1、考研数学一-86 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：100.00)计算 （分数：5.00）(1).(x 2 +y 2 ) 2 =2(x 2 -y 2 )；（分数：2.50）_(2).(x 2 +y 2 ) 2 =2xy（分数：2.50）_更换下列积分次序：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_1.更换下列积分次序： (1) (2) （分数：2.50）_计算下列二重积分：（分数：5.00）(1). D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点
2、的三角形(如图 1所示) （分数：2.50）_(2). D是由直线 y=x及抛物线 y=x 2 所围成的区域(如图 2所示) （分数：2.50）_2.计算 （分数：2.50）_3.设函数 f(x)在0，1上连续，并设 求 （分数：2.50）_4.设有一曲顶柱体，以双曲抛物面 z=xy为顶，以 xy坐标面为底，以平面 y=0为侧，柱面 x 2 +y 2 =1为外侧，柱面 x 2 +y 2 =2x为内侧，试求这个柱体的体积 （分数：2.50）_5.求球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)被平面 与 （分数：2.50）_6.求由下列曲面所围成的形体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=
3、1，x=0，y=0 （分数：2.50）_7.计算 （分数：2.50）_8.设 D是由 x+yt，x=0 及 y=0围成的，求 （分数：2.50）_9.计算 其中 （分数：2.50）_计算下列二重积分：（分数：5.00）(1). D：x 2 +y 2 9如图 1所示 （分数：2.50）_(2). 如图 2所示 （分数：2.50）_(1).计算 其中 D(如图所示)是由 y=x 3 ，y=1，x=-1 所围成的区域，f(u)为连续函数 （分数：2.50）_(2).设 D由 x=0，y=0，x+y=1 围成，计算 （分数：2.50）_10.计算下列积分： （分数：2.50）_11.求 （分数：2.5
4、0）_12.设 f(x，y)是平面域 D上的连续函数，且在 D的任何一个子域 上，恒有 （分数：2.50）_13.设 f(x)在0，a(a0)上连续，试证： （分数：2.50）_14.设 f(x)在a，b上连续，试证： （分数：2.50）_15.设 f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明： （分数：2.50）_16.设 f(x)，g(x)均在a，b上连续，证明柯西不等式： （分数：2.50）_17.设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明 （分数：2.50）_18.证明： （分数：2.50）_19.将 （分数：2.50）_20.将 （分数：2.50）_21.计算
5、 为由平面 x+y+z=1及三坐标面所围之区域(如图所示) （分数：2.50）_22.计算 （分数：2.50）_23.计算 （分数：2.50）_24.计算三重积分 其中 是由锥面 x 2 +y 2 =z 2 与平面 z=a(a0)围成的区域，如图所示 （分数：2.50）_25.设积分区域 D是圆环 1x 2 +y 2 4，求 （分数：2.50）_26.设有一高度为 h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 （分数：2.50）_设 （分数：5.00）(1).a的值；（分数：2.50）_(2).常数 b的值，其中 b满足 （分数：2.50）_考研数学一-86 答案解析(总分：100.
6、00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：100.00)计算 （分数：5.00）(1).(x 2 +y 2 ) 2 =2(x 2 -y 2 )；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解由 D的方程(x 2 +y 2 ) 2 =2(x 2 -y 2 )，x 用-x 替代不变，可知 D关于 y轴对称(同理可知D关于 x轴也对称)又 f(x，y)=xy 关于 x为奇函数，即 f(-x，y)=(-x)y=-xy=-f(x，y)，由性质(8)可知 (2).(x 2 +y 2 ) 2 =2xy（分数：2.50）_正确答案：()解析：解D：(x 2 +y 2 ) 2 =2xy关于原点对称
7、，又 f(-x，-y)=(-x)(-y)=xy=f(x，y)， 所以 D * 为 D在第一象限部分 用极坐标系计算，有 更换下列积分次序：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解由积分的上下限知 由 D 1 ，D 2 作出 D的图形，见图 1于是 图 1故 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解分别写出右边两个积分所确定的不等式组 由 D 1 ，D 2 作出 D的图形如图 2所示，于是 图 2(3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解由 作出其图形， 如图 3所示将积分域 D分成 D 1 ，D 2 及 D 3 三部分 图 3故 (4).
8、（分数：2.50）_正确答案：()解析：解写出确定 D的不等式组，并作出其图形，如图 4所示 图 4故 1.更换下列积分次序： (1) (2) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解极坐标系中的二重积分，若先对 后对 进行积分，则应注意如下两点： (1)积分域 D的边界曲线均用极坐标表示； (2)若以原点 O为圆心的一系列同心圆与域 D的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处把 的区间分开处理 (1) 作图(如图 1所示) 图 1(2) 作图(如图 2所示) 图 2计算下列二重积分：（分数：5.00）(1). D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形(如图 1所示) （分数：
9、2.50）_正确答案：()解析：解因为e -y2 dy不能用有限形式表示出其结果所以它不能先积分，故 (2). D是由直线 y=x及抛物线 y=x 2 所围成的区域(如图 2所示) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解因为 不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故 2.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解因为 不能用有限形式表示出其结果，所以 不能先计算为了改变积分次序，先要写出右边两积分的积分域所对应的不等式组(D 1 ，D 2 所表示的区域如图所示) 故 3.设函数 f(x)在0，1上连续，并设 求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解因为 中 不能直接计算
10、出来 所以必须考虑更换积分次序，为此先画出积分域 D的草图，如图所示 于是 故 4.设有一曲顶柱体，以双曲抛物面 z=xy为顶，以 xy坐标面为底，以平面 y=0为侧，柱面 x 2 +y 2 =1为外侧，柱面 x 2 +y 2 =2x为内侧，试求这个柱体的体积 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解由题设可知曲顶柱体在 xOy平面上的投影，即积分域 D如图所示，由 D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积简便 曲线 L 1 ：=2cos，L 2 ：=1，联立解得， 故 5.求球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)被平面 与 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解如图所示，球
11、面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 与平面 的交线分别为 上半球面方程： 由于对称性，只要算出第一卦限的面积再四倍之即可 6.求由下列曲面所围成的形体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解显然，由以上曲面所围的空间形体在 xOy坐标上的投影是由 x+y=1及 x，y 轴所围成的三角形，如图所示 因为 0x1，0y1，因而 x+yxy， 所以所求体积 7.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解从被积函数 看，用极坐标系做要简单些，但从积分域 D的形状看却又以直角坐标系为宜，在二者不可兼得的情况下，应以 D的形状来决定用
12、什么坐标系，本题用直角坐标系做，如图所示 8.设 D是由 x+yt，x=0 及 y=0围成的，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解做出 f(x，y)及 D的图形，如图所示 当 t0 时，f(x，y)=0，F(t)=0； 当 0t1 时，f(x，y)=1 当 1t2 时，f(x，y)=1 当 t2 时，f(x，y)=1 综上所述，可知 9.计算 其中 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解作出积分区域，如图所示 计算下列二重积分：（分数：5.00）(1). D：x 2 +y 2 9如图 1所示 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解(2). 如图 2所示 （分数：2.50）_正
13、确答案：()解析：解(1).计算 其中 D(如图所示)是由 y=x 3 ，y=1，x=-1 所围成的区域，f(u)为连续函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解作辅助线 y=-x 3 ，则 D=ABO+BOC (2).设 D由 x=0，y=0，x+y=1 围成，计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解10.计算下列积分： （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 11.求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 12.设 f(x，y)是平面域 D上的连续函数，且在 D的任何一个子域 上，恒有 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证用反证法设有一点 P 0 (x 0 ，
14、y 0 )D，而 f(x 0 ，y 0 )0，不妨设 f(x 0 ，y 0 )0，由 f(x，y)的连续性，可知存在一个 P 0 (x 0 ，y 0 )的邻域 (P 0 ，)D，使得在其中 f(x，y)0，于是，由积分中值定理，必存在(，)(P 0 ，)，使 其中 s为 (P 0 ，)的面积，又因 f(，)0 故 13.设 f(x)在0，a(a0)上连续，试证： （分数：2.50）_正确答案：()解析：证如图所示 14.设 f(x)在a，b上连续，试证： （分数：2.50）_正确答案：()解析：证 15.设 f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明： （分数：2.50）_
15、正确答案：()解析：证采用极坐标，令 x=cos，y=sin， 则 于是 因为 f(x，y)在单位圆的边界上取值为零，故 f(cos，sin)=0 再利用积分中值定理，可知 其中 * 0，2，故 16.设 f(x)，g(x)均在a，b上连续，证明柯西不等式： （分数：2.50）_正确答案：()解析：证法一辅助函数法： 令 (因为f(u)g(x) 2 +g(u)f(x) 2 2f(u)g(x)g(u)f(x) 所以 F(u)“”，又因为 F(a)=0， 故 F(b)F(a)=0，即 亦即 证法二判别式法：设 t为任意实数，则 f(x)-tg(x) 2 =f 2 (x)-2tf(x)g(x)+t
16、2 g 2 (x)0， 因而有 上式中间部分是关于实数 t的二次三项式，故其判别式仅当 =B 2 -4AC0 时不等号才成立， 即 由此可推出命题成立 证法三二重积分法：令 则 故 17.设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证令 类似处理，又有 将式和式相加，并注意到假设即(x-y)f(x)-f(y)0， 就有 18.证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：证考虑二重积分 分别取 D为 D 1 ：x 2 +y 2 N 2 ，x0，y0， D 2 ：0xN，0yN， D 3 ：x 2 +y 2 2N 2 ，x0，y0 因为 f(x，y
17、)=e -(x2+y2) 0，且 所以 把左右两个二重积分化为极坐标系下的形式，于是 故 19.将 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 20.将 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解由下图，则 21.计算 为由平面 x+y+z=1及三坐标面所围之区域(如图所示) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 方法一： 因 f(x，y，z)=x+y+z 及积分域关于 x，y，z 均对称， 故 于是 方法二： 22.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解凡积分域是由抛物面与其他曲面所围成的形体，一般用柱坐标计算为宜在柱坐标系下， 球面与抛物面的交线为 即 故 23.计算 （分
18、数：2.50）_正确答案：()解析：解曲线 绕 Oz轴旋转，所得旋转面方程为 x 2 +y 2 =2z，如图所示 方法一：无论从积分域还是从被积函数均可看出本题以选柱坐标系为宜由于积分域 在 xOy面上的投影域的两个不同部分： D 1 ：02，D 2 ：24 之中过任一点所作平行于 z轴的直线与围成 的不同曲面相交，故原积分应视为柱坐标下两个不同的三重积分之和，即 方法二：(先 2后 1) 24.计算三重积分 其中 是由锥面 x 2 +y 2 =z 2 与平面 z=a(a0)围成的区域，如图所示 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解本题积分域为锥体，既可用柱面坐标系，也可用球面坐标系该处
19、用球面坐标系做，注意各面均应写成球坐标方程 25.设积分区域 D是圆环 1x 2 +y 2 4，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解因积分域 1x 2 +y 2 4 关于 x轴，y 轴对称，且函数 2x 3 及 分别是 x，y 的奇函数，将被积函数分项积分，得 又由二重积分的几何意义，知 故 26.设有一高度为 h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解记 V为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则 由题知 所以 因此 由 h(0)=130，得 设 （分数：5.00）(1).a的值；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解在极坐标下， (2).常数 b的值，其中 b满足 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解对于上小题的 得 此外， 于是由题设得 即 b=2 解析 先将上小题算得的 a代入 计算它的值，然后计算
