1、考研数学一（向量代数与空问解析几何）-试卷 2及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲面 x 2 +4y 2 +z 2 =4与平面 x+z=a的交线在 yOz平面上的投影方程是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.在曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4平行的切线( )（分数：2.00）A.只有 1条B.只有 2条C.至少有 3条D.不存在4.直线 （分数：2.00）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D
2、.为异面直线5.两条平行直线 之间的距离为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.曲线 在点(1，-1，0)处的切线方程为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.曲面 （分数：2.00）A.48B.64C.36D.168.设 a，b，c 为非零向量，则与 a不垂直的向量是 ( )（分数：2.00）A.(a.c)b-(a.b)cB.C.abD.a+(ab)a9.与直线 （分数：2.00）A.x+y+z=0B.x-y+2=0C.x+y-z=0D.x-y+z+2=010.直线 与平面 ：x-y+2z+4=0 的夹角为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.曲线 在平面 xO
3、y上的投影柱面方程是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.12.曲面 上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.过直线 （分数：2.00）填空项 1:_14.曲面 z-e z +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.两平面 x-2y+2z-4=0与 2x-y-2z-5=0的交角 = 1，它们的二面角的平分面方程为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_16.经过点 M 0 (1，-1，1)并且与两直线 （分数：2.00）填空项 1:_1
4、7.经过点 A(1，0，0)与点 B(0，1，1)的直线绕 z轴旋转一周生成的曲面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.函数 u=e z -z+xy在点(2，1，0)处沿曲面 e z -z+xy=3的法线方向的方向导数为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设向量 a=(3，-4，2)，轴 u的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，则(1)向量 a在轴 u上的投影为 1；(2)向量 a与轴 u正向的夹角 （分数：2.00）填空项 1:_20.点(1，2，3)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：12.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤。（分数：2.00）_22.求过两点 A(0，1，0)，B(-1，2，1)且与直线 x=-2+t，y=1-4t，z=2+3t 平行的平面方程（分数：2.00）_23.求函数 f(x，y)=x 2 -xy+y 2 在点 M(1，1)沿与 z轴的正向组成 角的方向 l上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于 0（分数：2.00）_24.设有方程 （分数：2.00）_25.记曲面 z=x 2 +y 2 -2x-y在区域 D：x0，y0，2x+y4 上的最低点 P处的切平面为 ，曲线 （分数：2.00）_26.设在平面区域 D上数量场 u(x，y)=50
6、-x 2 -4y 2 ，试问在点 P 0 (1，-2)D 处沿什么方向时 u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点 P 0 (1，-2)处出发沿这条路径 u(x，y)升高最快（分数：2.00）_考研数学一（向量代数与空问解析几何）-试卷 2答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲面 x 2 +4y 2 +z 2 =4与平面 x+z=a的交线在 yOz平面上的投影方程是 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题意，曲面与平面的
7、交线在 yOz平面上的投影应在 yOz平面上，故=0，因而选项(B)和(D)不对又曲面与平面的交线在 yOz平面上的投影柱面方程应不含变量 x，故选项(C)也不对应选(A)3.在曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4平行的切线( )（分数：2.00）A.只有 1条B.只有 2条 C.至少有 3条D.不存在解析：解析：对应于 t 0 处曲线切线的方向向量为 =(1，-2t 0 ，3t 0 2 )，该切线与平面 x+2y+z=4平行 与该平面的法向量 n=(1，2，1)垂直 4.直线 （分数：2.00）A.垂直B.平行C.相交但不垂直 D.为异面直线解析：
8、解析：直线 L 1 与直线 L 2 的方向向量分别为 1 =(2，3，4)， 2 =(1，1，2)，显然既不平行也不垂直直线 L 1 与直线 L 2 分别过点 M1(0，-3，0)和 M 2 (1，-2，2)混合积 5.两条平行直线 之间的距离为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：连接直线 L 1 上点 M 1 (1，-1，0)与直线 L 2 上点 M 2 (2，-1，1)的向量为 (1，0，1)，L 1 的方向向量 =(1，2，1)，则 d= 6.曲线 在点(1，-1，0)处的切线方程为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：曲面 x 2 +y 2 +
9、z 2 =2在点(1，-1，0)处的法向量为 n 1 =(2，-2，0)，平面 z+y+z=0的法向量为 n 2 =(1，1，1)，于是，曲线 S： 在点(1，-1，0)处的切向量为 =n 1 n 2 =(-2，-2，4)， 故所求切线方程为 7.曲面 （分数：2.00）A.48B.64 C.36D.16解析：解析：曲面 上任一点 P(x，y，z)处的法向量为 ，在点 P(x，y，z)处的切平面方程为8.设 a，b，c 为非零向量，则与 a不垂直的向量是 ( )（分数：2.00）A.(a.c)b-(a.b)cB.C.abD.a+(ab)a 解析：解析：因 ab a.b=0对于(A)，a.(a.
10、c)b-(a.b)c=0；对于(B)，a. 9.与直线 （分数：2.00）A.x+y+z=0B.x-y+2=0 C.x+y-z=0D.x-y+z+2=0解析：解析：设 L 1 的方向向量为 s 1 ，L 2 的方向向量为 s 2 ，平面丌的法向量为 n，则 ns 1 ，ns 2 ，故 n=s 1 s 2 = 10.直线 与平面 ：x-y+2z+4=0 的夹角为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题设知直线 L的方向向量为 s=(2，1，1)，平面丌的法向量为 n=(1，-1，2)设直线 L与平面 的夹角为 ，则 sin=11.曲线 在平面 xOy上的投影柱面方程是 (
11、) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：投影柱面方程是一个关于 x，y 的二元方程，仅(A)入选事实上，(B)中方程中含 z不可能是 L在平面 xOy上的投影的柱面方程，而(C)，(D)中方程表示曲线12.曲面 上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：令 曲面上任意一点 P 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )处的切平面方程为 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.过直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5x-y-z-3=0 或 x+y-z-1=0）解析：解析：已知直线 的一般式方程为
12、 显然平面 3x-z-2=0不符合题意，可设过该直线的平面束方程为 ：(2+3)x-y-z-(1+2)=0， 由点(2，2，2)到 的距离为 ，得 14.曲面 z-e z +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y-4=0）解析：解析：令 F(x，y，z)=z-e z +2xy-3，则 F“ x (x，y，z) (1,2,0) =4，F“ y (x，y，z) (1，2，0) =2，F“ z (x，y，z) (1，2，0) =0，所以，切平面的法向量为(4，2，0)，由点法式得出切平面的方程为2x+y-4=015.两平面 x
13、-2y+2z-4=0与 2x-y-2z-5=0的交角 = 1，它们的二面角的平分面方程为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：x+y-4z-1=0 及 x-y-3=0）解析：解析：x-2y+2z-4=0 的法向量可写为 n 1 =(1，-2，2)，2x-y-2z-5=0 的法向量 n 2 =(2，-1，-2) 求二面角的角平分面方程的方法有多种 方法一 用平面束方程： x-2y+2z-4+(2x-y-2z-5)=0， 即(2+1)z-(+2)y+(2-2)z-4-5=0 它与平面 x-2y+2z-4=0的二面角等于它与平面 2x-y-2z-
14、5=0的二面角由夹角公式可得 2+1+2(2+)+2(2-2)=2(2+1)+(2+)-2(2-2)， 即9=9，所以 =1，相应的两个平面如上所填 方法二 设点 P(x，y，z)为要求的平分面上任意一点，则该点到两平面的距离相等，即 16.经过点 M 0 (1，-1，1)并且与两直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方法一 L 1 的方向向量取 1 =(1，-2，1)L 1 上取一点，例如取点 M 1 (0，-2，3)M 0 与 M 1 连线的方向向量可取 2 =(1，1，-2)由 M 0 与 L 1 决定的平面 P 1 的法向量既与 1 垂直，又与
15、2 垂直，所以 P 1 的法向量可取 n 1 = 1 2 =(3，3，3)=3(1，1，1) 所以 P 1 的方程为 1(x-1)+1(y+1)+1(z-1)=0， 即 P 1 ：x+y+z-1=0 类似地可得由 M 1 与 L 2 决定的平面 P 2 ：2x+z-3=0 P 1 与 P 2 不平行，它们的交线就是要求的 L： 方法二 由 M 0 与 L 1 决定的平面 P 1 如式L 2 与 P 1 的交点由联立方程 解得点 M 1 (2，0，-1)点 M 0 与 M 1 连接的直线方程为 17.经过点 A(1，0，0)与点 B(0，1，1)的直线绕 z轴旋转一周生成的曲面方程是 1（分数：
16、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2 -2z 2 +2z-1=0）解析：解析：由直线方程的两点式得直线 AB的方程： 18.函数 u=e z -z+xy在点(2，1，0)处沿曲面 e z -z+xy=3的法线方向的方向导数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲面 e z -z+xy=3的法线方向为 n=(y，x，e z -1) (1，2，0) =(1，2，0)，n 0 =(1，2，0) ， 故 cos= ，cos=0.又 19.设向量 a=(3，-4，2)，轴 u的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，则(1)向量 a在轴
17、u上的投影为 1；(2)向量 a与轴 u正向的夹角 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 u轴上的单位向量为 u 0 ，则 u 0 =(cos，cos，cos)由题设知 coa 2 =cos 2 =cos 2 ，且 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1，故 3cos 2 =1，又因 为锐角，故 cos= ，则 20.点(1，2，3)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记点 M 0 (1，2，3)，M(0，4，3)，s=(1，-3，-2)， 三、解答题(总题数：6，分数：12.00)21.解答题解答应写出文
18、字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.求过两点 A(0，1，0)，B(-1，2，1)且与直线 x=-2+t，y=1-4t，z=2+3t 平行的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求平面的法向量为 n=(a，b，c)，而直线的方向向量为 s=(1，-4，3)，A，B两点连线 =(-1，1，1)，所以有 )解析：23.求函数 f(x，y)=x 2 -xy+y 2 在点 M(1，1)沿与 z轴的正向组成 角的方向 l上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设有
19、方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：欲证结论等价于 将式对 x求导得 由轮换对称性，有 式平方后相加，并在等式两端约去公因子，得 式分别乘以 x，y，z 后相加，结合式，得)解析：25.记曲面 z=x 2 +y 2 -2x-y在区域 D：x0，y0，2x+y4 上的最低点 P处的切平面为 ，曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z“ x =2x-2=0，z“ y =2y-1=0，得驻点为 ，在驻点处 A=z“ xx =2，B=z“ xy =0，C=z“ yy =2， =B 2 -AC=-40，且 A0，所以 为极小值，而驻点唯一，故 为曲面的最低点，曲面在 P处的切平
20、面 的方程为 z= 曲面 x 2 +y 2 +z 2 =6在点Q(1，1，-2)处的法向量为 n 1 =(2，2，-4)；平面 x+y+z=0在点 Q(1，1，-2)处的法向量为 n 2 =(1，1，1)；其交线在点 Q(1，1，-2)处的切向量为 n=n 1 n 2 =(2，2，-4)(1，1，1)=6(1，-1，0)，于是直线 l的方程为 ，其一般式方程为 设过直线 l的平面束方程为(x+y-2)+(z+2)=0，法向量 n =(1，1，)，而切平面的法向量 n =(0，0，1)，令 n 垂直 n ，得 =0 即直线 l在平面 上的投影 l“的方程为 到直线 l“的距离为 )解析：26.设在平面区域 D上数量场 u(x，y)=50-x 2 -4y 2 ，试问在点 P 0 (1，-2)D 处沿什么方向时 u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点 P 0 (1，-2)处出发沿这条路径 u(x，y)升高最快（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑 故 u(x，y)在点 P 0 (1，-2)处沿 gradu (1，-2) =-2i+16j方向升高最快 设所求的路径为 y=y(x)，其上任一点 P(x，y)处的切向量 =(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向 gradu=-2xi-8yj一致，则有 )解析：
