1、考研数学一-高等数学无穷级数及答案解析(总分：136.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：25，分数：25.00)1.下列结论不正确的是（分数：1.00）A.若函数 f(x)在区间a，a+2上导函数连续，则展开成傅里叶级数时，有B.若函数 f(x)在区间-，上有则必有C.设连续函数 f(x)满足 f(x)+f(x+)=0，则 f(x)在-，上展开成傅里叶级数时，必有a0=a2k=b2k=0(k=1，2，)D.若函数 f(x)满足狄利克雷条件，则必有其中2.设级数 ，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.B.C.D.3.设幂级数 （分数：1.00）A.B.C.D.4.下列结论正确的
2、是（分数：1.00）A.发散级数加括弧所成的级数仍发散B.若加括弧后的级数收敛，则原级数收敛C.若去括弧后的级数收敛，则原级数收敛。D.若去括弧后的级数发散，则原级数发散5.将函数 在0，上展开为余弦级数，则其和函数在 x=0，1， 处的函数值分别为（分数：1.00）A.B.C.D.6.设有幂级数 ，则 R 为其收敛半径的充要条件是（分数：1.00）A.B.C.D.7.设级数 收敛，则其中的常数（分数：1.00）A.B.C.D.8.下列命题正确的是（分数：1.00）_9.设正项级数 与任意项级数 具有关系 ，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.B.C.D.10.设 都是正项级数，且级数 收
3、敛，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.B.C.D.11.设 绝对收敛，则（分数：1.00）A.B.C.D.12.下列命题若函数 f(x)为-，上的奇(偶)函数，则 f(x)的傅里叶级数必为正(余)弦级数若函数 f(x)在0，上有定义，则 f(x)的傅里叶级数展开式是唯一的设 ，不论收敛与否，总有将函数 f(x)=x2(0x1)做偶延拓，得到令 x=2 得（分数：1.00）A.B.C.D.13.下列命题中正确的是（分数：1.00）A.设正项级数 发散，则B.设 收敛，则C.设 至少有一个发散，则D.设 收敛，则14.下列级数 （分数：1.00）A.B.C.D.15.设幂级数 的收敛半径为
4、2，则幂级数 的收敛域包含点集（分数：1.00）_16.设级数 收敛，则级数 （分数：1.00）A.B.C.D.17.设 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D.18.设 在 x=1 处收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D.19.下列命题正确的是（分数：1.00）A.若 收敛，则B.若 条件收敛，则C.若 收敛，则D.若 ，则20.下列命题正确的是（分数：1.00）A.若幂级数 的收敛半径为 R0，则B.若 不存在，则幂级数C.若 的收敛域为-R，R，则幂级数D.若 的收敛域为(-R，R)，则21.下列命题正确的是（分数：1.00）A.设 复敛，则B.设 收敛且 n时，a n，b n
5、是等价无穷小，则C.设 收敛，则D.设 收敛，令 ，且 Sn为正项级数 的前 n 项部分和(n=1，2，)，则22.对于常数 k0，级数 （分数：1.00）A.B.C.D.23.设正项级数 收敛，且 bn=(-1)nln(1+a2n)(n=1，2，)，则级数 （分数：1.00）A.B.C.D.24.下列关于级数 的论述中一定错误的是（分数：1.00）A.B.C.D.25.已知 都发散，则（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：11.00)26.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_27.设幂级数 的收敛半径是 2，则幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_28.设
6、幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_29.若幂级数 的收敛域是(-8，8，则 的收敛半径 R= 1， （分数：1.00）填空项 1:_30.已知幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_31.设幂级数 的收敛区间为(-2，4)，则幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_32.幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_33.幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_34.函数 （分数：1.00）填空项 1:_35.设函数 f(x)=x+|x|(-x)的傅里叶级数展开式为 （分数：1.00）填空项 1:_36.设 （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：100.00)判别下列
7、级数的敛散性：（分数：5.00）(1). （分数：1.25）_(2). （分数：1.25）_(3). （分数：1.25）_(4). （分数：1.25）_讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由（分数：5.00）(1). （分数：1.25）_(2). （分数：1.25）_(3). （分数：1.25）_(4). （分数：1.25）_37.设常数 p0，试判断级数 （分数：5.00）_38.设 b1=1， ，讨论级数 （分数：5.00）_已知 a1=1，对于 n=1，2，设曲线 上点 （分数：5.00）(1).求 an(n=2，3，)；（分数：2.50）_(2).设 S
8、n是以 和(a n+1，0)为顶点的三角形的面积，求级数 （分数：2.50）_设 un0(n=1，2，)，证明：（分数：5.00）(1).若存在常数 a0，使当 nN 时， ，则级数 （分数：2.50）_(2).若当 nN 时， ，则级数 （分数：2.50）_39.设函数 f(x)在区间0，1上有一阶连续导数且 f(0)=0，设 ，证明级数 （分数：5.00）_40.设 f(x)在|x|1 有一阶连续导数且 ，证明级数 发散而级数 （分数：5.00）_41.设 f(x)是-1，1上具有二阶连续导数的偶函数，且 f(0)=1，试证明级数 （分数：5.00）_42.设函数 f(x)在|x|1 上具
9、有二阶连续导数，当 x0 时 f(x)0，且当 x0 时 f(x)是比 x 高阶的无穷小证明级数 （分数：5.00）_求下列幂级数的收敛域：（分数：5.00）(1). （分数：1.25）_(2). （分数：1.25）_(3). （分数：1.25）_(4). （分数：1.25）_求下列幂级数的和函数：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_43.已知 a0=3，a 1=5，且对任何自然数 n1， ，证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：5.00）_44.分别求幂级数 的和函数与幂级数 （分数：5.00）_45.将函数 （分数：5.00）_（分数：5.00）(
10、1).将 （分数：2.50）_(2).在区间(-1，1)内将 （分数：2.50）_46.将 （分数：5.00）_47.求证： （分数：5.00）_48.将 （分数：5.00）_49.将函数 展开成正弦级数，并求级数 （分数：5.00）_考研数学一-高等数学无穷级数答案解析(总分：136.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：25，分数：25.00)1.下列结论不正确的是（分数：1.00）A.若函数 f(x)在区间a，a+2上导函数连续，则展开成傅里叶级数时，有B.若函数 f(x)在区间-，上有则必有C.设连续函数 f(x)满足 f(x)+f(x+)=0，则 f(x)在-，上展开成傅里
11、叶级数时，必有a0=a2k=b2k=0(k=1，2，)D.若函数 f(x)满足狄利克雷条件，则必有其中解析：分析 对于(A)：将函数 f(x)作周期延拓，所得周期函数仍记为 f(x)，则 f(x)cosx 是周期为 2的周期函数，从而积分*与 a 无关(事实上，*=f(a+2)cos(na+2n)-f(a)cosna=0)令 a=-，则*同理可证：*故(A)正确对于(B)：设*，则*应用三角函数系的正交性可得*代入上述不等式，整理得*式中右端为一与 m 无关的数，这说明级数*收敛，于是*，即*故(B)正确对于(C)：据题设知函数 f(x)是周期为 2 的连续函数，则*两式相加，由于 f(x)+
12、f(x+)=0，则*可得 a0=a2k=b2k=0 (k=1，2，)故(C)也正确对于(D)：若函数 f(x)满足狄利克雷条件，则有*其中，当 x 为 f(x)的连续点时，*故(D)不正确，应选(D)2.设级数 ，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 设A：*为正项级数，1若*，即*为有限数，即 an与*为同阶无穷小，则 p1 时，A收敛；p1 时，A发散2 若*，且 p1，则A收敛3 若*即 an是比*低阶的无穷小，p1，则A发散由此可知(D)正确应选(D)3.设幂级数 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：分析 根据阿贝尔定理可得：当|2x-1|-2-1|=
13、3 时，幂级数绝对收敛而当 x=1 时|21-1|3，因此与 x=1 对应的级数绝对收敛故应选(A)4.下列结论正确的是（分数：1.00）A.发散级数加括弧所成的级数仍发散B.若加括弧后的级数收敛，则原级数收敛C.若去括弧后的级数收敛，则原级数收敛。 D.若去括弧后的级数发散，则原级数发散解析：分析 对于(A)：例如级数*，它是发散的，但添加括号后的级数(1-1)+(1-1)+(1-1)+=0+0+0+=0是收敛的故(A)不对对于(B)：例如级数(1-1)+(1-1)+收敛于零，但级数 1-1+1-1+却是发散的故(B)不对，同时也说明(D)也不对这说明：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去
14、括号后原来的级数也收敛由排除法可知，应选(C)5.将函数 在0，上展开为余弦级数，则其和函数在 x=0，1， 处的函数值分别为（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 将 f(x)延拓成-，上的偶函数 F(x)，根据狄利克雷定理可得*所以选(D)6.设有幂级数 ，则 R 为其收敛半径的充要条件是（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 由幂级数的收敛半径的定义：“如果幂级数*不是仅在 x=0 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数 R 存在，使得：(i)当|x|R 时，幂级数绝对收敛；(ii)当|x|R 时，幂级数发散；(iii)当 x=R 与 x=-R 时，幂级
15、数可能收敛也可能发散，则称正数 R 为该幂级数的收敛半径”可知，(C)正确，应选(C)7.设级数 收敛，则其中的常数（分数：1.00）A. B.C.D.解析：分析 由于lnn+aln(n+1)+bln(n+2)*由题设知*，故应选(A)8.下列命题正确的是（分数：1.00）_解析：分析 令*，则*都收敛，但*发散，所以(A)不正确令*，则*收敛，*发散，而*绝对收敛，所以(B)、(D)不正确事实上，由于*收敛，所以*，因此数列a n9.设正项级数 与任意项级数 具有关系 ，则下列结论正确的是（分数：1.00）A. B.C.D.解析：分析 由于*，由比较判别法可知，级数*与级数*有相同的敛散性，
16、即由*收敛推知*收敛故(A)正确，应选(A)10.设 都是正项级数，且级数 收敛，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 根据比较原理的极限形式：设有正项级数*，又设*，则1当 0l+时，级数A与B有相同的敛散性；2当 l=0 时，若级数B收敛，则级数A也收敛；3当 l=+时，若B发散，则A也发散由此可知(C)正确，应选(C)11.设 绝对收敛，则（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 由于*绝对收敛，所以*，从而存在正整数 N，当 nN 时，有*，而*，所以*，由正项级数的比较判别法可得*都收敛故(A)不成立，而(C)成立令*，则*绝对收敛，但(B)、(D)
17、不成立，所以应选(C)12.下列命题若函数 f(x)为-，上的奇(偶)函数，则 f(x)的傅里叶级数必为正(余)弦级数若函数 f(x)在0，上有定义，则 f(x)的傅里叶级数展开式是唯一的设 ，不论收敛与否，总有将函数 f(x)=x2(0x1)做偶延拓，得到令 x=2 得（分数：1.00）A. B.C.D.解析：分析 对于：设 f(x)为奇函数，则 f(x)cosnx 也为奇函数，从而 an=0 (n=0，1，2，)，因此f(x)*故正确对于：在区间0，上定义的函数 f(x)既可以做偶延拓展成余弦级数，也可以做奇延拓展成正弦级数故不正确对于：设*，可证 F(x)在-，上连续，且以 2 为周期，
18、从而满足狄利克雷条件，可将 F(x)展成傅里叶级数*其中*为了求 A0，令 z=0 得*即*因此*即*故正确对于：由于 f(2)=f(0)=0，即*，故不正确综上分析，应选(A)13.下列命题中正确的是（分数：1.00）A.设正项级数 发散，则B.设 收敛，则C.设 至少有一个发散，则 D.设 收敛，则解析：分析 对于(A)：令*，则正项级数*发散，但*，故(A)不正确对于(B)：令 an=(-)n，则*收敛，但*发散，所以(B)不正确对于(D)：令*，则*收敛，但*发散，所以(D)不正确若*收敛，则由比较判别法知*都收敛，因此*都收敛，矛盾，所以*发散，(C)正确故应选(C)14.下列级数
19、（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 对*，由于*，所以该级数收敛对*，由于*，而级数*收敛，故该级数收敛对级数*，由于*，所以 n 充分大时 ln(lnn)lnlnlnnlnn，从而*由于*发散，所以该级数发散由于*，所以级数*条件收敛15.设幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 的收敛域包含点集（分数：1.00）_解析：分析 由于*有相同的收敛半径，所以当|x-3|2 时级数*3) n绝对收敛，显然只有集合2，3，4，e16.设级数 收敛，则级数 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 由于*收敛，所以级数*在 x=-1 处收敛，根据阿贝尔定理得：当|x-1|2 时，对应的
20、级数都绝对收敛，再根据收敛半径的定义可知 R2，故选(D)17.设 收敛，则 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：分析 考察幂级数*，由于*收敛，所以幂级数*在 x=-2 处收敛，根据阿贝尔定理可得当|x|-2|时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当 x=1 时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为*所以应选(B)18.设 在 x=1 处收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 令*，则级数*在 x=1 处收敛，而*在 x=0 处对应的级数*发散所以选项(A)，(B)不正确又如*，则级数*在 x=1 处收敛，而*在 x=0 处对应的级数*收敛所以选项(C)不正确由排除法可知
21、应选(D)19.下列命题正确的是（分数：1.00）A.若 收敛，则B.若 条件收敛，则 C.若 收敛，则D.若 ，则解析：分析 令*，则*收敛，但*发散，故(A)不正确令 un=(-1)n，则*收敛，但*发散，所以(C)不正确令 un=(-1)n，则*，但*发散，所以(D)不正确对于(B)，可用反证法证明其成立若*收敛，则*收敛，说明*绝对收敛，与题设矛盾故*发散所以应选(B)20.下列命题正确的是（分数：1.00）A.若幂级数 的收敛半径为 R0，则B.若 不存在，则幂级数C.若 的收敛域为-R，R，则幂级数D.若 的收敛域为(-R，R)，则 解析：分析 对任意的幂级数*都存在收敛半径，收敛
22、半径 R 可为 R=+，0R+，或 R=0，因此(B)不正确对任意的幂级数*不一定存在例如*，收敛半径为*，由于 a2n=2n，a 2n+1=0，于是*不存在，因此(A)也不正确(C)也不正确，如*收敛域为-1，1，但*收敛域为-1，1)事实上，若*，则其收敛域为(-1，1)，而*的收敛域为-1，1，所以应选(D)21.下列命题正确的是（分数：1.00）A.设 复敛，则B.设 收敛且 n时，a n，b n是等价无穷小，则C.设 收敛，则D.设 收敛，令 ，且 Sn为正项级数 的前 n 项部分和(n=1，2，)，则 解析：分析 对于(A)：令*，则*收敛，但*发散，故(A)不对对于(C)：令*，
23、则*收敛，但*，故(C)不对对于(B)：令*，则*收敛且当 n时 an与 bn是等价无穷小，但*发散，故(B)也不对对于(D)：由于*收敛，根据收敛的必要条件可得*，又*，所以*，故*发散因此选(D)22.对于常数 k0，级数 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：分析 因为数列*单调下降，且*，故级数*收敛但*，由于*，而*发散，因此*条件收敛故应选(B)23.设正项级数 收敛，且 bn=(-1)nln(1+a2n)(n=1，2，)，则级数 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：分析 由于正项级数*收敛，所以正项级数*收敛，从而*，因此有|b n|=|(-1)n|ln(1+a2n)|
24、a 2n(n)，由正项级数的比较判别法可知*绝对收敛应选(B)24.下列关于级数 的论述中一定错误的是（分数：1.00）A. B.C.D.解析：分析 由*级数*发散而*只在级数收敛时才成立，故(A)不正确应选(A)25.已知 都发散，则（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 取*，则*都收敛又因为*都发散，故*都是发散的正项级数，从而*必发散故应选(C)二、填空题(总题数：11，分数：11.00)26.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：分析 1先求*由*2*3由*收敛*而*是*添加括号而得因此，由*27.设幂级数 的收敛半径是 2，则幂级数 （分数：1.
25、00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 由于*有相同的收敛域，而*所以*与*有相同的收敛半径，而*有相同的收敛域因此*有相同的收敛半径，故*的收敛半径为 228.设幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于*令 (x+1)1，可得*，所以收敛半径为*29.若幂级数 的收敛域是(-8，8，则 的收敛半径 R= 1， （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：8，(-2，2）解析：分析 因幂级数*的收敛域为(-8，8，所以其收敛半径 R=8又因幂级数*是由幂级数*逐项求导两次所得，从而幂级数*的收敛半径 R=8对于*=*，因-8x 38*-2x2，所以
26、*的收敛域为(-2，230.已知幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-2，4)）解析：分析 由于级数存 x=-2 处条件收敛，所以级数的收敛半径为 R=3，故收敛区间为-2，4)31.设幂级数 的收敛区间为(-2，4)，则幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(-4，2)）解析：分析 由于幂级数*有相同的收敛域，所以收敛区间也一样；而幂级数*有相同的收敛区间和收敛半径又幂级数*和幂级数*有相同的收敛域，综上可得：级数*有相同的收敛区间又因为*收敛半径一样，由*的收敛区间为(-2，4)可得*的收敛半径为 3，所以*收敛半径为 3从而幂级数*的收敛区间为(-4，2
27、)32.幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，1)）解析：分析 因为当 x0 时*，故*，于是幂级数的收敛半径 R=1易知当 x=1 时幂级数发散，x=-1时幂级数收敛故幂级数的收敛域为-1，1)33.幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，1)）解析：分析 收敛半径*幂级数在 x=1 对应的级数*，发散；在 x=-1 时对应的级数*收敛所以收敛域为-1，1)34.函数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于*所以*故*35.设函数 f(x)=x+|x|(-x)的傅里叶级数展开式为 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答
28、案：*）解析：分析 *36.设 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*，1）解析：分析 根据狄利克雷定理知：f(x)以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于*f(x)以 2 为周期的傅里叶级数在 x=2 处收敛于*三、解答题(总题数：20，分数：100.00)判别下列级数的敛散性：（分数：5.00）(1). （分数：1.25）_正确答案：(由于*以及级数*收敛，故由正项级数比较判别法可得：*收敛)解析：(2). （分数：1.25）_正确答案：(此题用比值判别法失效，所以选用比较判别法注意，*常数 k0 有极限*，因此*，因为级数*收敛，所以由正项级数的比较判别法知级数*收敛)解析
29、：(3). （分数：1.25）_正确答案：(该正项级数的通项是以积分形式给出的，因此需对积分进行估值显然这是正项级数，因当*时*，所以*由于*收敛，所以原级数收敛)解析：(4). （分数：1.25）_正确答案：(因为*又*收敛，所以原级数绝对收敛)解析：讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由（分数：5.00）(1). （分数：1.25）_正确答案：(先讨论级数*的敛散性，因为*而级数*发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数*发散又因为级数*用比值判别法可得，级数*收敛，所以*绝对收敛，又因为*收敛，所以级数*收敛，因此原级数条件收敛)解析：(2). （分数：
30、1.25）_正确答案：(先讨论级数*的敛散性，由于*而级数*发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数*发散由于级数*是交错级数，但*不单调，莱布尼兹判别法不适用注意到*，由于*是收敛交错级数，级数*是收敛的正项级数，根据级数的性质可得*条件收敛。)解析：(3). （分数：1.25）_正确答案：(由于*，其中*，易见*所以原级数为收敛的交错级数再判定级数*的敛散性由于当 0x 时，*，所以*因为级数*发散，所以级数*发散因此原级数收敛且为条件收敛)解析：(4). （分数：1.25）_正确答案：(由于*，所以原级数可改写为交错级数*由于*，故级数收敛再判定*的敛散性：由于*，而级数*发散，所以级
31、数*发散，因此该级数条件收敛)解析：37.设常数 p0，试判断级数 （分数：5.00）_正确答案：(因为*所以*当 p1 时，由于级数*都绝对收敛，故原级数绝对收敛当 0p1 时，因*条件收敛，*绝对收敛，故原级数条件收敛)解析：38.设 b1=1， ，讨论级数 （分数：5.00）_正确答案：(由*，故 bn0(n=1，2，)令*，则*，所以 f(x)且*从而*，又*，则*从而*，由比较判别法知正项级数*收敛，)解析：已知 a1=1，对于 n=1，2，设曲线 上点 （分数：5.00）(1).求 an(n=2，3，)；（分数：2.50）_正确答案：(曲线*处的切线方程为*从而*，于是有*)解析：(2).设
