1、考研数学一-87 及答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：35，分数：100.00)将二重积分 （分数：9.52）(1).D：由 y 2 =8x 与 x 2 =y 所围之区域；（分数：2.38）_(2).D：由 x=3，x=5，x-2y+1=0 及 x-2y+7=0 所围之区域；（分数：2.38）_(3).D：由 x 2 +y 2 1，yx 及 x0 所围之区域；（分数：2.38）_(4).D：|x|+|y|1（分数：2.38）_改变下列积分次序（分数：7.50）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_将二重积
2、分 （分数：7.50）(1).D：a 2 x 2 +y 2 b 2 ，y0，(ba0)；（分数：2.50）_(2).D：x 2 +y 2 y，x0；（分数：2.50）_(3).D：0x+y1，0x1（分数：2.50）_1.将三重积分 （分数：2.50）_改变下列三重积分的积分次序：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_2.已知数量场 （分数：2.50）_3.设函数 直线 l 是直线 （分数：2.50）_4.计算 L 为由圆周 x 2 +y 2 =a 2 ，直线 y=x 及 x 轴在第一象限中所围图形的边界(如图所示) （分数：2.50）_5.计算 I=
3、L |y|dl，其中 L：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )，其中 a0 （分数：2.50）_6.计算曲线积分 （分数：2.50）_7.计算 其中 L 为由点(0，0)到点 B(1，1)的曲线 （分数：2.50）_8.计算曲线积分 （分数：2.50）_9.计算曲线积分 （分数：2.50）_10.计算曲线积分 其中 L 为沿椭圆 的正方向(见图) （分数：2.50）_11.计算曲线积分 其中， 为连接点 A(，2)与点 B(3，4)的线段 之下方的任意路线(见图)，且该路线与线段 所围图形面积为 2 （分数：2.50）_12.计算 I= L (e x siny-my)d
4、x+(e x cosy-m)dy，L 为由点(a，0)到点(0，0)的上半圆周 x 2 +y 2 =ax，y0(见图) （分数：2.50）_13.计算空间曲线积分 I= L (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz， 其中，曲线 L 为圆柱面 x 2 +y 2 =a 2 与平面 (a0，h0)的交线，从 x 轴正向看去，曲线是逆时针方向(见图) （分数：2.50）_14.选择 a，b 使 （分数：2.50）_15.设曲线 L 是正向圆周(x-a) 2 +(y-a) 2 =1，(x)是连续的正函数，证明： （分数：2.50）_16.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上取 A(1，0
5、，0)，B(0，1，0)， 三点为顶点的球面三角形( 均为大圆弧)，若球面密度为 =x 2 +z 2 ，求此球面三角形块的质量(见图) （分数：2.50）_17.计算曲面积分 其中， (见图) （分数：2.50）_18.计算曲面积分 （分数：2.50）_19.计算曲面积分 其中，是由曲线 绕 y 轴旋转一周所成的曲面，它的法矢量与 y 轴正向的夹角恒大于 （分数：2.50）_20.计算 其中，是圆柱面 x 2 +y 2 =4 被平面 x+z=2 和 z=0 所截出部分的外侧(见图) （分数：2.50）_21.计算曲面积分 其中，为上半球面 （分数：2.50）_22.计算曲面积分 其中，是由曲面
6、 与 （分数：2.50）_23.计算曲面积分 其中，是由曲面 x 2 +y 2 =R 2 及两平面 z=R，z=-R(R0)所围立体表面的外侧(见图) （分数：2.50）_24.计算 ：锥面 被 z=1，z=2 所截部分的外侧(见图) （分数：2.50）_25.计算曲面积分 其中，为曲线 （分数：1.50）_26.求曲面 x 2 =y 2 +z 2 包含在 x 2 +y 2 +z 2 =2z 内的面积 （分数：1.50）_27.求曲线 （分数：1.50）_28.计算 L (x 2 +y 3 )ds，其中 L：x 2 +y 2 a 2 （分数：1.50）_29.设曲线积分 L xy 2 dx+y
7、(x)dy 与路径无关，其中 具有连续的导数，且 (0)=0 计算 （分数：1.50）_30.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线簇 y=sinx(0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小 （分数：1.50）_31.设 f()=1，试求 f(x)，使曲线积分 （分数：1.50）_考研数学一-87 答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：35，分数：100.00)将二重积分 （分数：9.52）(1).D：由 y 2 =8x 与 x 2 =y 所围之区域；（分数：2.38）_正确答案：()解析
8、：(2).D：由 x=3，x=5，x-2y+1=0 及 x-2y+7=0 所围之区域；（分数：2.38）_正确答案：()解析：(3).D：由 x 2 +y 2 1，yx 及 x0 所围之区域；（分数：2.38）_正确答案：()解析：(4).D：|x|+|y|1（分数：2.38）_正确答案：()解析：改变下列积分次序（分数：7.50）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：(2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：(3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：将二重积分 （分数：7.50）(1).D：a 2 x 2 +y 2 b 2 ，y0，(ba0)；（分数：2.50）_
9、正确答案：()解析：(2).D：x 2 +y 2 y，x0；（分数：2.50）_正确答案：()解析：(3).D：0x+y1，0x1（分数：2.50）_正确答案：()解析：1.将三重积分 （分数：2.50）_正确答案：()解析：改变下列三重积分的积分次序：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：(2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：2.已知数量场 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解3.设函数 直线 l 是直线 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 方法一： u“ x | M =-2cos(xy)sin(xy)y| M =0， 设 n 平 ，n
10、 L ，n l 分别为平面 x+y-z=5 的法矢量，直线 L，直线 l 的方向矢量 由于 l 在平面上，所以 n 平 n l =0，设 n l =l，m，n而 n 平 =1，1，-1，于是有 l+m-n=0， 因为 所以 再由 所以 其方向余弦分别为 故 方法二： 投影平面：(2x-3z-6)+y-2z+4=0， 即 2x+y-(3+2)z-6+4=0 投影平面法矢量：n 投 =2，1，-3-2， 与平面 x+y-z=5 的法矢量 n=1，1，-1互相垂直 所以 投影平面方程为：-6x+5y-z+38=0， l 的方程为： l 的方向矢量： 所以 4.计算 L 为由圆周 x 2 +y 2 =
11、a 2 ，直线 y=x 及 x 轴在第一象限中所围图形的边界(如图所示) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 5.计算 I= L |y|dl，其中 L：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )，其中 a0 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解由 L 的表达式可知用极坐标简便，令 x=cos，y=sin， 则 L： 4 =a 2 2 (cos 2 -sin 2 ) 2 =a 2 cos2 因为路径和被积函数 f(x，y)=|y|均关于 x 轴、y 轴、原点对称，所以只要算出第一象限的曲线积分再 4倍即可 令 故 6.计算曲线积分 （分数：2.50）_正确答案：(
12、)解析：解 于是 7.计算 其中 L 为由点(0，0)到点 B(1，1)的曲线 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 所以 L Pdx+Qdy 与路径无关 故 8.计算曲线积分 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (1)显然，在(x-2) 2 +(y-2) 2 2 内，有 故 I= L Pdx+Qdy=0 (2)y 轴(x=0)上的点除外，均有 故 与路径无关，而 故 9.计算曲线积分 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (1)在圆 x 2 +(y-1) 2 1 中， 故 I= L Pdx+Qdy=0 (2)在椭圆 中除椭圆中心(1，0)外恒有 于是由定理 5 有 I=
13、L Pdx+Qdy= L* Pdx+Qdy， 其中 L * 为(x-1) 2 +y 2 =1 的正向，令 x-1=cos，y=sin，则 10.计算曲线积分 其中 L 为沿椭圆 的正方向(见图) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因为在椭圆 内， 例如在(0，0)处 与 均无意义 所以曲线积分不仅与路径有关，且不能用格林公式，由定理 5 有 其中，01，令 x=cost，y=sint，于是 11.计算曲线积分 其中， 为连接点 A(，2)与点 B(3，4)的线段 之下方的任意路线(见图)，且该路线与线段 所围图形面积为 2 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因为 (y)是抽
14、象函数， 所以碰到这类问题一般是加边使曲线封闭，再用格林公式，为此 因为 所以 12.计算 I= L (e x siny-my)dx+(e x cosy-m)dy，L 为由点(a，0)到点(0，0)的上半圆周 x 2 +y 2 =ax，y0(见图) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 13.计算空间曲线积分 I= L (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz， 其中，曲线 L 为圆柱面 x 2 +y 2 =a 2 与平面 (a0，h0)的交线，从 x 轴正向看去，曲线是逆时针方向(见图) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解法一化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分
15、利用0，2上三角函数簇的正交性 令 x=acost，y=asint，则 于是 解法二 14.选择 a，b 使 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由全微分条件 故 (a+1)x 2 y+(b+1)xy 2 =0 a=-1，b=-1， 所以 选折线(1，1)(x，1)(x，y)为积分路径，则 故 15.设曲线 L 是正向圆周(x-a) 2 +(y-a) 2 =1，(x)是连续的正函数，证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：解设 L 所围成的闭区域为 D，由格林公式得 因为区域 D 关于直线 y=x 对称，所以 于是 16.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上取 A(1，
16、0，0)，B(0，1，0)， 三点为顶点的球面三角形( 均为大圆弧)，若球面密度为 =x 2 +z 2 ，求此球面三角形块的质量(见图) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解设此球面三角形块的质量为 M，于是 由被积函数 f(x，y，z)=x 2 +z 2 可知，取在 xOz 平面上投影合适 因为 所以 17.计算曲面积分 其中， (见图) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解球面 x 2 +y 2 +z 2 =t 2 被上半锥面 分成两部分： 1 ：x 2 +y 2 +z 2 =t 2 ， 2 ：x 2 +y 2 +z 2 =t 2 ， 用球面坐标 dS=t 2 sindd，x
17、2 +y 2 =t 2 sin 2 ， 于是 18.计算曲面积分 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解由于对称性有 故 19.计算曲面积分 其中，是由曲线 绕 y 轴旋转一周所成的曲面，它的法矢量与 y 轴正向的夹角恒大于 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 绕 y 轴旋转的旋转面方程为 y-1=z 2 +x 2 ，见图 20.计算 其中，是圆柱面 x 2 +y 2 =4 被平面 x+z=2 和 z=0 所截出部分的外侧(见图) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 1 ：x+z=2， 2 ：x 2 +y 2 =4， 3 ：z=0， 21.计算曲面积分 其中，为上半球面 （
18、分数：2.50）_正确答案：()解析：解 其中 * 为 z=0，x 2 +y 2 a 2 ，取下侧 所以 22.计算曲面积分 其中，是由曲面 与 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 23.计算曲面积分 其中，是由曲面 x 2 +y 2 =R 2 及两平面 z=R，z=-R(R0)所围立体表面的外侧(见图) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解曲面是封闭的，但 P，Q，R 及其一阶偏导数在曲面所围成的区域中不连续，所以奥高公式不能用! 24.计算 ：锥面 被 z=1，z=2 所截部分的外侧(见图) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 25.计算曲面积分 其中，为曲线 （分数
19、：1.50）_正确答案：()解析：解法一的方程： (x 2 +y 2 4)，添加一个平面 1 ：z=a 2 ，则与 1 构成闭曲面 * ，其所围区域记为 ，于是 解法二 26.求曲面 x 2 =y 2 +z 2 包含在 x 2 +y 2 +z 2 =2z 内的面积 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解两曲面的交线为 它在 yOz 平面上的投影曲线方程为 曲面 x 2 =y 2 +z 2 在 yOz 平面上的投影域为 y 2 +z 2 z 由图形的对称性，故所求面积为 27.求曲线 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解旋转面方程： 该曲面在 xOz 平面上的投影域 D xz ：x 2
20、 +z 2 a 2 ， 无论从 D xz 的表达式，还是从 的形式都可看出用极坐标较方便， 令 x=cos，z=sin， 于是 故 28.计算 L (x 2 +y 3 )ds，其中 L：x 2 +y 2 a 2 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 L (x 2 +y 3 )ds= L x 2 ds+ L y 3 ds 由于 L 的“轮换对称性”，有 L x 2 ds= L y 2 ds 又 L 关于 x 轴对称，且 f(x，y)=y 3 关于 y 为奇函数，所以 L y 3 ds=0 故 29.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 具有连续的导数，且 (0)=
21、0 计算 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 L Pdx+Qdy 与路径无关，所以 y“(x)=2xy (x)=x 2 +C， 又 (0)=0，所以 C=0，故 (x)=x 2 于是 30.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线簇 y=sinx(0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 令 I“()=4( 2 -1)=0 31.设 f()=1，试求 f(x)，使曲线积分 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为曲线积分与路径无关，所以 整理得一阶线性方程 解之得 把 f()=1 代入上式，得 C=-1 故
