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    【考研类试卷】考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷18及答案解析.doc

    • 资源ID:1393982       资源大小:224KB        全文页数:9页
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    【考研类试卷】考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷18及答案解析.doc

    1、考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷 18及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.函数 f(x)= (分数:2.00)A.(一 1,0)。B.(0,1)。C.(1,2)。D.(2,3)。3.当 x0 时,x 一 sinx是 x 3 的( )(分数:2.00)A.低阶无穷小。B.高阶无穷小。C.等价无穷小。D.同阶但非等价无穷小。4.设 f(x)在(一,+)内有定义,且 (分数:2.00)A.x=0必是 g(x)的第一类间断点。B.x=0必是 g(x)的

    2、第二类间断点。C.x=0必是 g(x)的连续点。D.g(x)在点 x=0处的连续性与口的取值有关。5.下列各式中正确的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.6.当 x0 + 时,与 等价的无穷小量是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.设 (分数:2.00)A.b=4d。B.b=一 4d。C.a=4c。D.a=一 4c。8.设 f(x)= 在(一,+)内连续,但 (分数:2.00)A.a0,b0。B.a0,b0。C.a0,b0。D.a0,b0。9.设 f(x)= (分数:2.00)A.高阶无穷小。B.低阶无穷小。C.同阶而非等价无穷小。D.等价无穷小。10.设 f(x)在点 x

    3、0 的某邻域内有定义,且 f(x)在 x 0 处间断,则在点 x 0 处必定间断的函数是( )(分数:2.00)A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。C.f 2 (x)。D.f(x)。11.设 f(x)= (分数:2.00)A.x=0与 x=1都是 f(x)的第一类间断点。B.x=0与 x=1都是 f(x)的第二类间断点。C.x=0是 f(x)的第一类间断点,x=1 是 f(x)的第二类间断点。D.x=0是 f(x)的第二类间断点,x=1 是 f(x)的第一类间断点。二、填空题(总题数:11,分数:22.00)12.I= (分数:2.00)填空项 1:_13.(sinx+cosx)=

    4、1。 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_15.若 (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_16.已知 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_17.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_18.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_19.设 (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_20.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_21.设 (分数:2.00)填空项 1:_22.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:26.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    5、(分数:2.00)_24.设函数 f(x)在a,b上连续,x 1 ,x 2 ,x n ,是a,b上一个点列,求 (分数:2.00)_25.设 f(x)= (分数:2.00)_26.求函数 f(x)= (分数:2.00)_27.设 f(x)在 0x 时有定义,其中 为正常数,且 (分数:2.00)_28.求函数 f(x)= (分数:2.00)_29.求函数 f(x)= (分数:2.00)_30.若 x0 时, (分数:2.00)_31.求极限 (分数:2.00)_32.设 f(x,y)= ,x0,y0,求 (分数:2.00)_33.求极限 (分数:2.00)_34.求极限 (分数:2.00)_3

    6、5.当 x0 时,1 一 cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小,求 n与 a的值。(分数:2.00)_考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷 18答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.函数 f(x)= (分数:2.00)A.(一 1,0)。 B.(0,1)。C.(1,2)。D.(2,3)。解析:解析:函数 f(x)在开区间(a,b)内是否有界,需验证 f(x)在(a,b)内是否连续,且 f(x)在区间端点处的极限是否存在。 显然

    7、 x0,1,2 时,f(x)连续。而 可见 f(x)在(一 1,0)内连续,且3.当 x0 时,x 一 sinx是 x 3 的( )(分数:2.00)A.低阶无穷小。B.高阶无穷小。C.等价无穷小。D.同阶但非等价无穷小。 解析:解析:根据无穷小阶数的定义,因 4.设 f(x)在(一,+)内有定义,且 (分数:2.00)A.x=0必是 g(x)的第一类间断点。B.x=0必是 g(x)的第二类间断点。C.x=0必是 g(x)的连续点。D.g(x)在点 x=0处的连续性与口的取值有关。 解析:解析:因为 ,又 g(0)=0,故 当 a=0时, g(x)=g(0),即 g(x)在点 x=0处连续;

    8、当a0 时,5.下列各式中正确的是( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:6.当 x0 + 时,与 等价的无穷小量是( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:当 x0 时,有等价无穷小量7.设 (分数:2.00)A.b=4d。B.b=一 4d。C.a=4c。D.a=一 4c。 解析:解析:当 x0 时,由等价无穷小代换及无穷小阶的定义可知,tanx,ln(12x)均为 x的一阶无穷小;而 1一 cosx,1 一 均为 x的二阶无穷小,因此有 故有一8.设 f(x)= 在(一,+)内连续,但 (分数:2.00)A.a0,b0。B.a0,b0。C.a0,b0。D.a0

    9、,b0。 解析:解析:由题意可知 f(x)在(一,+)内恒成立,因此 a+e bx 0。 由于 e bx 0 且 e bx 在(一,+)内连续,所以 a0。 又因 9.设 f(x)= (分数:2.00)A.高阶无穷小。B.低阶无穷小。 C.同阶而非等价无穷小。D.等价无穷小。解析:解析:由洛必达法则与等价无穷小代换得 其中用到下面的等价无穷小代换:x0 时, ln(1+sin 2 x 2 )一 sin 2 x 2 x 4 ,tan(1 一 cosx) 2 一(1 一 cosx) 2 ( 10.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义,且 f(x)在 x 0 处间断,则在点 x 0 处必定间断

    10、的函数是( )(分数:2.00)A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。 C.f 2 (x)。D.f(x)。解析:解析:若 f(x)+sinx在 x=x 0 连续,则 f(x)=f(x)+sinx一 sinx在 x=x 0 连续,与已知矛盾。 因此 f(x)+sinx在 x 0 处必间断。选 B。11.设 f(x)= (分数:2.00)A.x=0与 x=1都是 f(x)的第一类间断点。B.x=0与 x=1都是 f(x)的第二类间断点。C.x=0是 f(x)的第一类间断点,x=1 是 f(x)的第二类间断点。 D.x=0是 f(x)的第二类间断点,x=1 是 f(x)的第一类间断点。解析:

    11、解析:因为二、填空题(总题数:11,分数:22.00)12.I= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:分子、分母同除以(e x ) 3 。 其中根据洛必达法则易知 13.(sinx+cosx)= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:根据洛必达法则, 对任意 x(一,+),有sinx+cosx14.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:对于不同的 x,先得出 f(x)的表达式,再讨论 f(x)的间断点。 当 x=0时,f(x)=0; 当x0 时,15.若 (分数:2.0

    12、0)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)填空项 1:_ (正确答案:一 4)解析:解析:因为 (e x 一 0)=0,得 a=1, 于是由等价无穷小代换 16.已知 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(一,0)解析:解析:由 f(x)= 及 f(x)=1 一 x,得 =1一 x,即 2 (x)=ln(1一 x), 已知(x)0,所以 (x)= 。 于是可得方程组 17.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:因为 0,arctanx 为有界函数,即arctanx ,无穷小量与有界量相乘,结果仍为无穷小量,所以18

    13、.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析: 又因为 f(x)在(一,+)内连续,f(x)必在 x=c处连续,所以 f(x)=f(c), 即 c 2 +1= 19.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:6)填空项 1:_ (正确答案:3)解析:解析:由题设条件可知 =1。 因 x0 时,分母是无穷小,故分子必是无穷小。因此 =0,由等价无穷小代换 sinxe x 一 1x, ,得 20.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:对原极限进行恒等变形,即 因为 x0 时,ln(1+x)

    14、x,e x 一 1x,cosx 一 1一 x 2 ,则有 21.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e 2)解析:解析: 当 x0 时,分母为无穷小,所以分子也为无穷小,即有 =0 因此,当 x0 时22.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:13,分数:26.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:24.设函数 f(x)在a,b上连续,x 1 ,x 2 ,x n ,是a,b上一个点列,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)在a,b上连续知,e

    15、 f(x) 在a,b上非负连续,且 0me f(x) M,其中 M,m 分别为 e f(x) 在a,b上的最大值和最小值,于是 0m M,故 )解析:25.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据复合函数的定义 (1)当 (x)1 时, 若 x0,则 (x)=x+21,即 故 x一 1; 若 x0,则 (x)=x 2 一 11,即 (2)当 (x)1 时, 若 x0则 (x)=x+21,即 故一 1x0; 若 x0,则 (x)=x 2 一 11,即 。 综上所述,有 )解析:26.求函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知, 由此可知,函数 f(

    16、x)在 x=一 3及 x=2处无定义,因而点 x=一3,x=2 不是函数的连续点,所以 f(x)的连续区间为 (一,一 3)(一 3,2)(2,+)。 根据初等函数的连续性定义得 )解析:27.设 f(x)在 0x 时有定义,其中 为正常数,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.求函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 tan(x一 处无定义,故函数 f(x)在区间(0,2,)内的间断点是 x= 在 x= 为 f(x)的可去间断点;同理,x= 也是 f(x)的可去间断点,即 x= 为第一类间断点。 在 x= 为 f(x)第二类间断点;同理,x=

    17、 )解析:29.求函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 x一 =0,得 x=1,因此 f(x)的间断点为 x=0以及 x=1和 x=一 1。故 x=0是 f(x)的第二类间断点,且是无穷间断点。 )解析:30.若 x0 时, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 x0 时, ax 2 ,因此 由等价无穷小的定义知,一 )解析:31.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:32.设 f(x,y)= ,x0,y0,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:33.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:34.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:35.当 x0 时,1 一 cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小,求 n与 a的值。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据等价无穷小的定义,可知 )解析:


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