1、考研数学一（无穷级数）-试卷 4 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)=x 2 (0x1)，而 S(x)= b n sinx，x(-，+)，其中 b n = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.已知级数 （分数：2.00）A.级数(1)收敛，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散4.当级数 （分数：2.00）A.一定条件收敛B.一定绝对收敛C.一定发散D.可能收敛，也可能发散5.级数 （分
2、数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与盘有关6.若正项级数 发散，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设数列a n 单调减少， （分数：2.00）A.(-1，1B.-1，1)C.0，2)D.(0，28.设 u n 0(n=1，2，)，且 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性由所给条件无法确定二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_11.若 （分数：2.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_13.函
3、数 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)在区间-，上连续且满足 f(x+)=-f(x)，则 f(x)的傅里叶系数 a 2n = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f(x)= （分数：4.00）(1).将 f(x)展开为 x 的幂级数；（分数：2.00）_(2).分别判断级数 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.证明 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求级数 （分数：2.00）_21.求函数项级数
4、e -x +2e -2x +ne -nx +收敛时 x 的取值范围；当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求 （分数：2.00）_22.设数列a n 满足以 a 1 =a 2 =1，且 a n+1 =a n +a n-1 ，n=2，3，证明：在 时幂级数 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 y(0)，y“(0)，并证明：(1-x 2 )y“-xy“=4；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_23.证明：等式 （分数：2.00）_24.求级数 （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）-试卷 4 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总
5、题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)=x 2 (0x1)，而 S(x)= b n sinx，x(-，+)，其中 b n = ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 f(x)sinnxdx(n=，2，)表达式可知，b n 是将 f(x)进行奇延拓后的函数按周期为 2 展开的傅里叶系数，S(x)是其相应的傅里叶级数的和函数，将 f(x)进行周期为 2 的奇延拓得 F(x)，S(x)为 F(x)的傅里叶级数的和函数 因 x= 处 F(x)连续，故由狄利克雷定理可知 3.已知级数 （分数
6、：2.00）A.级数(1)收敛，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散 解析：解析：设 u n = ，则u 2n 为单调增数列，故 从而级数(1)发散，由级数 4.当级数 （分数：2.00）A.一定条件收敛B.一定绝对收敛 C.一定发散D.可能收敛，也可能发散解析：解析：级数 都为正项级数，且收敛，又a n b n = 由比较审敛法， 5.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与盘有关 解析：解析：当 a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时，6.若正项级数 发散，则 ( ) （分数：2
7、.00）A.B.C. D.解析：解析：级数 a n ，由比较审敛法， 7.设数列a n 单调减少， （分数：2.00）A.(-1，1B.-1，1)C.0，2) D.(0，2解析：解析：本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题 因数列a n 单调减少，且 ，故根据莱布尼茨判别法知，交错级数 收敛，即幂级数 (x-1) n 在 x=0 处条件收敛； 又 S n = (n=1，2，)无界，所以幂级数 (x-1) n 在 x=2 处发散； 综上，幂级数 8.设 u n 0(n=1，2，)，且 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛
8、D.敛散性由所给条件无法确定解析：解析：由 所考查级数为交错级数，但不能保证 的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和 所以原级数收敛 再考查取绝对值后的级数 发散，所以二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由狄利克雷收敛定理及 f(x)的周期性可知，不管 f(x)在 x= 处是连续还是间断，其傅里叶级数的和 S()都可用 统一表示 因 f( - )=-5，f(- + )=x 2 x=- = 2 故 10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：p1）填空项 1:_ （正确
9、答案：0p1）填空项 1:_ （正确答案：p0）解析：解析：设 u n = 当 p1 时， 绝对收敛 当 0p1 时， 收敛且为条件收敛 当 p0 时， 11.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因 在 x=-3 收敛，故由阿贝尔定理，x3 时， 绝对收敛 又因 在x=-3 条件收敛，故x3 时， 发散如若不然，必存在 x 1 ，使x 1 3 且有在 x=x 1 处 收敛由阿贝尔定理便可推出xx 1 时，特别是 x=-3 时 12.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 S(x)=13.函数 （分数：2.00）
10、填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：f(x)在-，上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得 F(x)，有 F(x)f(x)，x-，由收敛定理可知： 其中傅里叶级数的系数为：a n =0，n=0，1，2，(在-，上，f(x)除去间断点 x=0 外，是奇函数，所以其傅里叶级数必为正弦级数)， 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由定理知应收敛于15.设 f(x)在区间-，上连续且满足 f(x+)=-f(x)，则 f(x)的傅里叶系数 a 2n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 第一个积分
11、令 x+=t，所以 x=t-，则 三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 f(x)= （分数：4.00）(1).将 f(x)展开为 x 的幂级数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 f(x)作初等变换，并利用几何级数 ，得 f(x)展开为 x 的幂级数 )解析：(2).分别判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x 0 =0 处的高阶导数 取 收敛因 故由极限形式的比较审敛法得 )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.证明 （分数
12、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 由待定系数法得， ，则 )解析：20.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和逐项求导的恒等变形，是常规考题。 本题要求 给出幂级数 ，其收敛区间为(-，+)， 并记其和函数 逐项积分得 )解析：21.求函数项级数 e -x +2e -2x +ne -nx +收敛时 x 的取值范围；当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)该函数项级数的通项 u n (x)=ne -nx ，u n+1 (x)
13、=(n+1)e -(n+1)x 故，当 收敛； 当 x0 时， 发散； 当 x=0 时，该级数成为 1+2+n+，显然是发散的； 所以该级数当 x0 时收敛于 S(x) )解析：22.设数列a n 满足以 a 1 =a 2 =1，且 a n+1 =a n +a n-1 ，n=2，3，证明：在 时幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然，a n 是正项严格单调增加数列，且有 a 3 =2，a 4 =a 2 +a 3 2a 3 =2 2 ，假设 a n 2 2 ，则有 a n+1 =a n +a n-1 2a n 2 n-1 ，故由归纳法得 a n 2 n-2 于是，所考虑的级
14、数的通项有 在2x1 时收敛，故由比较审敛法知，级数 在2x1，即x 时绝对收敛 (2)原幂级数化为 移项后得原幂级数的和函数为 (3)将 展开为 x 的幂级数，有 )解析：设 （分数：4.00）(1).求 y(0)，y“(0)，并证明：(1-x 2 )y“-xy“=4；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，得 y(0)=0； 以下证明微分方程成立： )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：下面求解微分方程(1-x 2 )y“-xy“=4 首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶的方法，令 y“=p，考生可以自练但是本题更好的做法是如下的分析： 微分方程两边同时乘以 是怎么推导出来的)，则有 上式两边分别积分得： 于是有 故 y(x)=2arcsin 2 x+C )解析：23.证明：等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑待证明等式右边的函数 展开为余弦级数，因 y= x是偶函数，故只要将 f(x)=x在区间-1，1上展开为傅里叶级数，其中半周期 l=1，它的傅里叶系数 b n =0，n=1，2， 因 f(x)=x在-1，1上连续，故它的傅里叶级数展开式 )解析：24.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在上述等式中，令 x=0，即得数项级数 因收敛的数项级数 移项即得)解析：
