1、考研数学一分类真题一元函数积分学及答案解析(总分：65.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：14，分数：26.00)1.由曲线 y=lnx 与两直线 y=(e+1)-x 及 y=0 所围成的平面图形的面积是_（分数：2.00）填空项 1:_2.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_3.设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x+ （分数：2.00）填空项 1:_4.函数 （分数：2.00）填空项 1:_5.=_ （分数：2.00）填空项 1:_6.=_ （分数：2.00）填空项 1:_7.=_ （分数：2.00）填空项 1:_8.=_ （分数：2.00）填
2、空项 1:_9.已知 f(ex)-xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_（分数：2.00）填空项 1:_10.=_ （分数：1.00）填空项 1:_11.=_ （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_13.=_ （分数：2.00）填空项 1:_14.=_ （分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：19，分数：19.00)15.设 f(x)为已知连续函数， （分数：1.00）A.B.C.D.16.设 f(x)是连续函数，且 F(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.17.设 （分数：1.00）A.B.C.D.18.双纽线(x 2+y2
3、)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.19.设 （分数：1.00）A.B.C.D.20.设 f(x)有连续导数，f(0)=0，f(0)0，F(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.21.设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f(x)0令 S1= -a)，S 3= （分数：1.00）A.B.C.D.22.设 F(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.23.设 f(x)连续，则 （分数：1.00）A.B.C.D.24.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则 _ A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数
4、 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数 C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数 D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数（分数：1.00）A.B.C.D.25.把 a0 +时的无穷小量 （分数：1.00）A.B.C.D.26.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有 _ AF(x)是偶函数 f(x)是奇函数 BF(x)是奇函数 f(x)是偶函数 CF(x)是周期函数f(x)是周期函数 DF(x)是单调函数 （分数：1.00）A.B.C.D.27.如图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图
5、形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 ，则下列结论正确的是 _ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.28.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形为 则函数 的图形为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.29.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：1.00）A.B.C.D.30.=_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.31.设 （分数：1.00）A.B.C.D.32.设 （分数：1.00）A.B.C.D.33.若 （分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：4，分
6、数：20.00)过坐标原点作曲线 y=Inx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴同成平面图形D（分数：4.00）(1).求 D 的面积 A；（分数：2.00）_(2).求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)，汽锤第一次击打将桩打进地下 am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0r1)问（分数：6.00）(1).汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?（
7、分数：2.00）_(2).若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m 表示长度单位米)（分数：2.00）_(3).如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1与 l2分别是由线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(24)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：2.00）_设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).利用定义证明函数 （分数：2.00）_(2).当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 （分数：2.00）_(1).比较 与 （分数：2.00）_(2).记 (n=1，2，)，求极限 （分数：2.0
8、0）_(3).计算 ，其中 （分数：2.00）_考研数学一分类真题一元函数积分学答案解析(总分：65.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：14，分数：26.00)1.由曲线 y=lnx 与两直线 y=(e+1)-x 及 y=0 所围成的平面图形的面积是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：这种求面积问题一般先画草图(见下图)，然后确定积分表达式 * 解 1 令 lnx=0，得 x=1；令e+1-x=0，得 x=e+1；令 lnx=e+1-x，得 x=e则所求面积为 * 解 2 对 y 积分，则所求面积为 * 本题主要考查利用定积分求面积，显然解 2 较解
9、1 方便2.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 等式*f(t)dt=x 两边对 x 求导，得3x2f(x3-1)=1令 x=2，得12f(7)=1，f(7)=*本题主要考查变上限积分求导3.设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x-1）解析：解 1 令*，则 f(x)=x+2a将 f(x)=x+2a 代入*，得 *，即 *+2a=a，由此可得 a=* 则 f(x)=x-1 解 2 等式 f(x)=x+*两端从 0 到 1 对 x 积分得 * 即 *，由此可知 从而可知 f(x)=x-1 本题
10、主要考查定积分的计算本题的关键是要注意*是个常数，只要定出这个常数，f(x)便可求得4.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 F(x)=*(x0) 令*，解得* 则 F(x)单调减少区间为* 本题主要考查变上限求导和函数单调性的判定5.=_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 由于* 所以 * 本题主要考查变上限积分求导6.=_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：sinx 2）解析：解 令 x-t=u，则 * 本题主要考查定积分变量代换和变上限积分求导7.=_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 1 *解
11、2 由定积分的几何意义知，积分*应等于圆 x2+y2=2x 围成面积的*，此圆半径为 1，其面积为*，故*本题主要考查定积分换元法(解 1)，但显然解 2 最好8.=_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解 * 本题主要考查广义积分计算9.已知 f(ex)-xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 令 ex=t，则 x=Int，代入 f(ex)=xe-x得*由 f(1)=0 知，C=0，故 f(x)=*本题主要考查对 f(ex)的理解和不定积分解决此类问题的方法是先作变量代换求出 f(t)，然后积分便可求得 f
12、(t)10.=_ （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 1 * 解 2 令*，则 * 本题主要考查计算定积分的分部积分法11.=_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：解 令*，则 x=t2，dx=2tdt原式=*=-4本题主要考查定积分的计算方法重点是两种方法，即换元积分法和分部积分法12.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解* 则 * 本题主要考查平面曲线弧长计算和变上限积分求导13.=_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 1 由于*令 x-1=sint, 则 dt=costdt*解 2 由于
13、*令 x-1=t, 则 dx=dt*本题是一道定积分计算的基本题，用到定积分计算中很多常用方法和结论、换元法(x-1=sint, x-1=t), 其中结论*定积分几何意义：*(单位圆 x2+y21 面积的*)14.=_ （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(ln2)）解析：* 本题主要考查反常积分的计算.二、B选择题/B(总题数：19，分数：19.00)15.设 f(x)为已知连续函数， （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 * 由此可见，I 的值只与 S 有关，所以应选 D 本题主要考查定积分的概念和变量代换16.设 f(x)是连续函数，且 F(x)= （分数：1.00）A
14、. B.C.D.解析：解 由*可知F(x)=-e-xf(e-x)-f(x)故应选 A本题主要考查变上限积分求导17.设 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 因为* 所以，当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价的无穷小 本题主要考查无穷小量阶的比较和变上限积分求导18.双纽线(x 2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为_A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：双纽线(x 2+y2)2=x2-y2所围成的图形关于 y 轴和 x 轴都对称因此，所求面积应为第一象限的 4倍而在计算双纽线围成的面积时应用极坐标方程 r2=cos2，并且应特别注意在
15、第一象限 的取值范围应是 0*，而不是 0*解 设双纽线在第一象限围成的面积为 S1，则*所求面积为 *所以应选 A本题主要考查平面图形的面积计算19.设 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：注意本题中所给三个定积分的积分区间都是关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性 解 由被积函数的奇偶性可知 M=0 N=* P=* 因此 PMN，故应选 D 本题主要考查关于原点对称区间上奇偶函数积分的性质20.设 f(x)有连续导数，f(0)=0，f(0)0，F(x)= （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解 1 F(x)=*F(x)=*由于*=f(0)0，而上式右端极限存在且为非零常数
16、，则 k=3，所以应选 C解 2 由原题知当 x0 时，F(x)与 xk为同阶无穷小，换句话说，当 x0 时，F(x)是 x 的 k 阶无穷小，本题要决定 k，即要决定当 x0 时，F(x)是 x 的几阶无穷小，如果能决定 F(x)是 x 的几阶无穷小，降一阶就应是 F(x)的阶数下面来决定 F(x)是 x 的几阶无穷小由于f(t)=f(0)+f(0)t+o(t)=f(0)t+o(t)由于上式中第二项 o(t)是高阶无穷小，略去它不影响 F(x)的阶数，则 x0 时，*与 F(x)的阶数相同，而*显然它是 x 的四阶无穷小。则 x0 时 F(x)是 x 的四阶无穷小，F(x)应是 x 的三阶无
17、穷小，故应选 C解 3 与解 2 前面的分析一样，本题只要能确定 F(x)是 x 的几阶无穷小，问题就得到解决在 F(x)=*的表达式中有一个一般函数f(t)，这样一个一般的 f(t)它都能决定 F(x)的阶数，那么取一个具体的f(t)，比如取 f(t)=t当然同样也可以决定结果将 f(t)=t 代入*得*显然它是 x 的四阶无穷小，从而 F(x)是 x 的三阶无穷小，所以应选 C本题主要考查变上限积分求导、洛必达法则及无穷小阶的比较21.设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f(x)0令 S1= -a)，S 3= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 1 在0，In2上考虑 f(
18、x)=e-x，显然 f(x)满足原题设条件，而*则 S 2S 1S 3解 2 由题设条件对 f(x)的图形进行分析，易知 f(x)在 x 轴上方、单调下降且向上凹，如图 2.5 所示，S 2表示长方形 ABCE 的面积，S 3等于梯形 ABCD 的面积，S 1等于曲边梯形 ABCD 的面积从而有*S2S 1S 3本题主要考查利用函数的导数对函数图形的描述22.设 F(x)= （分数：1.00）A. B.C.D.解析：首先决定 f(x)是否为常数，有两种方法(1)由于 F(x)=esin(x+2) sin(x+2)-e sinxsinx0则 F(x)C(2)显然被积函数 esinxsint 以
19、2 为周期，由周期函数性质可知，F(x)F(0)=C其次是决定常数 C 是正数、负数还是零解 1 *解 2 考察 F(0)=*被积函数中 sint 在(0，)上为正，(，2)上为负，且在这两个区间上 sint 的值完全对应且仅仅相差一个负号而当 t(0，)时，e sinx1，当 t(，2)时，e sint1，则积分*一定为正，故应选A解 3 F(0)=*又 *则 F(0)=*而当 t(0，)时，(e sinx-e-sinx)sint0，则 F(0)0解 4 考察 F(-)=*有*则 F(-)=*上式积分中 sint 的奇次幂项为奇函数，该项积分为零，而 sint 的偶次幂项的积分显然为正，则
20、F(-)0本题主要考查周期函数的积分性质23.设 f(x)连续，则 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：此类问题通常是通过变量代换将被积函数中的 x 换到积分限上来解 1 令 x2-t2=u，则原式=*解 2 令 f(x)1，则*，显然 B，C，D 均不正确，故应选 A本题主要考查变上限积分求导24.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则 _ A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数 C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数 D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数（分数：1.00）A. B.
21、C.D.解析：B，C，D 分别举反例如下 B 的反例：f(x)=cosx，F(x)=sinx+1 不是奇函数 C 的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x 不是周期函数 D 的反例：f(x)=x，F(x)=*不是单调增的所以应选 A 解 2 直接说明 A 正确f(x)的原函数 F(x)可表示为 F(x)=* 则 * 故 A 是正确选项 本题主要考查原函数的概念及其变上限函数表示法25.把 a0 +时的无穷小量 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 1 由于*则当 x0 +时 是 的高阶无穷小，又*则当 00 +时 是 的高阶无穷小，故应选 B.解 2 由于*，*，则 x0
22、 +时， 是 x 的一阶无穷小；而*则当 x0 +时 是 x 的 3 阶无穷小；*，则当 x0 +时， 是 x 的二阶无穷小，故应选 B.本题主要考查无穷小量阶的比较和变上限积分求导26.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有 _ AF(x)是偶函数 f(x)是奇函数 BF(x)是奇函数 f(x)是偶函数 CF(x)是周期函数f(x)是周期函数 DF(x)是单调函数 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 1 直接法 若 F(x)是连续函数 f(x)的原函数，且 F(x)是偶函数，则 F(-x)=F(x)，式两端对 x 求导得-F
23、(-x)=F(x)-f(-x)=f(x)反之，若 f(x)为奇函数，则 G(x)=*是 f(x)的一个原函数，又*则 G(x)是偶函数，由于 F(x)也是 f(x)的原函数，则F(x)=G(x)+CF(x)亦是偶函数，故应选 A解 2 排除法 令 f(x)=cosx，F(x)=sinx+1显然 f(x)是偶函数，但 F(x)不是奇函数，所以 B 不正确；令 F(x)=sinx+x，f(x)=cosx+1显然 f(x)是周期函数，但 F(x)不是周期函数，故 C 不正确；令 F(x)=x2，f(x)=2x显然 f(x)是单调函数，但 F(x)不是单调函数，则 D 不正确，故应选 A本题主要考查函
24、数与其原函数在奇偶性、周期性及单调性之间的关系27.如图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 ，则下列结论正确的是 _ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解 根据定积分的几何意义知， * 则 *，故应选 C 也可用排除法：由定积分的几何意义知 * * 也可利用 f(x)是奇函数，则*为偶函数，从而 * 则 A，B，D 均不正确，故应选 C 本题主要考查定积分的几何意义28.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形为 则函数 的图形为 A B C D （
25、分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 由题设知，当 x(-1，0)时 F(x)=f(x)，而当 x(-1，0)时 f(x)10，即 F(x)0，从而F(x)单调增，显然 A 选项是错误的，因为 A 选项中 F(x)在(-1，0)中单调减. 由于 F(x)=*，则 F(0)=0，显然 C 选项错误 由于当 x(2，3时 f(x)0，则当 x(2，3时 * 则 B 错误的，D 是正确的. 本题主要考查变上限积分的性质及函数与其导函数的关系.29.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 * 由于当 x0 时，*，则*与*同敛散，而*，则*收敛，故*收敛
26、 由于*，则*与*同敛散 * * 而*收敛，则*收敛. 故对任意正整数 m 和 n 积分*收敛，所以选 D 本题主要考查无界函数反常积分敛散性的判定30.=_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 * 故应选 D 本题主要考查定积分定义31.设 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 当 x*时，sinxcosx1cotx，而 lnx 为单调增的函数，则 Insinxlncosxlncotx x* * 故应选 B 本题主要考查积分的不等式性质32.设 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 本题主要考查定积分几何意义，曲线 y=sinx 如图(a)，而 ex
27、2在(0，+)单调增且大于 1，则曲线 y=ex2sinx 如图(b)该曲线与 x 轴围成三块域面积分别为 S1，S 2，S 3，由定积分几何意义知*则 I 2I 1I 3故应选 D本题主要考查定积分的几何意义33.若 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 1 令 Z(a，b)=*则 a=0，b=*故应选 A解 2 * *由此可得，当 a=0，b=2 时积分值最小，故应选 A解 3 傅里叶级数就是一种均方逼近则使得*最小的 a 和 b 就是函数 f(x)=x 的相应的傅里叶系数，即a=a1=0b=b1=*故应选 A本题计算中用到几个常用结论.(1)*(2)*由(1)得*；由(2)得，*
28、.三、B解答题/B(总题数：4，分数：20.00)过坐标原点作曲线 y=Inx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴同成平面图形D（分数：4.00）(1).求 D 的面积 A；（分数：2.00）_正确答案：(如图(a)，设切点横坐标为 x0，则曲线 lnx 在点(x 0，lnx 0)处的切线方程为*南该切线过原点知 lnx 0-1=0，从而 x0=e，所以该切线方程为 *所求图形 D 的面积为*)解析：(2).求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(解 1 切线*与 x 轴及直线 x=e 所围成三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体体积为 *
29、 曲线y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成图形绕直线 x=e 旋转所得旋转体体积为 * 从而所求旋转体体积为 * 解 2 利用微元法，如图(b)利用阴影部分窄带绕 x=e 旋转所得体积可得体积微元为 * *)解析：本题主要考查平面图形面积和旋转体体积的计算，解决此类问题的关键是熟练掌握定积分的微元法某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)，汽锤第一次击打将桩打进地下 am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0r1)问（分数：6.
30、00）(1).汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?（分数：2.00）_正确答案：(设第 n 次击打后，桩被打进地下 xn，第 n 次击打时，汽锤所作的功为Wn(n=1，2，3，)由题设，当桩被打进地下的深度为 z 时，土层对桩的阻力大小为 kx，所以* 由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之比为常数 r 知，W2=rW1，W 3=rW2=r2W1则前三次击打所作功总和为W1+W2+W3=W1+rW1+r2W1=(1+r+r2)W1=(1+r+r2)*又 W 1+W2+W3=*从而有 *则 *即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下*米)解析：(2).若击打次数不限，汽锤至多能将桩打
31、进地下多深?(注：m 表示长度单位米)（分数：2.00）_正确答案：(由归纳法可知 * 于是 *)解析：本题主要考查变力作功问题(3).如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1与 l2分别是由线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(24)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(解 由(3，2)是曲线 y=f(x)的拐点知，f“(3)=0；由直线 l1与 l1分别是曲线 y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f(0)=2，f(3)=-2，f(0)=0，f(3)=2，利用分部积分法可得*)解析：本
32、题主要考查定积分的分部积分法及拐点的必要条件，导数的几何意义设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).利用定义证明函数 （分数：2.00）_正确答案：(证 对任意的 x，由于 f 是连续函数，所以 * 其中 介于 x 与 x+x 之间 由*，可知函数 F(x)在 x 处可导，且 F(x)=f(x)解析：(2).当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 （分数：2.00）_正确答案：(证法 1 要证明 G(x)以 2 为周期，即要证明对任意的 x，都有 G(x+2)=G(x)，记 H(x)=G(x+2)-G(x)，则 * 又因为 * 所以 H(x)=0，即 G(x+2)=G(x)
33、. 证法 2 由于 f 是以 2 为周期的连续函数，所以对任意的 x，有 * 即 G(x)是以 2 为周期的周期函数.)解析：本题主要考查微积分基本定理的证明，周期函数的变上限积分.(1).比较 与 （分数：2.00）_正确答案：(当 0t1 时，因为 In(1+t)t，所以lntln(1+t) nt nlnf，因此 *.)解析：(2).记 (n=1，2，)，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(0u n=*.因为*，所以*.从而*)解析：本题主要考查定积分的性质，计算定积分的分部积分法及求极限的夹逼原理(3).计算 ，其中 （分数：2.00）_正确答案：(解 因为 f(x)*，所以*，且 f(1)=0 从而* 令*，则 *. 所以*)解析：本题主要考查分部积分法、换元法及变上限积分的导数.
