1、考研数学一（二次型）-试卷 1 及答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.既不合同也不相似3.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.与矩阵 A= 合同的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似6.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要
2、条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数7.二次型 x T Ax 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=EC.A 的特征值全大于零D.存在 n 阶矩阵 C，使 A=C T C二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.二次型 f(
3、x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax= （分数：2.00）填空项 1:_10.假设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +ax 2 2x 3 ) 2 +(2x 2 +3x 3 ) 2 +(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2 正定，则 a 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）填空项 1:_13.若二次型 2 （分数：2.00）填空项 1:
4、_14.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形 （分数：2.00）填空项 1:_15.设三元二次型 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：32，分数：64.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 A= ，则有 A （分数：2.00）_19.设 A=(a ij )是秩为 n 的 n 阶实对称矩阵，A ij 是A中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分
5、数：2.00）_20.求正交变换化二次型 （分数：2.00）_21.已知 =(1，一 2，2) T 是二次型 x T Ax= （分数：2.00）_22.设二次型 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 （分数：2.00）_23.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a) （分数：2.00）_24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= +2x 1 x 3 2x 2 x 3 ， ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值；()若二次型 f 的规范形为 （分数：2.00）_25.设三元二次型 x T Ax= （分数：2.00）_26.
6、已知三元二次型 x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_27.用配方法把二次型 （分数：2.00）_28.用配方法化二次型 x 1 x 2 +2x 2 x 3 为标准形，并写出所用满秩线性变换（分数：2.00）_29.判断 3 元二次型 f= （分数：2.00）_30.判断 n 元二次型 （分数：2.00）_31.设 A，B 均是 n 阶正定矩阵，判断 A+B 的正定性（分数：2.00）_32.已知二次型 x T Ax 是正定二次型，x=Cy 是坐标变换，证明二次型 y T By 是正定二次型，其中 B=C T AC（分数：2.00）_33.证明二次型 x T Ax 正定的充分必要条
7、件是 A 的特征值全大于 0（分数：2.00）_34.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，证明 A T A 是对称、正定矩阵（分数：2.00）_35.已知 A，AE 都是 n 阶实对称正定矩阵，证明 EA 1 是正定矩阵（分数：2.00）_36.设 A 是 mn 矩阵，B=E+A T A，证明当 0 时，B 是正定矩阵（分数：2.00）_37.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵 ()计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_38.设 A 是 n 阶正定矩阵， 1 ， 2 ， m 是 n 维非零列向量，且 （分数：2.00）_39.设 A
8、是 n 阶实对称矩阵，AB+B T A 是正定矩阵，证明 A 可逆（分数：2.00）_40.已知 A= （分数：2.00）_41.设矩阵 A= （分数：2.00）_42.求正交变换化二次型 （分数：2.00）_43.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_44.设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 T A=0，证明 A=0（分数：2.00）_45.若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A 1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_46.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_47.设 A 是 n 阶
9、正定矩阵，证明A+2E2 n （分数：2.00）_48.已知 A= 是正定矩阵，证明= （分数：2.00）_考研数学一（二次型）-试卷 1 答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似 C.不合同但相似D.既不合同也不相似解析：解析：若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B，称 n 阶矩阵 A 与 B 相似 若存在 n 阶可逆矩阵C，使得 C T AC=B，称 n 阶矩阵 A 与 B
10、合同 A 3.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：正定的必要条件 ii 0，可排除(A)、(D) (B)中 2 =0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)4.与矩阵 A= 合同的矩阵是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由矩阵 A 的特征多项式5.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似解析：解析：由E 一 A= 3 3 2 ，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A 是实对称矩阵，A必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而二次型 x T Ax 与
11、 x T Bx 有相同的标准形，进而有相同的正、负惯性指数，所以 A 6.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数 解析：解析：(A)是充分条件特征值一样 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 A 0B (B)是必要条件由 C T AC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A= ，B= ，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同 (C)既不必要也不充分例如 A= B= 7.二次型 x T Ax
12、 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=EC.A 的特征值全大于零 D.存在 n 阶矩阵 C，使 A=C T C解析：解析：(A)是正定的必要条件若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= ，虽 q=0，但 f 不正定 (B)是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵 E 相似，但二次型 x T Ax 正定 (D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E 合同，例如 C= A=C T C= 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x
13、2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：f= (x 2 一 x 3 ) 2 由于二次型的标准形是 9.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，6，一 4 ）解析：解析：按定义，二次型矩阵 A= 由特征多项式 知矩阵 A 的特征值是：2，6，一 4 故正交变换下二次型的标准形是 所以规范形是 或，由配方法，有 亦知规范形是10.假设二次型 f(x 1 ，x 2
14、，x 3 )=(x 1 +ax 2 2x 3 ) 2 +(2x 2 +3x 3 ) 2 +(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2 正定，则 a 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a1）解析：解析： (x 1 ，x 2 ，x 3 )恒有平方和 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0，其中等号成立的充分必要条件是 (*) 按正定定义，f 正定 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 0，恒有 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0 因此，本题中二次型 f 正定 方程组(*)只有零解 11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x
15、2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= +2a 1 a 2 x 1 x 2 +2a 1 a 3 x 1 x 3 +2a 2 a 3 x 2 x 3 ， 二次型矩阵 A= 12.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：令()： 0，故()是坐标变换，那么经此坐标变换二次型化为 f= +2(y 1 +y 3 )(y 1 一 y 3 )= 13.若二次型 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
16、：*）解析：解析：r(f)=2，即 r(A)=2因A中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2 A=0由14.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 不仅合同，而且相似于是由15.设三元二次型 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：解析：二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1 =1， 2 = =1 一 t 2 0， 3 =A=5t 2 4t0， 所以
17、t( 16.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0）解析：解析：由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为 k+3，k，k又 B 正定三、解答题(总题数：32，分数：64.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 A= ，则有 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为有可逆矩阵 C= =B， 或者，由二次型 x T Ax= 有相同的正惯性指数 P=2 及相同的负惯性指数 q=0 而知 A )解析：19.设 A=(a ij )是秩为 n 的 n 阶实对称矩阵，A ij 是A中元素 a
18、ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 r(A)=n，故 A 是可逆的实对称矩阵，于是(A 1 ) T =(A T ) 1 =A 1 ， 即 A 1 是实对称矩阵，那么 是对称的，因而 A * 是实对称矩阵，可见 A ij =A ji (i，j=1，2，n)，于是 )解析：解析：按定义，若 F(X)=X T BX，其中 B 是实对称矩阵，则 X T BX 就是二次型 f 的矩阵表示，而两个二次型的规范形是否一样关键是看正负惯性指数是否一致20.求正交变换化二次型 （分数：2.00）_正确答案：(
19、正确答案：二次型矩阵是 A= 由特征多项式 得到 A 的特征值是 3，一 1，0 对 =3，由(3EA)x=0，即 ，解得 1 =(1，一 1，2) T 类似地，对 =1， 2 =(1，1，0) T ； =0 时， 3 =(一 1，1，1) T 特征值无重根，仅需单位化： 构造正交矩阵C= ，那么令 x=Cy，二次型 x T Ax=3 )解析：21.已知 =(1，一 2，2) T 是二次型 x T Ax= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A= 设 =(1，一 2，2) T 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 于是 从而 A= 由特征多项式 可知矩阵 A 的特征值为 0
20、，0，9 对=0，由(0E 一 A)x=0 得基础解系 1 =(2，1，0) T ， 2 =(一 2，0，1) T 因为 1 ， 2 不正交，故需 Schmidt 正交化，即 1 = 1 =(2，1，0) T ， 2 = 2 一 (一 2，4，5) T 把 1 ， 2 ， 单位化，得 那么经正交变换 因此，二次型化为标准形 x T Ax=y T Ay= )解析：22.设二次型 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 由于是用正交变换化为标准形，故 A与 B 不仅合同而且相似那
21、么 1+1+1=3+3+b= b=3 对 =3，由(3EA)x=0 得特征向量 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，一 1) T ； 对 =3，由(一 3EA)x=0 得特征向量 3 =(1，1，1) T 因为 =3 是二重根，对 1 ， 2 正交化有 1 = 1 =(1，一 1，0) T ， 单位化，有 令 C=( 1 ， 2 ， 3 )= ，经 x=Cy，二次型化为 )解析：23.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型矩阵 A= 二次型的秩为 2，即二次型矩阵 A 的秩为 2， 从而 A=2 =8a
22、=0，解得 a=0 ()当 a=0 时，A= ，由特征多项式 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2EA)x=0， 得特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =0 时，由(0EA)x=0， ，得特征向量 3 =(1，一 1，0) T 容易看出， 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 那么令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= ，则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=y T Ay= ()由 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=
23、 =0，得 )解析：24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= +2x 1 x 3 2x 2 x 3 ， ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值；()若二次型 f 的规范形为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型 f 的矩阵为 A= ，其特征多项式为 所以二次型 f 矩阵 A 的特征值为 1 =a， 2 =a+1， 3 =a 一 2 ()因为二次型 f 的规范形是 )解析：25.设三元二次型 x T Ax= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型矩阵是 A= 由于 r(A)=P+q=2，所以A=(a1) 2 (a+2)=0 若 a=1，则 r(A)=1 不
24、合题意，舍去若 a=2，由特征多项式 得出 A 的特征值为3 与 0P=q=1合于所求故 a=2 当 =3 时，由(3EA)x=0，得特征向量 1 =(1，0，1) T ； 当 =3 时，由(一 3EA)x=0，得特征向量 2 =(1，一 2，一 1) T ； 当 =0 时，由(0EA)x=0，得特征向量 3 =(一 1，一 1，1) T 由于特征值不同特征向量已正交，单位化得 那么令 Q：( 1 ， 2 ， 3 )，则经正交变换 x=Qy，有 f=x T Ax = ()如 A=，则 A n = n ，那么 B=(A 3 5A+E)=( 3 5+1) 因为 A 的特征值是 3，一 3，0，所以
25、 B 的特征值是 13，一 11，1从而 x T Bx 的规范形是 )解析：26.已知三元二次型 x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 x T Ax 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A 的特征值 又 所以 3是 A 的特征值，(1，2，1) T 是 3 的特征向量；一 1 也是 A 的特征值，(1，1，1) T 是一 1 的特征向量 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 即 解出 =0 的特征向量是(1，0，一 1) T 那么 所以 因此 x T Ax= +16x 1
26、 x 2 +2x 1 x 3 +16x 2 x 3 ) 令 Q= ，则经正交坐标变换 x=Qy 有 x T Ax=y T = )解析：27.用配方法把二次型 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f=2 +x 3 (x 1 x 2 )2x 1 x 2 =2(x 3 + (x 1 x 2 ) 2 2x 1 x 2 =2(x 3 + (x 1 +x 2 ) 2 ， 令 )解析：28.用配方法化二次型 x 1 x 2 +2x 2 x 3 为标准形，并写出所用满秩线性变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 f=(y 1 +y 2 )(y 1 一 y 2 )+2(y 1 y 2 )y
27、3 = +2y 1 y 3 2y 2 y 3 =(y 1 +y 3 ) 2 一(y 2 +y 3 ) 2 再令 则二次型的标准形是 f= 而所用坐标变换为 )解析：解析：二次型中不含平方项，故应先作一次坐标变换构造出平方项，再按前例实施配方29.判断 3 元二次型 f= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用配方法化 f 为标准形 f=(x 1 +2x 2 ) 2 +(x 2 2x 3 ) 2 一 )解析：30.判断 n 元二次型 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(顺序主子式) 二次型矩阵 其顺序主子式 )解析：31.设 A，B 均是 n 阶正定矩阵，判断 A+B 的正定性（分
28、数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用定义) 因为 A，B 均是正定矩阵，故 A，B 都是对称矩阵，那么(A+B) T =A T +B T =A+B即 A+B 是对称矩阵又因 )解析：32.已知二次型 x T Ax 是正定二次型，x=Cy 是坐标变换，证明二次型 y T By 是正定二次型，其中 B=C T AC（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： y 0 0，设 x 0 =Cy 0 ，由矩阵 C 可逆知 x 0 0，那么由 x T Ax 是正定二次型而知 )解析：33.证明二次型 x T Ax 正定的充分必要条件是 A 的特征值全大于 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对
29、二次型 x T Ax，存在正交变换 X=Qy 化其为标准形 ，其中 1 ， 2 ， n 是矩阵 A 的特征值由题知，x T Ax 正定 正定 )解析：34.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，证明 A T A 是对称、正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(与 E 合同) 因为(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，所以 A T A 是对称矩阵 由于 A T A=A T EA，且 A 是可逆矩阵，所以 A T A 与 E 是合同矩阵，从而 A T A 是正定矩阵)解析：35.已知 A，AE 都是 n 阶实对称正定矩阵，证明 EA 1 是正定矩阵（分数：2.00）_正
30、确答案：(正确答案：(特征值法) 由(E 一 A 1 ) T =E T 一(A 1 ) T =E 一(A T ) 1 =EA 1 知，EA 1 是对称矩阵设 1 ， 2 ， n 是 A 的特征值，则 AE 与 EA 1 的特征值分别是 1 一 1， 2 1， n 一 1 与 1 一 由于 AE 正定，其特征值 i 一 1 全大于 0，那么 )解析：36.设 A 是 mn 矩阵，B=E+A T A，证明当 0 时，B 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(定义法) 因为 B T =(E+A T A) T =E+A T A=B，故 B 是 n 阶实对称矩阵， n 维实向量 x0，有
31、 x T Bx=x T x+x T A T Ax=x T x+(Ax) T (Ax)=x 2 +Ax 2 由于 x0，0，恒有 x 2 0，而Ax 2 0，因此 x T Bx0( )解析：37.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵 ()计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 P T = ，则 ()由()知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 BC T A 1 C 是对称矩阵 对 m 维向量 X=(0，0，0) T 和任意 n 维非 0 向量 Y=(y 1 ，y 2 ，
