分母有理化后,可判定29.证明:级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 是交错级数,但不满足莱布尼茨判别条件,因为 )解析:30.已知 f n (x)满足 f n “(x)=f n (x)+x n-1 e x (n 为正整数),且 求函数项级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设条件知,函数 f n (x)满足一阶线性非齐次微分方程 f n “(x)一 f n (x)=x n-1 e x , )解析:31.将函数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:32.求幂级数 的收敛域与和函数,并求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: ,当x1 时,幂级数收敛;当x1 时, )解析:


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