1、考研数学一-88 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：45，分数：100.00)1.设 （分数：2.00）_2.设 f(x)满足方程 （分数：2.00）_3.设 f(x)满足关系式 （分数：2.00）_4.设 f(x)在 x=0附近有界，且满足方程 （分数：2.00）_5.设 f(x)为多项式，且 （分数：2.00）_6.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， 且满足 （分数：2.00）_7.已知 f(x)在(-，+)上有定义，f“(0)存在，且对任意的 x，y(-，+)，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，求 f(x) （分数：2
2、.00）_8.求满足下列方程 （分数：2.00）_9.已知 （分数：2.00）_10.设对于在 x0 上可微的函数 f(x)及其反函数 g(x)，满足方程 （分数：2.00）_11.设 f(x)在(-，+)内具有连续导数，且满足 （分数：2.00）_12.已知 f(x)是连续函数且满足方程 （分数：2.00）_13.设 f(u)在(-u+)内可导，且 f(0)=0， 又 （分数：2.00）_14.设函数 y=f(x)由 确定，其中 (t)具有二阶导数，且 （分数：2.00）_15.设 f二阶可导，且 （分数：2.00）_16.设 具有连续的二阶偏导数，且满足 （分数：2.00）_17.设函数
3、Q(x，y)在 xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并对任意 t恒有 （分数：2.00）_18.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0为一个全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的通解 （分数：2.00）_19.求具有连续二阶导数的函数 f(x)，使 （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上具有连续导数，f(a)=f(b)=0，且 证明 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)，g(x)在a，b内可积，且|f(x)|1，|g(x)|1，试证 （分数
4、：2.00）_22.设不恒为常数的函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，证明在(a，b)内至少存在一个 ，使 f“()0 （分数：2.00）_23.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f(c)0，acb，则至少存在一个 (a，b)，使 f“()0 （分数：2.00）_24.证明：当 x0 时，证明： （分数：2.00）_25.设 ae， （分数：2.00）_26.设 f(x)=a 1 sinx+a 2 sin2x+a n sinnx，且|f(x)|sinx|，a 1 ，a 2 ，a n 为实常数，试证： |a
5、1 +2a 2 +na n |1 （分数：2.00）_27.设 f“(x)0，f(0)=0，证明：对任何 x 1 0，x 2 0 有 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )+f(x 2 ) （分数：2.00）_28.证明：当 时， （分数：2.00）_29.已知 (-1，+)，t 在 0与 之间，求证： （分数：2.00）_30.设 f(x)，g(x)二阶可导，当 x0 时，f“(x)g“(x)且 f(0)=g(0)，f“(0)=g“(0)，证明：当 x0 时，f(x)g(x) （分数：2.00）_31.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_32.设 ba0，证明： （分数：2.00）_3
6、3.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明： （分数：2.00）_34.设 0x1，p1，证明不等式： （分数：2.00）_35.试证：若 m0，n0，则 （分数：2.00）_36.求证：若 x，y，z 为满足 x 2 +y 2 +z 2 =8的正数，则 （分数：2.00）_利用函数图形的凹凸的定义，证明下列不等式：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_37.设 (x)在区间(a，b)内二阶可导，且 “(x)0，则 （分数：2.00）_38.设 （分数：2.00）_39.设 f(x)在0，1上二阶导数连续，f(0)=f(1)=0，并且当 x
7、(0，1)时，|f“(x)|A，求证： （分数：2.00）_40.证明不等式： （分数：2.00）_41.设 f(x)在0，1上连续，且 求证： （分数：2.00）_42.设 P，Q，R 在 L上连续，L 为光滑弧段，弧长为 l，证明： | L Pdx+Qdy+Rdz|Ml，其中 （分数：2.00）_43.设 f(x)在a，b上二阶可导，且当 xa，b时，f“(x)0，试证： （分数：6.00）_44.若 f“(x)在0，2上连续，且 f“(x)0，则对任意正整数 n，有 （分数：6.00）_考研数学一-88 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：45，分数：
8、100.00)1.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 2.设 f(x)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 则原式 即 由上述联立的方程组，得 又因为 3.设 f(x)满足关系式 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 则 即 解由上述等式联立的方程组，得 4.设 f(x)在 x=0附近有界，且满足方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 将以上诸式相加，得 因为当 n时， 又 f(x)在 x=0附近有界， 所以 5.设 f(x)为多项式，且 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由 可知应设 f(x)=2x 3 +x 2 +bx+c 又由
9、可知 可得 c=0 于是 6.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， 且满足 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解7.已知 f(x)在(-，+)上有定义，f“(0)存在，且对任意的 x，y(-，+)，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，求 f(x) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由于 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy， 令 y=0，则 f(x)=f(x)+f(0) f(0)=0由可得 对 y0 时，对上式取极限，于是有 即 f“(x)=f“(0)+2x 积分得 f(x)=f“(0)x+x 2 +C 将 f(0)=0代入上式 8.求满足下列方程
10、（分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以原方程 两边对 x求导，得 再对 x求导，得 f“(x)=f(x)，积分得 f(x)=Ce x 又由可得，f(0)=1，代入上式 9.已知 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以原方程 两边对 x求导，得 故 10.设对于在 x0 上可微的函数 f(x)及其反函数 g(x)，满足方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解方程两边对 x求导，得 即 当 x0 时，有 积分得 又当 f(x)=0时， x=4，即 f(4)=0，C=-2，所以 11.设 f(x)在(-，+)内具有连续导数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(
11、)解析：解显然 f(0)=0，因为 f(t)为偶函数，因此只需求出 t0 时 f(t)的表达式 当 t0 时， f“(t)=4t 3 f(t)+4t 3 解出满足初值条件 f(0)=0的一阶线性方程，得 故在(-，+)内， 12.已知 f(x)是连续函数且满足方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 13.设 f(u)在(-u+)内可导，且 f(0)=0， 又 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 lnx=t，则 x=e t ， 当 t0 时，f(t)=t+C 1 ，当 t0 时， 由原函数的连续性有 又 f(0)=0，所以 C 1 =0=2+C 2 C 1 =0，C 2 =-
12、2， 故 14.设函数 y=f(x)由 确定，其中 (t)具有二阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由题设可得 于是 又 所以 即 即 两边积分得 两边再次积分得 将 “(1)=6 代入上两式得 C 1 =0，C 2 =0，于是 15.设 f二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 令 则 再令 即 解联立方程组，得 故 16.设 具有连续的二阶偏导数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 则 u=u(r) 同理 于是 原方程 特征方程为 2 +1=0，=i， 非齐次方程的一个特解 故，方程的通解为 17.设函数 Q(x，y)在 x
13、Oy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并对任意 t恒有 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由曲线积分与路径无关的条件有 Q(x，y)=x 2 +C(y)，其中 C(y)为待定函数 又 由题设条件有 两边对 t求导，得 2t=1+C(t)， 18.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0为一个全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解方程为全微分方程的充要条件 即 x 2 +2xy-f(x)=f“(x)+2xy
14、f“(x)+f(x)=x 2 ， 特征方程为 2 +1=0，=i，非齐次方程的一个特解为 故 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2 将 f(0)=0，f“(0)=1 代入求出 C 1 =2，C 2 =1， 于是 f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2 原方程 xy 2 -(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，利用分项组合法 19.求具有连续二阶导数的函数 f(x)，使 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 L为 xOy平面上第一象限内的任一光滑闭曲线，又 于是，该曲线积分与路径无关，因而 即 于是，令
15、x=e t ，t=lnx，有 D(D-1)+Df=te t ， D 2 f=te t 。 特征方程为 2 =0， 1，2 =0 设 f * 为非齐次方程的一个特解，则 20.设 f(x)在a，b上具有连续导数，f(a)=f(b)=0，且 证明 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证引入参数 t，考查 f“(x)+txf(x) 由题设知，上式在a，b上对任何实数 t都不能恒为“0”，事实上，若不然，假设有实数 t， 使得 f“(x)+txf(x)0， 于是求得方程的通解为 由 f(a)=f(b)=0 f(x)0，因此， 与假设 矛盾，故f“(x)+txf(x) 2 0， 于是 即 因为 t
16、2 的系数 所以关于 t的二次三项式的判别式必小于零即 亦即 21.设函数 f(x)，g(x)在a，b内可积，且|f(x)|1，|g(x)|1，试证 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为|f(x)|1，|g(x)|1， 所以可令 f(x)=sinu，g(x)=sinv，于是 故 22.设不恒为常数的函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，证明在(a，b)内至少存在一个 ，使 f“()0 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证因为 f(a)=f(b)且 f(x)不恒为常数， 所以至少存在一点 c(a，b)使得 f(c)f(a)=f(b) 不妨设 f
17、(c)f(a)=f(b)，显然 f(x)在a，c上满足拉格朗日定理条件，于是至少存在一个 (a，c) (a，b)使 23.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f(c)0，acb，则至少存在一个 (a，b)，使 f“()0 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证因为 f(x)在a，b上满足拉格朗日定理条件，可知存在一个 1 (a，c)使得 又因为 f(c)0，f(a)=0，c-a0，所以 f“( 1 )0， 1 (a，c)， 同理有 因为 f(c)0，f(b)=0，b-c0，所以 f“( 2 )0， 2 (c，b) 又因为 f“(x)在 1 ，
18、 2 上连续，在( 1 ， 2 )可导，再由拉格朗日定理知存在一个 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使 24.证明：当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 f(x)=lnt，当 x0 时，显然它在1，1+x满足拉格朗日中值定理的条件，于是 (1，1+x)使 11+x， 因为 ln(1+x)-ln1=ln(1+x)， 所以 即 解析 因为 x0，所以 25.设 ae， （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 f(t)=a t ，g(t)=cost，由题设条件可知，f(t)，g(t)在x，y(0xy)上满足柯西中值定理条件，于是有 即 故 解析 原不等式等价于 2
19、6.设 f(x)=a 1 sinx+a 2 sin2x+a n sinnx，且|f(x)|sinx|，a 1 ，a 2 ，a n 为实常数，试证： |a 1 +2a 2 +na n |1 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证f(x)=a 1 sinx+a 2 sin2x+a n sinnx，f(0)=0， f“(x)=a 1 cosx+2a 2 cos2x+na n cosnx 显然 f(x)在0，x或x，0上满足拉格朗日定理的条件，于是有 f(x)-f(0)=f“()x， 在 0与 x之间 因此，|f(x)|=|x|f“()| =|x|a 1 cos+2a 2 cos2+na n co
20、sn|， 即 两边取 x0 的极限，因为 在 0与 x之间，所以当 x0 时，0，故 27.设 f“(x)0，f(0)=0，证明：对任何 x 1 0，x 2 0 有 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )+f(x 2 ) （分数：2.00）_正确答案：()解析：证由拉格朗日中值定理有 f(x 1 )=f(x 1 )-f(0)=x 1 f“( 1 )，0 1 x 1 ， f(x 1 +x 2 )-f(x 2 )=x 1 f“( 2 )，x 2 2 x 1 +x 2 ， 不妨设 x 1 x 2 ，从而 1 2 ，因为 f“(x)0，所以 f“(x)“”，又因为 f“( 2 )f“( 1 )，故 f
21、(x 1 +x 2 )-f(x 2 )x 1 f“( 1 )=f(x 1 )， 即 f(x 1 +x 2 )f(x 1 )+f(x 2 ) 解析 因为 f(x)可导，又 f(0)=0，可知一定可用拉格朗日中值定理证明28.证明：当 时， （分数：2.00）_正确答案：()解析：证只证 显然 令 因为 (因为 tanxx) 所以 f(x)“”，又 故，当 时， 即 于是 29.已知 (-1，+)，t 在 0与 之间，求证： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 因为 所以 f(t)“”且 f(0)=0，f()=-， 所以 或 即 或 故 30.设 f(x)，g(x)二阶可导，当 x0 时
22、，f“(x)g“(x)且 f(0)=g(0)，f“(0)=g“(0)，证明：当 x0 时，f(x)g(x) （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 F(x)=f(x)-g(x)， F“(x)=f“(x)-g“(x)， F“(x)=f“(x)-g“(x) 因为当 x0 时，f“(x)g“(x)，所以当 x0 时，F“(x)0，即 F“(x)单调递增 又 f“(0)=g“(0)，即 F“(0)=0所以 F“(x)F“(0)=0，因之 F(x)单调递增 又因为 f(0)=g(0)，即 F(0)=0，故 F(x)F(0)=0 即 f(x)-g(x)0，亦即 f(x)g(x)31.证明：当 x0
23、时， （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 因为 所以 f(x)单调递减 又因为 所以当 x0 时， 即 32.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)，(xa) 因为 所以 f“(x)“”又 f“(a)=0，于是 f“(x)0，(xa) 因而 f(x)“”，又 f(a)=0，故当 ba0 时，有 f(b)f(a)=0 即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)0， 亦即 解析 当 ba0 时， 33.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 b=
24、x，作辅助函数 于是 所以 F(x)单调增加，于是， 当 ba 时，有 F(b)F(a)=0，即 34.设 0x1，p1，证明不等式： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 F(x)=x p +(1-x) p ， F“(x)=px p-1 +p(1-x) p-1 (-1)=px p-1 -(1-x) p-1 ， F“(x)=p(p-1)x p-2 +p(p-1)(1-x) p-2 令 F“(x)=0，得 故，F(x)在 处取极小值 因为 F(1)=F(0)=1， 所以 F(x)在0，1上最大值为 1，最小值为 故 35.试证：若 m0，n0，则 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 F(x)=x m (a-x) n ， F“(x)=mx m-1 (a-x) n -nx m (a-x) n-1 ， F“(x)=m(m-1)x m-2 (a-x) n -2mnx m-1 (a-x) n-1 +n(n-1)x m (a-x)
