1、考研数学一-一元函数积分学、向量代数和空间解析几何及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：14.00)1.设 （分数：1.00）A.B.C.D.2.如下图所示，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为 2的下、上半圆周，设 F(x)= ，则下列结论正确的是_AF(3)= F(-2) BF(3)= F(2)CF(-3)= F(2) DF(-3)= （分数：1.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.4.设 Ik= （分数：1.
2、00）A.B.C.D.5.使不等式 成立的 x的范围是_A(0，1) B(1， )C( （分数：1.00）A.B.C.D.6.设 I= （分数：1.00）A.B.C.D.7.由曲线 y= (0x)与 x轴围成的平面图形绕 x轴旋转而成的旋转体体积为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.8.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x轴所围成图形面积可表示为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 =1若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力 P为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.
3、D.10.已知两条直线 L1： ，L 2： （分数：1.00）A.B.C.D.11.设有直线 L1： 和 L2： （分数：1.00）A.B.C.D.12.设有直线 L： （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 a，b 为非零向量，满足|a-b|=|a+b|，则必有_Aa-b=a+b Ba=bCab=0 Dab=0（分数：1.00）A.B.C.D.14.直线 L1： 与直线 L2： （分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：17，分数：17.00)15.反常积分 （分数：1.00）填空项 1:_16.设 F(x)= （分数：1.00）填空项 1:_17.设 ，则 （分数：1.00
4、）填空项 1:_18.设 f(x)连续可导，导数不为 0，且 f(x)存在反函数 f-1(x)，又 F(x)是 f(x)的一个原函数，则不定积分f -1(x)dx=_（分数：1.00）填空项 1:_19.设 a0，则 （分数：1.00）填空项 1:_20. （分数：1.00）填空项 1:_21. （分数：1.00）填空项 1:_22. （分数：1.00）填空项 1:_23.设 （分数：1.00）填空项 1:_24.曲线 y= (0x （分数：1.00）填空项 1:_25.曲线 =1 相应于 （分数：1.00）填空项 1:_26.设直线 l过点 M(1，2，0)且与两条直线 l1： 和 l2：
5、（分数：1.00）填空项 1:_27.曲面 x2+2y2+3z2=21在点(1，-2，2)处的法线方程为_（分数：1.00）填空项 1:_28.空间曲线 ： （分数：1.00）填空项 1:_29.过点(2，0，-3)且与直线 （分数：1.00）填空项 1:_30.曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3与平面 x+2y+z=4平行的切线方程_（分数：1.00）填空项 1:_31.设 z=z(x，y)由 z-ez+2xy=3确定，则曲面 z=z(x，y)在点 P0(1，2，0)处的平面方程为_（分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：69.00)设 f(x)在-e，e上连续，
6、在 x=0处可导，且 f(0)0（分数：7.00）(1).证明：对于任意 x(0，e)，至少存在一个 (0，1)，使得*（分数：3.50）_(2).求极限*（分数：3.50）_32.计算 （分数：2.00）_33.求函数 f(x)= （分数：2.00）_34.设 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_35.设两曲线 y= (a0)与 y= （分数：2.00）_36.设函数 f(x)在(-，+)内连续，且 F(x)= （分数：2.00）_37.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_38.设 f(x)在0，1上具有连续导数，且 f(0)+f(1)=0证明：（分数：2.00）_39.设
7、f(x)在区间2，4上具有二阶连续导数 f“(x)，且 f(3)=0，证明：存在一点 (2，4)，使得（分数：2.00）_40.计算arcsinxdx（分数：2.00）_41.设 f(x)在0，上连续，证明 （分数：2.00）_某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)汽锤第一次击打将桩打进地下am根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1)(注：m 表示长度单位米)问（分数：4.00）(1).汽锤击打桩 3次后，可将桩打进地下多深?（分数：
8、2.00）_(2).若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?（分数：2.00）_椭球面 S1是椭圆 =1绕 x轴旋转而成，圆锥面 S2是过点(4，0)且与椭圆 （分数：4.00）(1).求 S1及 S2的方程（分数：2.00）_(2).求 S1与 S2之间的立体体积（分数：2.00）_设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1-x2交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线 y=ax2围成一平面图形 D（分数：4.00）(1).求 D绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)（分数：2.00）_(2).求 a的值，使 V(a)为最大（分数：2.00）_过坐标原点作曲线 y=
9、ex的切线，该切线与曲线 y=ex以及 x轴围成的向 x轴负向无限伸展的平面图形，记为 D，求（分数：4.00）(1).D的面积 A（分数：2.00）_(2).D绕直线 x=1所成的旋转体的体积 V（分数：2.00）_计算下列反常积分(广义积分)的值（分数：4.00）(1).*（分数：2.00）_(2).*（分数：2.00）_42.试确定过 M1(2，3，0)，M 2(-2，-3，4)及 M3(0，6，0)三点的平面方程（分数：3.00）_43.求过点 A(-1，2，3)垂直于 L： （分数：4.00）_44.求直线 L1： 和直线 L2： （分数：3.00）_45.求直线 L： （分数：3.
10、00）_46.判断直线 L1： （分数：3.00）_47.求两曲面 x2+y2=z与-2(x 2+y2)+z2=3的交线在 xOy平面上的投影曲线方程（分数：3.00）_48.圆柱面的轴线是 L： （分数：3.00）_考研数学一-一元函数积分学、向量代数和空间解析几何答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：14.00)1.设 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 0x 时，有 sinxxtanx则 ，即 I2I1因此 C和 D均不正确又2.如下图所示，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周
11、，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为 2的下、上半圆周，设 F(x)= ，则下列结论正确的是_AF(3)= F(-2) BF(3)= F(2)CF(-3)= F(2) DF(-3)= （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1的半圆面积，即 F(2)= ，F(3)是两个半圆面积(半径分别为 1和 )之差，即F(3)= ，且3.设函数 f(x)= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设，则 f(x)=2xln(2+x2)显然 f(x)在区间(-，+)上连续，且 f(-1)f(1)=(-2ln3)(2ln3)0，由零点定理，
12、知 f(x)至少有一个零点又 f“(x)=2ln(2+x2)+4.设 Ik= （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于当 x(，2)时 sinx0，可知 0，也即 I2-I10，可知 I1I 2又由于 作变量代换 t=x-，得，故 ，由于当 x(，2)时 sinx0， 0，可知5.使不等式 成立的 x的范围是_A(0，1) B(1， )C( （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 令 ，则原问题可转化为求函数 f(x)0 成立时 x的取值范围即 f(x)= 0，由6.设 I= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 x(0， )时，0sinx cosxcotx，因此
13、 lnsinxlncosxlncotx，则7.由曲线 y= (0x)与 x轴围成的平面图形绕 x轴旋转而成的旋转体体积为_A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由曲线 y=f(x)绕 x轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得8.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x轴所围成图形面积可表示为_A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由于所求平面图形在 x轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C正确事实上，9.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度
14、=1若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力 P为_A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 如下图所示，任取x，x+dx0，R，相应的小横条所受压力微元dP= ，于是，闸门所受压力 P=10.已知两条直线 L1： ，L 2： （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 L 1的方向向量 s1=(-1，2，-3)L 2的方向向量 s2=(3，1，2)的法向量 n=(2，7，4)，由于 s1n=-12+27-34=0，故 L1，应选 A11.设有直线 L1： 和 L2： （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 直线 L1和 L2的方向向量分别为s1= ，
15、显然 s1与 s2不平行，排除 B，C将直线 L2方程写成参数式12.设有直线 L： （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 直线 L的方向向量l=13.设 a，b 为非零向量，满足|a-b|=|a+b|，则必有_Aa-b=a+b Ba=bCab=0 Dab=0（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 |a-b|=|a+b|14.直线 L1： 与直线 L2： （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 直线 L1的方向向量 s1=(2，3，4)，直线 L2的方向向量 s2=(1，1，2)因为 s1与 s2的坐标不成比例，所以 L1与 L2不平行，又因为s1s2=21+31+4
16、2=130，所以 L1与 L2不垂直，在 L1上取一点 M1(0，-3，0)，在 L2上取一点 M1(1，-2，2)，作向量=(1，1，2)混合积二、填空题(总题数：17，分数：17.00)15.反常积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 ，所以由于16.设 F(x)= （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 方法一：因为 ，所以 F(x)为常数所以 方法二：作变量代换 ，则于是 ，故 F(x)=17.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 ，令 ，则有 f(t)= ，则18.设 f(x)连续可导，导数不为 0，
17、且 f(x)存在反函数 f-1(x)，又 F(x)是 f(x)的一个原函数，则不定积分f -1(x)dx=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：xf -1(x)-Ff-1(x)+C）解析：解析 由分部积分得f -1(x)dx=xf-1(x)-xdf -1(x)=xf-1(x)-ff -1(x)df-1(x)=xf-1(x)-Ff-1(x)+C，即不定积分f -1(x)dx=xf-1(x)-Ff-1(x)+C19.设 a0，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由已知条件，I=由于 是奇函数，所以，由定积分的几何意义知 是半径为 a的半圆的面积，即 所以 注
18、：计算在对称区间上的定积分时，要注意被积函数的奇偶性利用20. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：sinx 2）解析：解析 令 x-t=u，则原式=21. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 22. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 23.设 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：a1；b=0；c=0 或 a=1；b=0；c=-2）解析：解析 由于 且 存在测一定有 =0，那么 b=0当 a1 时， 此时 c=0当 a=1时，24.曲线 y= (0x （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 25.曲
19、线 =1 相应于 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由已知可得 ，故 从而26.设直线 l过点 M(1，2，0)且与两条直线 l1： 和 l2： （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 直线 l1的方向向量为s1=(2，0，1)(1，-1，3)=(1，-5，-2)，直线 l2的方向向量为 s2=(1，-4，0)，由题意，则直线 l的方向向量为 s=s1s2=(-8，-2，1)因此，直线 l的方程为 ，参数方程为 l：27.曲面 x2+2y2+3z2=21在点(1，-2，2)处的法线方程为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：
20、解析 令 F(x，y，z)=x 2+2y2+3z2-21，则 Fx=2x，F y=4y，F z=6z于是法向量n=(2x，4y，6z)| (1，-2，2) =(2，-8，12)，则法线方程 ，即28.空间曲线 ： （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将 y=z代入到方程 x2+y2+z2=9中，得 x2+2y2=9，即 =1令 x=3cos，y= ，则空间曲线 的参数方程为29.过点(2，0，-3)且与直线 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-16x+14y+11z+65=0）解析：解析 过已知直线的两个平面的法向量：n 1=(1，-2，4)，n 2=(3
21、，5，-2)，因此所求平面的法向量 n=n1n2=(-16，14，11)，则由已知可得所求平面方程为-16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0，即-16x+14y+11z+65=030.曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3与平面 x+2y+z=4平行的切线方程_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：L 1： ）解析：解析 曲线的切向量 s=(1，-2t，3t 2)，平面的法向量 n=(1，2，1)由题意 sn=0，即 1-4t+3t2=0，得 t1=1，t 2= 当 t1=1时，过点(1，-1，1)，切向量为(1，-2，3)；当 t2= 时，过点 ，切向量为 故所求的切线方
22、程为L1： ；L 2：31.设 z=z(x，y)由 z-ez+2xy=3确定，则曲面 z=z(x，y)在点 P0(1，2，0)处的平面方程为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：2(x-1)+(y-2)=0）解析：解析 将 P0(1，2，0)的坐标代入曲面方程，满足曲面方程，即点 P0在曲面 z=z(x，y)上记 F(x，y，z)=z-e z+2xy-3，则 Fx=2y，F y=2x，F z=1-ez，且有Fx(P0)=4，F x(P0)=2，F z(P0)=0于是可得曲面的切平面方程Fx(P0)(x-x0)+Fy(P0)(y-y0)+Fz(P0)(z-z0)=0，即 4(z-1)+
23、2(y-2)+0(z-0)=0，化简得2(x-1)+(y-2)=0三、解答题(总题数：23，分数：69.00)设 f(x)在-e，e上连续，在 x=0处可导，且 f(0)0（分数：7.00）(1).证明：对于任意 x(0，e)，至少存在一个 (0，1)，使得*（分数：3.50）_正确答案：(证明 ()设 F(x)= ，x-e，e则 F(x)在0，x上连续，在(0，x)内可导由微分中值定理 F(x)-F(0)=F(x)(x-0)，其中 01即)解析：(2).求极限*（分数：3.50）_正确答案：(由()中结论，可得，等式两端求极限，则有 ，即 ，所以有 ，又已知 f(0)0，故 )解析：32.计
24、算 （分数：2.00）_正确答案：( )解析：33.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(由已知可得 f(x)的定义域为(-，+)，且由定积分的性质，则 ，当 f(x)=0时，即 x=0，1列表讨论如下：x(-，-1(-1，0)0(0，1)1(1，+)1)y - 0 + 0 - 0 +y 极小值极大值极小值所以，函数 f(x)的单调增加区间为(-1，0)和(1，+)，单调减少区间为(-，-1)和(0，1)，极小值为f(1)=0，极大值为 f(0)= )解析：34.设 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(证明 令 F(x)= ，F(0)=F()=0，由罗尔定理
25、，存在一点 0(0，)，使得 F( 0)=0，而 F(x)=f(x)sinx，且 sin 00，所以 f( 0)=0假设 f(x)在(0，)内除 0外没有零点，则 f(x)在(0， 0)与( 0，)内异号不妨设当 x(0， 0)时，f(x)0；当 x( 0，)时，f(x)0，则因为当 x0， 0时，f(x)sin(x- 0)连续，f(x)sin(x- 0)0 且 f(x)sin(x- 0)不恒等于零，所以；同理 ，所以 而 )解析：35.设两曲线 y= (a0)与 y= （分数：2.00）_正确答案：(由已知，由两曲线在(x 0，y 0)处有公切线，得即 解得 x0=e2，a=e -1故所求的
26、旋转体体积为曲线 分别与 x轴及直线 x=e2所围成平面图形(如下图)绕 x轴旋转而成的旋转体体积之差于是由体积计算公式)解析：36.设函数 f(x)在(-，+)内连续，且 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(证明 方法一：()F(-x)= ，若 f(x)是偶函数，则有 f(-x)=f(x)故上式= ，即 F(x)也是偶函数()欲证 F(x)是单调减函数，则需证 F(x)0 或 F(x)0 且等号仅在某些点成立由已知F(x)= ，则因 f(x)是单调减函数，t 介于 0与 x之间，所以当 x0 时，f(x)-f(t)0，故 F(x)0；当 x0 时，f(x)-f(t)0，故 F(x)0
27、；当 x=0时，F(0)=0即 x(-，+)时，F(x)0 且付号仪在 z=0时成立，因此 F(x)也是单调减函数方法二：()用函数奇偶性质，F(x)= 因 f(t)是偶函数，则 tf(t)是奇函数，又 f(t)是偶函数，知 是奇函数，进而可知 dt是偶函数；再由 tf(t)是奇函数，知 是偶函数因此，由偶函数的性质知 F(x)是偶函数()由 F(x)= ，则 F(x)=xf(x)- ，由积分中值定理知，存在一点 (0，x)，使得 故F(x)=xf(x)=f()x=xf(x)-f()与方法一同样讨诊可知 F(x)是单调减函数注：为比较(x-a)f(x)或 的大小，常用以下二式：， 介于 x与
28、a之间这时，有(x-a)f(x)- ，或(x-a)f(x)- )解析：37.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(证明 设 (x)= ，由 (x)=(x-x 2)sin2nx=0，得 x=1，x=k(k=1，2，)因为当 x(0，1)时，(x)0；当 x1 时，(x)0所以 x=1为函数 (x)= (t-t2)sin2ntdt在0，+上的最大值点，最大值为M=(1)= ，故 )解析：38.设 f(x)在0，1上具有连续导数，且 f(0)+f(1)=0证明：（分数：2.00）_正确答案：(证明 对任意 x0，1，由莱布尼茨定理可得 f(x)-f(0)= ，f(x)-f(1)=-
29、，且已知 f(0)+f(1)=0，所以 ，两边积分得，故 )解析：39.设 f(x)在区间2，4上具有二阶连续导数 f“(x)，且 f(3)=0，证明：存在一点 (2，4)，使得（分数：2.00）_正确答案：(证明 令 F(x)= ，可知 F(x)三阶连续可导，由二阶的泰勒公式得，其中 1(2，3)，其中 2(3，4)即 ，则有 ，即因为 f“(x)在 1， 2 (2，4)上连续，所以 f“(x)在 1， 2上有界，故存在实数 m和 M(mM)，使得 m M 成立，所以由介值定理，存在 1， 2 (2，4)，使得 f“()= ，于是有 )解析：40.计算arcsinxdx（分数：2.00）_正
30、确答案：( )解析：41.设 f(x)在0，上连续，证明 （分数：2.00）_正确答案：(证明 令 x=-t，则，将其代入等式 可得)解析：某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)汽锤第一次击打将桩打进地下am根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1)(注：m 表示长度单位米)问（分数：4.00）(1).汽锤击打桩 3次后，可将桩打进地下多深?（分数：2.00）_正确答案：(设第 n次击打后，桩被打进地下 xn，第 n次击打时，汽锤所作的
31、功为Wn(n=1，2，3，)由题设，当桩被打进地下的深度为 x时，土层对桩的阻力的大小为 kx，所以，由 W2=rW1可得，即又 由 W3=rW2=r2W1可得，从而，即汽锤击打 3次后，可将桩打进地下 )解析：(2).若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?（分数：2.00）_正确答案：(由归纳法，设 xn= ，则由于 Wn+1=rWn=r2Wn-1=rnW1，故得，从而，于是，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 )解析：椭球面 S1是椭圆 =1绕 x轴旋转而成，圆锥面 S2是过点(4，0)且与椭圆 （分数：4.00）(1).求 S1及 S2的方程（分数：2.00）_正确答案：(由
32、题意得 S1的方程为计算可得过点(4，0)与 的切线为 y= ，所以 S2的方程为y2+z2= )解析：(2).求 S1与 S2之间的立体体积（分数：2.00）_正确答案：(记 y1= ，由 =1，记 y2= ，则 )解析：设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1-x2交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线 y=ax2围成一平面图形 D（分数：4.00）(1).求 D绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)（分数：2.00）_正确答案：(由题意知，y=ax 2与 y=1-x2的交点为 A ，直线 OA的方程为旋转体的体积)解析：(2).求 a的值，使 V(a)为最大（分
