1、考研数学一-线性代数二次型及答案解析(总分：93.98，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：6.00)1.已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)= 经正交变换 x=Py 可化成标准形 （分数：1.00）填空项 1:_2.若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 （分数：1.00）填空项 1:_3.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：1.00）填空项 1:_4.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= 经正交变换 化成了标准形 （分数：1.00）填空项 1:_5.若二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：1.00）
2、填空项 1:_6.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为 1（分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：5，分数：5.00)7.设（分数：1.00）A.B.C.D.8.设矩阵 （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为_（分数：1.00）A.B.C.D.10.二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的标准形为_A BC D （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为_ A B C D （
3、分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：13，分数：83.00)已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：8.00）(1).求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值（分数：2.00）_(2).指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_(3).已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_(4).设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T为 B 的转置矩阵试证：B TAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_已知二次型 f(
4、x1，x 2，x 3)= （分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形；（分数：2.00）_(3).求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解（分数：2.00）_设二次型（分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_(2).若二次型 f 的规范形为 （分数：2.00）_已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 ，且 Q 的第3 列为 （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中
5、E 为 3 阶单位矩阵（分数：2.00）_已知 （分数：3.00）(1).求实数 a 的值；（分数：1.50）_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形（分数：1.50）_设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记（分数：3.99）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T+ T（分数：1.33）_(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 （分数：1.33）_(3).设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：1.33）_设矩阵 （分数：28.00）(1).求 a 的值；（分数：2
6、.00）_(2).求一个正交变换，将二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 化为标准形，其中 x=(x1，x 2，x 3)T（分数：2.00）_(3).设 A、B 分别为 m，n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 （分数：2.00）_(4).已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= (a0)经正交变换(x1，x 2，x 3)T=P(y1，y 2，y 3)T化成了标准形 （分数：2.00）_(5).设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 B=E+A TA，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_(6).设有 n 元实二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+a
7、1x1)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数试问：当 a1，a 2，a n满足何种条件时，二次型 f 为正定二次型（分数：2.00）_(7).设 c1，c 2，c n均为非零实常数，A=(a ij)nn为正定矩阵，令 bij=aijcicj(i，j=1，2，n)，矩阵 B=(bij)nn，证明矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_(8).设矩阵 Ann正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B2（分数：2.00）_(9).设 1、 n分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n分别为对应于 1和 n的特
8、征向量，记（分数：2.00）_(10).设 1、 n分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n分别为对应于 1和 n的特征向量，记求二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）_(11).设 1、 n分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n分别为对应于 1和 n的特征向量，记求三元函数 f(x1，x 2，x 3)= 在 （分数：2.00）_(12).设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a、b 为常数，证明：矩阵A+B 的特征值全大于 a+b（分数：2.00）_(13).设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1
9、，x 2，x n)T，证明：二次型（分数：2.00）_(14).设实对称矩阵 A 满足 A2-3A+2E=O，证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_设 A 是 n 阶实对称矩阵证明：（分数：3.99）(1).存在实数 c，使对一切 xR n，有x TAxcx Tx（分数：1.33）_(2).若 A 正定，则对任意正整数 k，A k也是对称正定矩阵（分数：1.33）_(3).必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵（分数：1.33）_设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij是 A=(aij)nn中元素 aij的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x
10、n)= （分数：6.00）(1).记 X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A-1；（分数：2.00）_(2).二次型 g(X)=XTAX 与 f(x)的规范形是否相同?说明理由（分数：2.00）_(3).设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX= （分数：4.00）(1).求 a、b 的值；（分数：2.00）_(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_已知矩阵 （分数：4.
11、00）_已知齐次线性方程组有非零解，且矩阵 （分数：4.00）_设 （分数：4.00）(1).计算 PTDP，其中 （分数：2.00）_(2).的结果判断矩阵 B=CTA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论（分数：2.00）_考研数学一-线性代数二次型答案解析(总分：93.98，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：6.00)1.已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)= 经正交变换 x=Py 可化成标准形 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解 1 由题设条件知，f 的矩阵为 * 由于在正交变换下化 f 所成的标准形中，变量平方项的系数为 A 的全部
12、特征值，故由 f 的标准形知 A 的特征值为 6，0，0再由特征值的性质：A 全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和，即 6+0+0=a+a+a 便得 a=2 解 2 由题设条件知 f 的秩即 f 的矩阵 A 的秩为 1由此得 *， *a=-4，或 a=2当 a=-4 时，显然有 r(A)=2，不合题意；故必有 a=2 在本题条件下，f 的矩阵 A 与对角阵 * 相似(也是合同关系)2.若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解 1 由题设条件知二次曲面方程左端的二次型的秩为 2，即矩阵*的
13、秩为 2，于是有 * 所以，a=1 解 2 由题设条件知矩阵*的特征值为 1，0，4，于是由 1 为 A 的特征值，有 * 所以，a=1 本题综合考查用正交变换化二次型为标准形的有关概念及其几何应用注意，用正交变换将二次型，化成的标准形，则标准形中变量平方项的系数就是 f 的矩阵的特征值3.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-2，2）解析：解 1 对 f 配方，可得*于是 f 可经可逆线性变换*化成标准形*若 4-a20，则 f 的负惯性指数为 2，不合题意；若 4-a20，则 f 的负惯性指数为 1因此，当且仅当 4=a20，即a2 时，f
14、 的负惯性指数为 1解 2 f 的矩阵为*A 的特征多项式为*，设 A 的特征值为 1， 2， 3，则 f 经正交变换可化成标准形* 1， 2， 3中为负的个数即 f 的负惯性指数，且由特征值的性质知 1 2 3=det(A)=4-a2由于 f 既可取到正值、又可取到负值，所以 1， 2， 3中至少有一个为正的，也至少有一个为负的。 1 2 3的符号只有下列 3 种可能：(1) 1 2 3=0，此时有 3=0，*，即 f 的正、负惯性指数都为 1，符号题意(2) 1 2 30，此时 1， 2， 3中有一个为负的，2 个为正的(不可能 3 个都为负，否则与 f 可取到正值矛盾)，符号题意(3)
15、1 2 30，此时 1， 2， 3中 3 个都为正的，或者 2 个为负的，1 个为正的，都不符号题意综上可知，当且仅当 1 2 3=4-a20，即a=2 时，符号题意本题综合考查二次型的标准形及惯性定理等基本概念、化二次型为标准形等基本运算.4.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= 经正交变换 化成了标准形 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：=0）解析：*的秩=f 的秩=2，*，又*=05.若二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-21）解析：由*的各阶顺序主子式均大于 0，即 1=10，*0， 3=A=-4(+2)(-1)0，*-2
16、16.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：f 的矩阵*的秩为 2二、B选择题/B(总题数：5，分数：5.00)7.设（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解 因为 A 为实对称矩阵，且易求出 A 的特征值为 1=4， 2= 3= 4=0，所以必有正交矩阵 P，使得*即 A 既相似于 B，也合同于 B，所以 A 正确本题综合考查合同矩阵和相似矩阵的概念、实对称矩阵的正交相似对角化、特征值的计算注意，一般地，当 A 与 B 合同时，A 与 B 未必相似；当 A 与 B 相似时，
17、A 与 B 也未必合同但如果 A 正交相似于对角阵B(这时 A 必为实对称矩阵)，则 A 与 B 既是合同的，也是相似的8.设矩阵 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 由 A 的特征方程*得 A 的全部特征值为 1= 2=3， 3=0，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为 A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3，3，0)，但由 A 的特征值知 3 元二次型 f(x1，x 2x 3)=xTAx 的秩及正惯性指数均为(二次型 f=xTAx 经适当的正交变换可化成标准形*，再经可逆线性变换可化成规范形*，而 F 的矩阵 A 与 F 的规范形的矩阵 B=diag(1，1
18、，0)是合同的)本题综合考查实对称矩阵相似对角化及合同对角化的概念、二次型的秩及正惯性指数等概念，以及方阵特征值的计算注意，A 的相似对角矩阵(在不计对角矩阵的主对角线元素的排列次序的前提下)是唯一的，但 A 的合同对角矩阵却不唯一事实上，对于同阶实对称矩阵 A、B，如果二次型 xTAx 及 xTBx 的秩相等，正惯性指数(从而负惯性指数)也相等，则 A 与 B 必是合同的，反之亦真9.设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为_（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解 由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为 1x2
19、- 2y2- 3z2=1，其中 i0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 A 的特征值为： 10，- 20，- 30，因此 A 的正特征值的个数为 1本题综合考查用正交变换化二次型为标准形的有关基本概念及二次曲面的基本知识注意，有心二次曲面的标准方程为*，其中，若 3 个符号全为正，则曲面为椭球面；若 3 个符号中 2 个为正、1 个为负，则曲面为单叶双曲面，且对称轴为负系数所对应的轴；若 3 个符号中 2 个为负，1 个为正，则曲面为双叶双曲面，且对称轴为正系数所对应的轴因为本题中双叶双曲面的对称轴为 x轴，故其标准方程应是 1x2- 2y
20、2- 3z2。=1( 10，i=1，2，3)10.二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的标准形为_A BC D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：f 既不正定(因 f(0，0，1)=-40)，也不负定(因 f(1，0，0)=20)，故 D、B 都不对，又 f 的秩为 3，故 C 不对，只有 A 正确或用配方法11.设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解 1 记 D 中的矩阵为 D，则由*知 A 与 D 有相同的特征值 3 与-1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵 P 与 Q，使*Q TDQ*QPTAPQT=D，或(
21、PQ T)A(PQT)=D，其中 PQT可逆，所以 A 与 D 合同解 2 由于A=D=-30，因此实对称矩阵 A 的两个特征值异号(D 亦是)，从而知二次型 xTAx 及二次型 xTDx 有相同的规范形*，从矩阵角度讲，就是存在可逆矩阵 C1，C 2，使*=*，由此得*，且*可逆，故 A 与 D 合同解 3 对于二次型 f(x1，x 2)=xTAx=*，由于 f(1，0)=10，f(-2，1)=-30，所以 A 是不定的由顺序主子式法知备选项 A、B、C 中的矩阵分别是负定的、正定的、正定的，由于合同的矩阵有相同的正(负)定性，因此备选项 A、B、C 中的矩阵都不与矩阵 A 合同，只有备选项
22、 D 正确(也易判定 D 中的矩阵是不定的)三、B解答题/B(总题数：13，分数：83.00)已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：8.00）(1).求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值（分数：2.00）_正确答案：(解 f 对应的矩阵为*因其秩 r(A)=2，故*解得 c=3，容易验证此时 A 的秩的确是 2或由*可知当且仅当 c=3 时 r(A)=2这时*故所求特征值为 1=0， 2=4， 3=9)解析：(2).指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_正确答案：(由上述特征值可知，f(x 1，x 2，x 3)=1 表示椭圆柱面)解析：本题
23、考查二次型的秩的概念、矩阵的秩的计算、特征值的计算及二次曲面方程的识别等多个知识点注意，空间直角坐标系中坐标轴围绕坐标原点的旋转变换必是正交变换，而正交变换化二次型 f 所成的标准形中，变量平方项的系数就是 f 的矩阵 A 的特征值，因此，当求出 A 的特征值时，也就求出了曲面f(x1，x 2，x 3)=1 的标准方程(3).已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(解 由*与*相似得*解之得到 a=3，b=1(另一解法：由特征值的性质得 1+a+1=0+1+4，*=014=0，解之得 a=3，b=1)计算可得，矩阵*
24、的对应于特征值 1=0， 2=1， 3=4 的单位特征向量分别可取为*因此所求正交矩阵 P 可取为*)解析：本题仍然是二次型 f 通过正交变换化为标准形的问题，因为其实质是 f 的矩阵(实对称矩阵)的正交相似对角化，其运算涉及到求特征值和特征向量等基本运算且有重要应用，因此务必熟练掌握(4).设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T为 B 的转置矩阵试证：B TAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(证 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则对任意的实 n 维列向量 x0，有 xT(BTAB)x0，即(Bx)TA(Bx)0于是
25、 Bx0因此，Bx=0 只有零解，从而有，r(B)=n充分性：因(B TAB)T=BTATB=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵若 r(B)=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意实 n 维列向量 x0有 Bx0又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) TA(Bx)=xT(BTAB)x0于是当 x0 时，x T(BTAB)x0，故 BTAB 为正定矩阵)解析：本题考查利用定义证明正定性及齐次线性方程组只有零解(存在非零解)的充要条件注意本题证明的关键是利用：方程组 Bx=0 只有零解*r(B)=n(n 为 B 的列数)另外，正定矩阵一定是实对称矩阵，所以充分性首先证明这
26、一点已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(解 f 的秩为 2，即 f 的矩阵 * 的秩为 2所以有*=-4a=0，得 a=0)解析：(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形；（分数：2.00）_正确答案：(当 a=0 时，*.E-A=*=(-2) 2可知 A 的特征值为 1= 2=2， 3=0A 的属于 1=2 的线性无关的特征向量为 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) TA 的属于 3=0 的线性无关的特征量为 3=(-1，1，0) T易见 1， 2， 3两两正交将 1， 2，
27、 3单位化得*取 Q=(e1，e 2，e 3)，则 Q 为正交矩阵作正交变换 x=Qy，得 f 的标准形为*.)解析：(3).求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解（分数：2.00）_正确答案：(解 1 在正交变换 x=Qy 下，f(x 1，x 2，x 3)=0 化成*，解之得 y1=y2=0，从而得所求方程的解为*，其中 k 为任意常数解 2 由于 f(x1，x 2，x 3)=*所以*其通解为 x=k(-1，1，0) T，其中 k 为任意常数在求 A 的对应于特征值 1= 2=2 的特征向量时，由 2E-A=*，知可选 x1为约束未知量，从而x2，x 3为自由未知量，令(x 2，x 3
28、)T=(1，0) T，得解 1=(1，1，0) T，再令(x 2，x 3)T=(0，1) T，得解 2=(0，0，1) T注意 2E-A 的秩为 1，故约束未知量只有 1 个，选系数非零的 1 个未知量作为约束未知量即可，但当约束未知量选定后，其余未知量自然成为自由未知量)解析：设二次型（分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_正确答案：(解 f 的矩阵为*，由特征方程*得 A 的特征值为 1=a， 2=a-2， 3=a+1)解析：(2).若二次型 f 的规范形为 （分数：2.00）_正确答案：(由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性
29、指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0若 1=a=0，则 2=-20， 3=1，不合题意；若 2=a-2=0，则 a=2， 1=2， 3=3，符合题意；若 3=a+1=0，则 a=-1， 1=-10， 2=-30，不合题意故 a=2本题主要考查行列式的计算、特征值的定义、二次型的秩和正负惯性指数的概念及其与二次型的矩阵的特征值的关系)解析：已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 ，且 Q 的第3 列为 （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_正确答案：(解 由题设，A 的特征值为 1，1，0，且(1，0，1)
30、T为 A 的属于特征值 O 的一个特征向量设(x1，x 2，x 3)T为 A 的属于特征值 1 的特征向量，因为 A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以(x1，x 2，x 3)*，即 x1+x3=0，取*，(0，1，0) T为 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量令正交矩阵*，则有*，故*.)解析：(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：2.00）_正确答案：(知 A 的特征值为 1，1，0，所以 A+E 的特征值为 2，2，1，又 A+E 为实对称矩阵，所以 A+E 为正定矩阵 本题综合考查用正交变换化二次型为标准形的本质实对称矩阵的正交相似对角化问题、实对称矩阵的性质、正定矩阵的概念及判定)解析：已知 （分数：3.00）(1).求实数 a 的值；（分数：1.50）_正确答案：(解解 1 因为 r(ATA)=r(A)，对 A 施以初等行变换*可见当 a=-1 时，r(A)=2，所以 a=-1解 2若直接由矩阵 ATA 的秩为 2 来确定 A，对 ATA 施以初等行变换：*可见当且仅当 a=-1 时，r(A TA)=2，所以 a=-1)解析：(2)
