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    【考研类试卷】考研数学一(一元函数积分学)-试卷1及答案解析.doc

    • 资源ID:1393961       资源大小:183KB        全文页数:8页
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    【考研类试卷】考研数学一(一元函数积分学)-试卷1及答案解析.doc

    1、考研数学一(一元函数积分学)-试卷 1 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x-4 所围成的图形的面积为 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.曲线 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:11,分数:22.00)5.设

    2、 f(x)连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_6.设 n 是正整数,则 (分数:2.00)填空项 1:_7.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_8.定积分中值定理的条件是 f(x)在a,b上连续,结论是 1(分数:2.00)填空项 1:_9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_10.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_11.反常积分 (分数:2.00)填空项 1:_12.反常积分 (分数:2.00)填空项 1:_13.曲线 9y 2 =4x 3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 1(分数:2.00)填空项 1:_14.由曲线 y=x 3 ,y=0 及 x=1 所围图

    3、形绕 z 轴旋转一周得到的旋转体的体积为 1(分数:2.00)填空项 1:_15.函数 y=lnx 在区间1,e上的平均值为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 f(x),g(x)在a,b上连续,证明:至少存在一点 (a,b),使得 (分数:2.00)_18.设 f(x)在区间0,1上连续,在(0,1)内可导,且满足 (分数:2.00)_19.设函数 f(x)有连续导数,F(x)= (分数:2.00)_20.f(x)在0,1上有连续导数,且 f(0)=0,证明:存在 0,1,使得 (分数:

    4、2.00)_21.设 f(x)在a,b上连续且严格单调增加,证明: (分数:2.00)_22.设函数 f“(x)在a,b上连续,且 f(a)=0,证明: (分数:2.00)_23.设 f(x),g(x)在0,1上的导数连续,且 f(0)=0,f“(x)0,g“(x)0证明:对任何 a0,1,有 (分数:2.00)_24.设 f(x)在0,上连续,在(0,)内可导,且 (分数:2.00)_设函数 f(x)在a,b上有连续导数,在(a,6)内二阶可导,且 (分数:4.00)(1).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()=f();(分数:2.00)_(2).在(a,b)内至少存在一点 ,使得

    5、f“()=f()(分数:2.00)_25.设 f(x)在a,b上连续,且 g(x)0,证明:存在一点 a,b,使 (分数:2.00)_设 f(x)在区间-a,a(a0)上具有二阶连续导数,f(0)=0,(分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(分数:2.00)_(2).证明:在-a,a上存在 ,使 (分数:2.00)_26.设 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 f(0).f(1)0,f(1)+ (分数:2.00)_27.f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导, (分数:2.00)_28.设 ab,证明:不等式 (分数:2.00)_29.设 f(

    6、x),g(x)在a,b上连续,且满足 (分数:2.00)_考研数学一(一元函数积分学)-试卷 1 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:3.抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x-4 所围成的图形的面积为 ( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:选积分变量为 y(如图 13-2),两条曲线的交点4.曲线

    7、上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:二、填空题(总题数:11,分数:22.00)5.设 f(x)连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:xf(x 2 ))解析:解析:6.设 n 是正整数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: 当 f(x)+f(a+b-x)便于积分时可简化定积分7.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:8.定积分中值定理的条件是 f(x)在a,b上连续,结论是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答

    8、案:正确答案:在a,b上至少存在一点 ,使 )解析:9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:10.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 ,则 x=t 2 +2,dx=2tdt, 原积分= 11.反常积分 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:12.反常积分 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:13.曲线 9y 2 =4x 3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:

    9、解析:曲线方程可化为 ,弧长元素14.由曲线 y=x 3 ,y=0 及 x=1 所围图形绕 z 轴旋转一周得到的旋转体的体积为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:该旋转体体积15.函数 y=lnx 在区间1,e上的平均值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:平均值三、解答题(总题数:16,分数:34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:17.设 f(x),g(x)在a,b上连续,证明:至少存在一点 (a,b),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记 G(x)= 求得 G(x

    10、)的原函数 F(x)= ,其中 C 为任意常数因为 f(x),g(x)在a,b上连续,所以 F(x):(1)在a,b上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)F(a)=F(b)=C,即 F(x)在a,b上满足罗尔定理,所以,至少存在一个 (a,b),使得 F“()=0,即 )解析:18.设 f(x)在区间0,1上连续,在(0,1)内可导,且满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由积分中值定理,得 令 F(x)= ,则 F(x)在 1 ,1上连续,在( 1 ,1)内可导,且 F(1)=f(1)= f( 1 )=F( 1 ) 由罗尔定理,在( 1 ,1)内至少有一点,使得 F“()= f“

    11、()-2f()=0, 于是 f“()=2f(),( 1 ,1) )解析:19.设函数 f(x)有连续导数,F(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:F(2a)-2F(a) )解析:20.f(x)在0,1上有连续导数,且 f(0)=0,证明:存在 0,1,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f“(x)在0,1上连续,所以,f“(x)在0,1上有最小值和最大值,设为m,M,即有 x 1 ,x 2 0,1,使 f“(x 1 )=m,f“(x 2 )=M 由中值定理,对任意 x0,1,存在(0,x),使 f(x)=f(x)-f(0)=f“()x,于是有 f“(x 1 )x

    12、=mxf(x)=f(x)-f(0)=f“()xMx=f“(x 2 )x, 因为 f“(x)在0,1上连续,由介值定理,必有 x 1 ,x 2 0,1,或 x 2 ,x 1 0,1,使 f“()= )解析:21.设 f(x)在a,b上连续且严格单调增加,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(t)= 因为 axt,且 f(x)在a,b上严格单调增加,所以 f(x)-f(t)0,于是有 即 F(t)单调递减,又 F(a)=0,所以 F(b)0,从而(a+b) )解析:22.设函数 f“(x)在a,b上连续,且 f(a)=0,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为

    13、f 2 (x)=f(x)-f(a) 2 = ,而 )解析:23.设 f(x),g(x)在0,1上的导数连续,且 f(0)=0,f“(x)0,g“(x)0证明:对任何 a0,1,有 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(a)= f(x)g“(x)dx-f(a)g(1),a0,1,则 F“(a)=g(a)f“(a)-f“(a)g(1)=f(a)g(a)-g(1) 因为 x0,1时,f“(x)0,g“(x)0,即函数 f(x),g(x)在0,1上单调递增,又 a1,所以 F“(a)=f“(a)g(a)-g(1)0, 即函数 F(a)在0,1上单调递减,又 )解析:24.设 f(x)在0,

    14、上连续,在(0,)内可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先证明 f(x)在(0,)内必有零点 因为在(0,)内 f(x)连续,且sinx0,所以,若无零点,则恒有 f(x)0 或 f(x)0,从而有 ,与题设矛盾 所以,f(x)在(0,)内必有零点 下面证明 f(x)在(0,)内零点不唯一,即至少有两个零点用反证法假设 f(x)在(0,)内只有一个零点 x 0 ,则 f(x)在(0,x 0 )和(x 0 ,)上取不同的符号(且不等于零),否则与 矛盾这样,函数 sin(x-x 0 )f(x)在(0,x 0 )和(x 0 ,)上取相同的符号,即恒正或恒负 那么有: )解析:设函

    15、数 f(x)在a,b上有连续导数,在(a,6)内二阶可导,且 (分数:4.00)(1).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()=f();(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由加强型的积分中值定理知,至少存在一点 c(a,b),使得 )解析:(2).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()=f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 F(x)=e x f“(x)-f(x),则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 F( 1 )=F( 2 )=0,则 F“(x)=e x f“(x)-f“(x)+e x f“(x)-f(x)=e x f“(x)-f(x) 对 F(x

    16、)在区间 1 , 2 上应用罗尔定理,即存在 ( 1 , 2 ),使得 F“()=0,故有 f“()=f(),且 i (i=1,2)解析:25.设 f(x)在a,b上连续,且 g(x)0,证明:存在一点 a,b,使 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 f(x)在a,b上连续,故 mf(c)M 因为 g(x)0,mg(x)f(x)g(x)Mg(x),)解析:设 f(x)在区间-a,a(a0)上具有二阶连续导数,f(0)=0,(分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对任意 x-a,a, )解析:(2).证明:在

    17、-a,a上存在 ,使 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 f“(x)在-a,a上连续,由最值定理:mf“(x)M,x-a,a mx 2 f“()x 2 Mx 2 , )解析:26.设 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 f(0).f(1)0,f(1)+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= =f(1)+f(c)=0,C(0,1),由此可知 f(c)0,否则 f(1)=0,与题设 f(0)f(1)0 矛盾,不妨设 f(c)0,则 f(1)0,f(0)0 由连续函数的零点定理知存在a(0,c),b(c,1),使 f(a)=f(b)=0,即 F(a)=F(b),由罗尔定理可知,存在 (a,b),使 F“()=0,即 )解析:27.f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=xe -x f(x),因 f(1)= F(1)=e -1 f(1)=e - f()=F(), 故在,1 0,1上,对 F(x)运用罗尔定理,可得 (,1) )解析:28.设 ab,证明:不等式 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:构造辅助函数 )解析:29.设 f(x),g(x)在a,b上连续,且满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 xa,b)时, )解析:


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