1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 17 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：1，分数：2.00)1.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，则e -x f(e -x )dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：28，分数：56.00)2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_3.设 F(x)是 f(x)的原函数，且当 x0 时有 f(x)F(x)=sin 2 2x，又 F(0)=1，F(x)0，求 f(x)。（分数：2.00）_4.求 （分数：2.00）_5.求(sinx+cosx)dx。（分数：2.00
2、）_6.求 （分数：2.00）_7.求 （分数：2.00）_8.求 （分数：2.00）_9.求 （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.求 （分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.计算不定积分 （分数：2.00）_15.已知 （分数：2.00）_16.求不定积分(arcsinx) 2 dx。（分数：2.00）_17.求不定积分 （分数：2.00）_18.求不定积分 （分数：2.00）_19.计算不定积分 （分数：2.00）_20.计算不定积分 J n = （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）
3、_23.求 （分数：2.00）_24.设 f(x)在区间0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 f(0)= 0 1 f(x)dx= （分数：2.00）_25.设 f(x)为二次函数，且满足 f(x)=x 2 一 x 0 2 f(x)dx+2 0 1 f(x)dx，试求 f(x)。（分数：2.00）_26.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 f(x)0，g(x)非负，求 （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：对任意的 c(a，b)，有 f(c) （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_29
4、.求 0 2 sinxdx。（分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 17 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：1，分数：2.00)1.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，则e -x f(e -x )dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 F(e -x )+C）解析：解析：因为 F(x)是 f(x)的一个原函数，所以，F(x)=f(x)。令 u=e -x ，则 e -x f(e -x )dx=一f(e -x )de -x =一f(u)du=一 F(u)+C=一 F(e -x )+C。二、解答题(总题数：28，
5、分数：56.00)2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：3.设 F(x)是 f(x)的原函数，且当 x0 时有 f(x)F(x)=sin 2 2x，又 F(0)=1，F(x)0，求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 F(x)=f(x)，所以 F(x)F(x)=sin 2 2x。等式两端积分，得 F(x)F(x)dx=sin 2 2xdx， 即 F(x)dF(x)=sin 2 2xdx， 故有 sin4x+C， 由 F(0)=1 得，C= ，因为 F(x)0，所以 )解析：4.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5
6、.求(sinx+cosx)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(sinx+cosx)dx=sinxdx+cosxdx=一 cosx+sinx+C。)解析：6.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=tanu，则 dx=sec 2 udu， )解析：12.求 （分数：2.
7、00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=tant，则 t=arctanx，dx=sec 2 tdt，于是 =e t sintdt， 又 e t sintdt=一e t dcost=一(e t cost 一e t costdt) =一 e t cost+e t sint 一e t sintdt， )解析：15.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得 )解析：16.求不定积分(arcsinx) 2 dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由
8、换元积分法及分部积分法，令 u=arcsinx，则 x=sinu，dx=cosudu，于是 (arcsinx) 2 dx=u 2 cosudu=u 2 d(sinu) =u 2 sinu 一2usinudu=u 2 sinu+2ucosu 一 2sinu+C =x(arcsinx) 2 +2 )解析：17.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，利用比较系数法可求得 A=1，B=2，C 一 1，因此 ，所以 )解析：20.计算不定积分
9、 J n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由三角函数可知，sinx 与 cosx 都可以用 tan 的有理式表示，即 )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在区间0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 f(0)= 0 1 f(x)dx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，则由牛顿一莱布尼茨公式及积分中值定理，有 0 1 f(x)dx=F(1)一 F(0)=F(c
10、)(1 一 0)=f(c)，其中 c(0，1)，再由积分中值定理得 ，于是有 f(0)=f(c)=f(x 0 )。 从而 f(x)满足罗尔定理的条件，故存在 1 (0，c)， 2 (c，x 0 )，使得 f()=f( 2 )=0，再次利用罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：25.设 f(x)为二次函数，且满足 f(x)=x 2 一 x 0 2 f(x)dx+2 0 1 f(x)dx，试求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因定积分是一个数值，故可令 0 2 f(x)dx=a， 0 1 f(x)dx=b， 于是 f(x)=x 2 一 ax+2b，将其代入上面两式，得 0
11、 2 (x 2 一 ax+2b)dx=a， 0 1 (x 2 一 ax+2b)dx=b。 )解析：26.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 f(x)0，g(x)非负，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上有最大值 M 及最小值 m，又由于f(x)0，所以 Mm0。又已知 g(x)非负，因此 )解析：27.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：对任意的 c(a，b)，有 f(c) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由牛顿一莱布尼茨公式得 f(c)一 f(a)= a c f(x)dx，f(b)一
12、 f(c)= c b f(x)dx， 因为 f(a)=f(b)=0，所以有 )解析：28.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=f(c)，由积分中值定理得 a b f(x)dx=f(x 0 )(ax 0 b)。 由牛顿一莱布尼茨公式的形式得 f(c)=f(x 0 )+ f(x)dx，于是 )解析：29.求 0 2 sinxdx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0，时，sinx=sinx；当 x，2时，sinx=一 sinx。由定积分的可加性及牛顿一莱布尼茨公式有 0 2 sinxdx= 0 sinxdx+ 2 sinxdx = 0 sinxdx 一 2 sinxdx =(cosx) 0 +cosx 2 =一(cos 一 cos0)+(cos2 一cos) =2+2 =4。)解析：
