1、考研数学一-85 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：100.00)1.设 （分数：3.00）_2.求 （分数：3.00）_3. （分数：3.00）_4.求极限 （分数：3.00）_5.设 （分数：3.00）_6.求由方程 （分数：3.00）_7.设 u=x yz ，求 （分数：3.00）_8. （分数：3.00）_9. （分数：3.00）_10.设 z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中 f(t)二阶可导，g(u，)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：3.00）_11.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f具有连续的二阶偏导数，求 （分
2、数：3.00）_12.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx其中，f， 都具有一阶连续偏导数，且 求 （分数：3.00）_13.设 =f(t)，t=(xy，x 2 +y 2 )，其中 f， 具有连续的二阶导数及偏导数，求 （分数：3.00）_已知函数 u=u(x，y)存在二阶连续偏导数满足方程 （分数：6.00）(1).试选择参数 ，利用变换 u(x，y)=v(x，y)e x+y 将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项（分数：3.00）_(2).再令 =x+y，=x-y，使新方程变换形式（分数：3.00）_14.设 y=f(x，t)，而 t是由方程 F(x，
3、y，t)=0 所确定的 x，y 的函数，求 （分数：3.00）_15. （分数：3.00）_16.设函数 z(x，y)由方程 所确定，证明： （分数：3.00）_17.设 u=f(x，y)，其中，y 是由方程 (x，y)=0 所确定的 x的函数(f 及 均有连续的二阶偏导数)，求 （分数：3.00）_18.求曲线 （分数：3.00）_19.求曲线 （分数：3.00）_20.求曲面 z-e z +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程和法线方程 （分数：3.00）_21.求过直线 且与曲面 （分数：3.00）_22.试证：曲面 （分数：3.00）_23.求由方程 x 2 +y 2 +z 2
4、-2x+2y-4z-10=0确定的函数 z=f(x，y)的极值 （分数：3.00）_24.求函数 （分数：3.00）_25.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线 x+y=6，x 轴和 y轴所围成的闭域 D上的最大值与最小值 （分数：3.00）_26.已知三角形周长为 2p，试求此三角形绕自己的一边旋转时所构成的旋转体体积的最大值 （分数：3.00）_27.在平面 与三坐标面所围成的四面体内(如图所示)，作一个以该平面为顶面，在 xOy坐标面上的投影为长方形(与 AB相接)的六面体中体积之最大者(其中 a，b，c0) （分数：3.00）_28.设 x+y+z=e xy ，
5、求 （分数：3.00）_29.在第卦限内作椭球面 （分数：3.00）_设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)|x 2 +y 2 -xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75-x 2 -y 2 +xy（分数：7.00）(1).设 M(x 0 ，y 0 )为区域 D上一点，问 h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x 0 ，y 0 )，试写出 g(x 0 ，y 0 )的表达式（分数：3.50）_(2).现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 D的边界线
6、 x 2 +y 2 -xy=75上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置（分数：3.50）_考研数学一-85 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：100.00)1.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解令 u=x+y， 则 故 2.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解对 arcsin(2x)，D f ：|2x|1， 对 D f ：4x-y 2 0， 对 D f ：1-x 2 -y 2 0，且 1-x 2 -y 2 1 故，所求函数的定义域为(如图所示) 3. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解
7、因为当(x，y)沿 x=y的路径趋于无穷时， 而 所以 又 故 4.求极限 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解5.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 6.求由方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 的两边分别对 x，y 求偏导数，并解出 z“ x ，z“ y ，得 故 7.设 u=x yz ，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解8. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解9. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解令 xy=u，x+y=u， 则 10.设 z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中 f(t)二阶可导，g(u，)具有连续的二阶偏导数，
8、求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解11.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f具有连续的二阶偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解令 u=2x-y，=ysinx，则 z=f(u，)， 12.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx其中，f， 都具有一阶连续偏导数，且 求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (x 2 ，e y ，z)=0 的两边对 x求偏导，得 故 13.设 =f(t)，t=(xy，x 2 +y 2 )，其中 f， 具有连续的二阶导数及偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解如图所示中，令代表
9、 xy，代表(x 2 +y 2 )， 已知函数 u=u(x，y)存在二阶连续偏导数满足方程 （分数：6.00）(1).试选择参数 ，利用变换 u(x，y)=v(x，y)e x+y 将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将，代入并消去 e x+y ，得 由题意可知，应令 2+a=0， 故原方程 (2).再令 =x+y，=x-y，使新方程变换形式（分数：3.00）_正确答案：()解析：解令 =x+y，=x-y，故 代入，得 14.设 y=f(x，t)，而 t是由方程 F(x，y，t)=0 所确定的 x，y 的函数，求 （分数：3.00）_正确答案：(
10、)解析：解 确定 y，t 为 x的一元函数 两个方程的两边分别对 x求偏导，得 15. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解所给的方程组中含有五个变量 x，y，z，u，从所求的结果中明显看出 u， 是因变量，x，z 是自变量，y 究竟是因变量，还是自变量呢?在这种所求偏导是一阶，而又有一变量的属性不太明确的情况下，用全微分形式不变性来处理比较简便 对 的两边求全微分，得 16.设函数 z(x，y)由方程 所确定，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证法一公式法：先求 上面两式相加，即得 证法二直接法：方程的两边分别对 x，y 求偏导，注意 x，y 彼此间无关，z 是 x，y
11、的函数， 方程两边同乘以 x 2 y，得 由于对称性，即得 上式两式相加，便得： 17.设 u=f(x，y)，其中，y 是由方程 (x，y)=0 所确定的 x的函数(f 及 均有连续的二阶偏导数)，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方程 (x，y)=0 的两边对 x求导，得 解得 将式和式代入式，得 18.求曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解当 t=0时， x“=e t cost，x“(0)=1；y“=2cost-sint，y“(0)=2；z“=3e 3t ，z“(0)=3， 故，切线方程为 19.求曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解令 F(x，y，z
12、)=x 2 +y 2 +z 2 -6， G(x，y，z)=x+y+z， 故过点(1，-2，1)的切线方程为 20.求曲面 z-e z +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程和法线方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解令 F(x，y，z)=z-e z +2xy-3， F“ x | (1，2，0) =2y| (1，2，0) =4， F“ y | (1，2，0) =2x| (1，2，0) =2， F“ z | (1，2，0) =1-e z | (1，2，0) =0 故，切平面方程为 4(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0， 即 2x+y-4=0 法线方程为 即 21.求过直线
13、且与曲面 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解令 则 F“ x =4x，F“ y =-4y，F“ z =2 过直线 L的平面束方程为 3x-2y-z-5+(x+y+z)=0， 即(3+)x+(-2)y+(-1)z-5=0， 其法矢量为3+，-2，-1， 设曲面与切平面的切点为(x 0 ，y 0 ，z 0 )，则 由式和式联立解之，有 22.试证：曲面 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证令 故，在曲面上任一点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处切平面方程为 在上式中令 y=z=0得切平面在 x轴上的截距为 由曲面方程的对称性可知，切平面在 y，z 轴上的截距分别为 故 23.求由方程
14、 x 2 +y 2 +z 2 -2x+2y-4z-10=0确定的函数 z=f(x，y)的极值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解法一方程的两边分别对 x，y 求偏导，得， 由函数取极值的必要条件 将代入解得 x=1，y=-1，P(1，-1)为驻点 将的两个方程分别对 x，y 求偏导，得 B=z“ xy | P =0 因为 所以 z=f(x，y)| P 取极值 将 x=1，y=-1 代入原方程，得 z 1 =-2，z 2 =6， 把 z 1 =-2代入， 故，z=f(1，-1)=-2 为极小值 把 z 2 =6代入， 故 z=f(1，-1)=6 为极大值 解法二配方法 原方程可变形为(x
15、-1) 2 +(y+1) 2 +(z-2) 2 =16， 于是 24.求函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解简单即求 =x 2 +y 2 +z 2 在条件(x-y) 2 -z 2 =1下的极值(注：u 与 在相同条件下的极值点相同)令 F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 +(x-y) 2 -z 2 -1， 解方程组 由 (-1)z=0 =1 或 z=0 当 =1 时，方程组不相容，故 1，于是，只有 z=0，代入其他各式，得驻点： 又由 F“ x2 =2(1+)，F“ xy =-2，F“ y2 =2(1+)， F“ z2 =2(1-)，F“ yz =F“ xz =0， 故
16、 P 1 ，P 2 分别为 的极小值点，亦即 u的极小值点极小值为： 25.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线 x+y=6，x 轴和 y轴所围成的闭域 D上的最大值与最小值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解(1)先求函数在 D内的驻点(如图所示)，解方程组 得 x=0，(0y6)，及点(4，0)，(2，1)；在 D内只有唯一驻点(2，1)，在该点处 f(2，1)=4 (2)再求 f(x，y)在 D的边界上的最值 在边界 x=0(0y6)和 y=0(0x6)上 f(x，y)=0 在边界 x+y=6上，y=6-x，代入 f(x，y)中，得 f(x，y)=x 2
17、(6-x)(-2)=2x 2 (x-6)， f“ x =4x(x-6)+2x 2 =6x 2 -24x=0 x=0，x=4， 26.已知三角形周长为 2p，试求此三角形绕自己的一边旋转时所构成的旋转体体积的最大值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解设三角形的三边分别为 x，y，z(如图所示)，不妨设它绕 AC边旋转，AC 边上的高为 h，面积为 5，于是 则旋转体体积为 其中 x+y+z=2p 为简便即求 u=ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)-lny在条件 x+y+z=2p之下的驻点 令 F(x，y，z)=ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)-lny+(x+y+
18、z-2p) 解方程组 解这类方程组通常是将含 的项移到等式的右边，然后两式相除，消去 ，得两变量之间的关系式 由 “得：p(p-x)=y(p-y)， “得：x=z 再将，联立，解之得 为驻点 故 V的最大值为 27.在平面 与三坐标面所围成的四面体内(如图所示)，作一个以该平面为顶面，在 xOy坐标面上的投影为长方形(与 AB相接)的六面体中体积之最大者(其中 a，b，c0) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解如题图所示，则六面体体积为 直线 AB： 令 解方程 得 此时 即所求最大体积为 28.设 x+y+z=e xy ，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解方程 x+y+z
19、=e xy 两边微分，得 dx+dy+dz=e xy (ydx+xdy)，即 dz=(ye xy -1)dx+(xe xy -1)dy， 故 因为方程关于 x，y 对称，所以 所以 29.在第卦限内作椭球面 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解设 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )为椭球面上一点，令 则 过 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )点的切平面方程为 即 该切平面在 x，y，z 轴的截距分别为 则切平面与三坐标面所围四面体体积为 现求 V在条件 之下的最小值 令 u=lnx 0 +lny 0 +lnz 0 ， 解方程组 可得 故当切点坐标为 时，切平面与三坐标面所围成的四面体体积
20、最小，即 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)|x 2 +y 2 -xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75-x 2 -y 2 +xy（分数：7.00）(1).设 M(x 0 ，y 0 )为区域 D上一点，问 h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x 0 ，y 0 )，试写出 g(x 0 ，y 0 )的表达式（分数：3.50）_正确答案：()解析：解由梯度的几何意义知，h(x，y)在点 M(x 0 ，y 0 )处沿梯度 gradh(x，y)| (x0，y0) =(y 0 -2x 0 )i+(x 0
21、-2y 0 )j方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以 (2).现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 D的边界线 x 2 +y 2 -xy=75上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置（分数：3.50）_正确答案：()解析：解令 f(x，y)=g 2 (x，y)=5x 2 +5y 2 -8xy， 由题意，只需求 f(x，y)在约束条件 75-x 2 -y 2 +xy=0下的最大值点 令 L(x，y)=5x 2 +5y 2 -8xy+(75-x 2 -y 2 +xy)，则 由式和式消去 ，得 y=x，代入式，得 于是得到 4个可能的极值点：M 1 (5，-5)，M 2 (-5，5)，
