1、考研数学一（常微分方程）-试卷 8 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x+e x B.y=C 1 x+C 2 e x +xC.y=C 1 (x 一 x)+C 2 (x 一 e x )+xD.y=C 1 (x 一 x)+C 2 (x 一 e x )3.在下列方程中，以
2、y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“一 4y“一 4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“一 y“一 4y“+4y=0D.y“一 y“+4y“一 4y=04.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，6=1，c=1B.a=1，b=1，c=一 2C.a=一 3，b=一 3，c=0D.a=一 3，b=1，c=15.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 满足初始条件 y(0)=y“(0)
3、=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于 36.方程 y“+2y“=x 2 +xe 2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=ax 2 +bx+c+x(dx+e)e 2x B.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x 2 e 2x C.y=(ax 2 +bx+c)+(dx+e)e 2x D.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e 2x 7.方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x (
4、Acos2x+Bsin2x)C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)D.y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)8.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转的旋转体体积最小，则 y(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinxf(x)dy，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.cosx+sinx 一 1B.C.eosxsinx+xe x D.cosxsinx+xe
5、 x 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.方程(y+ （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 yy“+y“ 2 =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)= （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 y x= = （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y“+y=e x cosx 满足条件 y(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_1
6、6.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 y(1)=一 （分数：2.00）填空项 1:_18.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 ，+C x x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=x 满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答
7、题(总题数：7，分数：14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x 的通解（分数：2.00）_22.求微分方程 y“一 a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y x=0 =0，y“ x=0 =一 1 的特解（分数：2.00）_23.求微分方程(1+x)y“= （分数：2.00）_24.求锯二阶微分方程 （分数：2.00）_25.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)（分数：2.00）_26.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2y
8、“sinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 8 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x+e x B.y=C 1 x+C 2 e x +xC.y=C 1 (x 一 x)+C 2 (x 一 e x )+x
9、 D.y=C 1 (x 一 x)+C 2 (x 一 e x )解析：解析：方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x 一 x 2 )和(xe x )为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+x，故选 C3.在下列方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“一 4y“一 4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“一 y“一 4y“+4y=0D.y“一 y“+4y“
10、一 4y=0 解析：解析：由通解 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x 的形式可知，所求方程的特征方程为(r 一 1).(r 2 +4)=0，即 r 3 一 r 2 +4r 一 4=0，则对应的方程为 y“一 y“+4y“一 4y=0，故选 D4.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，6=1，c=1B.a=1，b=1，c=一 2 C.a=一 3，b=一 3，c=0D.a=一 3，b=1，c=1解析：解析：由于 y=xe x +x 是方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则 xe x 是对应的
11、齐次方程的解，其特征方程有二重根 r 1 =r 2 =1，则 a=1；x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y“一 2y“+y=bx+c，得 b=1，c=一 2，故选 B5.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析：解析： 在方程 y“+py“+qy=e 3x 中，令 x=0 得 y“(0)+py“(0)+qy(0)=1， 由已知条件得 y“(0)=1 因此， 6.方程 y“+2y“=x 2 +xe 2x 的特解形式为( )（分
12、数：2.00）A.y=ax 2 +bx+c+x(dx+e)e 2x B.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x 2 e 2x C.y=(ax 2 +bx+c)+(dx+e)e 2x D.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e 2x 解析：解析：齐次方程 y“+2y“=0 的特征方程为 r 3 +2r 2 =0 其特征根为 r 1 =r 2 =0，r 3 =一 2，则方程 y“+2y“=x 2 +xe 2x 的特解形式为 y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e 2x 故选 D7.方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )（分
13、数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x) D.y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)解析：解析：齐次方程 y“一 3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0 特征根为 r 1 =1，r 2 =2，则方程y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的待定特解为 y=axe x +b+e x x(Acos2x+Bsin2x)， 故选 C8.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y
14、=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转的旋转体体积最小，则 y(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：9.设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinxf(x)dy，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.cosx+sinx 一 1B. C.eosxsinx+xe x D.cosxsinx+xe x 解析：解析：由 du(x，y)=f(x)ydx+sinx 一 f(x)dy 知二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.方程(y+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y= ）解
15、析：解析：由题干方程可知11.微分方程 yy“+y“ 2 =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：令 y“=P(y)(以 y 为自变量)，则12.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 y x= = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*(sinx 一 xcosx)）解析：解析：由题干中方程可知13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 2x +(C 2 + ）解析：解析：对应齐次微分方程的特征方
16、程为 r 2 一 4=0，解得 r 1 =2，r 2 =一 2 故 y“一 4y=0 的通解为 y 1 =C 1 e 2x +C 2 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 由于非齐次项为 f(x)=e 2x ，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y * =Axe 2x ， 代入原方程可求出 A= 故所求通解为 y=y 1 +y * =C 1 e 2x +C 2 e 2x + 14.微分方程 y“+y=e x cosx 满足条件 y(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e x sinx）解析：解析：原方程的通解为 y=e 1dx
17、(e x cosx.e 1dx dx+C) =e x (cosxdx+C)=e x (sinx+C) 由 y(0)=0 得 C=0，故所求解为 y=e x sinx15.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)）解析：解析：由题干可知，方程 y“+2y“+5y=0 的特征方程为 r 2 +2r+5=0解得 r 1,2 = 16.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项
18、1:_ （正确答案：正确答案：e x）解析：解析：齐次微分方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 r 2 +r 一 2=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =一 2，该齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x 再由 f“(x)+f(x)=2e x ， 解得 2C 1 e x +5C 2 e 2x =2e x ， 比较系数可得 C 1 =1，C 2 =0故 f(x)=e x 17.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 y(1)=一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：原方程等价为18.若二阶常系数线性齐次微
19、分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 ，+C x x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=x 满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x(1 一 e x )+2）解析：解析：由已知 y=(C 1 +C 2 x)e x 是齐次方程的通解可知，r=1 是齐次方程特征方程二重根，则特征方程为(r 一 1) 2 =0，即 r 2 一 2r+1=0则 a=一 2，b=1 设非齐次方程的一个特解为 y=Cx+d，将之代入原方程得 y * =x+2，非齐次方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x +x
20、+2 由 y(0)=2，y“(0)=0 得 19.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：由 ，两边积分，得 lny=一 lnx+C代入条件 y(1)=1，得 C=0所以 y=三、解答题(总题数：7，分数：14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“一 3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0，由此得 r 1 =2，r
21、2 =1 即对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e 2x +C 2 e x 设非齐次方程的特解为 y * =(ax+b)xe x 则 (y * )“=ax x +(2a+b)x+be x ，(y * )“=ax+(4a+b)x+2a+2be x 代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x 一 x(x+2)e x (C 1 ，C 2 为任意常数)解析：22.求微分方程 y“一 a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y x=0 =0，y“ x=0 =一 1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求微分方程(1+x)y“=
22、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 p=y“，则 y“=p“，故有 由 y“(0)=0 得 C 1 =1 或 C 1 =一 1由题意知x+11，k0，故 p“=y“0，所以 y“单调增加，又 y“(0)=0，则 x0 时，y“0，因此 C 1 =1，于是 )解析：24.求锯二阶微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u= =uu“，原方程化为 ucosy.u“+u 2 siny=u当 u=0，y=c(常数)不符合初始条件，舍去 )解析：25.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续，因此 0 t f(s)sinsds 可导，从而 f(t)可导，于是 )解析：26.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2y“sinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y“=u“secx+usecxtanx， y“=u“secx+2u“secxtanx+usecxtan 2 x+usec 3 x 代入原方程，则 u“+4u=e x 这是一个二阶常系数非齐次线性方程，其通解为 )解析：
