1、考研数学一-84 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.若矢量 a+3b垂直于 7a-5b，并且矢量 a-4b垂直于 7a-2b，求 a与 b的夹角 （分数：3.00）_2.求与矢量 a=2i-j+2k共线且满足 ax=-18的矢量 x （分数：3.50）_化简下列各式：（分数：9.00）(1).(a+b)(b+c)(c+a)；（分数：3.00）_(2).(ab)(ab)+(ab)(ab)（分数：3.00）_(3).(2a+b)(c-a)+(b+c)(a+b)（分数：3.00）_3.证明矢量 （分数：3.50）_已知矢量 如图所
2、示 （分数：7.00）(1).ODA 的面积等于 （分数：3.50）_(2).当 a，b 的夹角 为何值时，ODA 的面积取最大值?（分数：3.50）_4.证明：当 a，b，c 不共面时，方程组 xa+yb+zc=d 有以下解： （分数：3.50）_证明如下结论：（分数：7.00）(1).若 ab+bc+ca=0，则矢量 a，b，c 共面；（分数：3.50）_(2).若 ab=cd，ac=bd，则矢量 a-d与 b-c共线（分数：3.50）_5.一矢量与 x轴 y轴成等角，与 z轴所构成的角是它们的 2倍，试确定该矢量的方向 （分数：3.50）_6.设曲线方程为 （分数：3.50）_7.求曲线
3、 （分数：3.50）_8.求直线 （分数：3.50）_9.设准线方程为 （分数：3.50）_10.设准线方程为 （分数：3.50）_11.求下列各平面曲线的旋转面方程： (1) 分别绕 x轴，y 轴旋转 (2)求空间直线 （分数：3.50）_12.求以原点为顶点且经过三坐标轴的正圆锥面方程 （分数：3.50）_13.求直线 L： （分数：3.50）_14.求过直线 （分数：3.50）_15.求平行于平面 6x+y+6z+5=0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面 （分数：3.50）_16.求通过下列两平面 1 ：2x+y-z-2=0 和 2 ：3x-2y-2z+1=0 的交线，且与
4、平面 3 ：3x+2y+3z-6=0垂直的平面方程 （分数：3.50）_17.求过点(-1，-4，3)并与下面两直线 和 （分数：3.50）_18.求过点(-1，0，4)，平行于平面 3x-4y+z=10，且与直线 （分数：3.50）_19.直线过点 A(-3，5，-9)，且与两直线 和 （分数：3.50）_20.判断两直线 和 （分数：3.50）_21.判断下列两直线 和 （分数：3.50）_设二元函数 （分数：4.00）(1).使方向导数 （分数：2.00）_(2).过点 M(2，-1，3)，与直线 L 1 ： （分数：2.00）_考研数学一-84 答案解析(总分：100.00，做题时间：
5、90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.若矢量 a+3b垂直于 7a-5b，并且矢量 a-4b垂直于 7a-2b，求 a与 b的夹角 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解由题设可知 把代入，得|a|=|b|，又 故 2.求与矢量 a=2i-j+2k共线且满足 ax=-18的矢量 x （分数：3.50）_正确答案：()解析：解因为 x与 a共线，所以 化简下列各式：（分数：9.00）(1).(a+b)(b+c)(c+a)；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解利用矢积，混合积性质并注意到 cc=0，a(ba)，a(ca)，b(bc)，b(ba)，于是 (a+b)(
6、b+c)(c+a) =(a+b)(bc+ba+cc+ca)=(a+b)(bc+ba+ca) =a(bc)+a(ba)+a(ca)+b(ba)+b(ca)+b(bc) =a(bc)+b(ca)=(a，b，c)+(b，c，a)=2(a，b，c)(2).(ab)(ab)+(ab)(ab)（分数：3.00）_正确答案：()解析：解(ab)(ab)+(ab)(ab) =|ab| 2 +(ab) 2 =(|a|b|) 2 sin 2 (a，b)+(|a|b|) 2 cos 2 (a (3).(2a+b)(c-a)+(b+c)(a+b)（分数：3.00）_正确答案：()解析：解原式=2ac+bc-2aa-b
7、a+ba+ca+bb+cb =2ac+bc+ca+cb=ac3.证明矢量 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证设 a 0 ，b 0 分别表示与 a，b 同向的单位矢量，则 由 a 0 ，b 0 为边所构成的平行四边形为菱形，知其对角线平分顶角，于是 这是与 a，b 夹角平分线平行的矢量，又 其中 已知矢量 如图所示 （分数：7.00）(1).ODA 的面积等于 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解设ODA 的面积为 S，则 又|ab|=|a|b|cos，|ab|=|a|b|sin， 于是， 故 (2).当 a，b 的夹角 为何值时，ODA 的面积取最大值?（分数：3.50）_正确答
8、案：()解析：解由 令 可得 是 内唯一驻点 又 故，当 时，ODA 的面积 4.证明：当 a，b，c 不共面时，方程组 xa+yb+zc=d 有以下解： （分数：3.50）_正确答案：()解析：证将式的两边点乘 bc，并注意到：b，b，c 共面，c，b，c 共面，则有 (xa+yb+zc)(bc)=xa(bc)+yb(bc)+zc(bc) =xa(bc) 即 xa(bc)=d(bc)， 故， 证明如下结论：（分数：7.00）(1).若 ab+bc+ca=0，则矢量 a，b，c 共面；（分数：3.50）_正确答案：()解析：证由于 a，b，c 共面 (2).若 ab=cd，ac=bd，则矢量
9、a-d与 b-c共线（分数：3.50）_正确答案：()解析：证由于 a-d与 b-c共线 5.一矢量与 x轴 y轴成等角，与 z轴所构成的角是它们的 2倍，试确定该矢量的方向 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解设该矢量与 x，y 轴的夹角为 ，则与 z轴的夹角为 2，又由于方向余弦的平方和等于 1， 所以 cos 2 +cos 2 +cos2=1， 2cos 2 +(2cos 2 -1) 2 =1， 2cos 2 (2cos 2 -1)=0 该矢量的方向角分别为： 故，该矢量的方向为cos=0，cos=0，cos=-1， 或 6.设曲线方程为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解
10、通过配方，将上述方程组变形为 解之得 x 2 +4y=0， 于是，曲线在 xOy面上的投影方程为 类似地可求得曲线在 xOz，yOz 面上的投影方程分别为 7.求曲线 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解曲线在 XY面上的投影方程为 -，得 z 2 +ax=a 2 ， 于是可知曲线在 XZ面上的投影方程为 从式中解出 代入式，得 z 4 +a 2 (y 2 -z 2 )=0， 于是可得曲线在 YZ面上的投影方程为 8.求直线 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解直线 L在 xOy，xOz，yOz 坐标面上的投影方程分别为 下面求直线 L在平面：x-y+3z+8=0 上的投影方程 先
11、求出通过直线 L且垂直于平面的平面 * 的方程，此即直线 L在平面上的投影柱面 直线 L的方向矢量 s=-1，2，8，平面的法矢量 n=1，-1，3，设平面 * 的法矢量 n * ，由投影柱面的意义有 又平面 * 通过直线 L，可知直线 L上的点 P(3，-1，5)在平面 * 上，于是该平面方程为 14(x-3)+11(y+1)-(z-5)=0， 即 14x+11y-z-26=0， 故所求 L在上的投影方程为 9.设准线方程为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解柱面的母线方程可表示为 令 y=Y，z=Z-t， 将其代入准线方程有 10.设准线方程为 （分数：3.50）_正确答案：()解
12、析：解由题设可知母线的方向矢量 s=1，1，1，(x，y，z)为准线上任一点，于是柱面的母线方程可表示为 11.求下列各平面曲线的旋转面方程： (1) 分别绕 x轴，y 轴旋转 (2)求空间直线 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解平面曲线绕某轴旋转，则该坐标所对应的变量不变 (1)绕 x轴的旋转面方程 x 2 +4(y 2 +z 2 )=1， 绕 y轴的旋转面方程 x 2 +z 2 +4y 2 =1 (2)解得 旋转面方程为： 12.求以原点为顶点且经过三坐标轴的正圆锥面方程 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解以 O(0，0，0)为顶点的锥面经过三坐标轴，易知 A(1，0，0)
13、，B(0，1，0)，C(0，0，1)必在锥面上，由 A，B，C 三点所确定的平面为 x+y+z=1 该平面与正圆锥面的交线是一个圆 这是锥面的准线，设 M(X，Y，Z)为锥面上任一点，(x，y，z)为母线 OM与准线的交点，故母线方程为 令 则 x=Xt，y=Yt，z=Zt，代入式得 13.求直线 L： （分数：3.50）_正确答案：()解析：解平面的法向量 n=1，-1，2，直线 L的方向向量 s=1，1，-1于是求直线 L在平面上的投影平面方程 即 x-3y-2z+1=0 于是 L 0 的方程为 消去 z得 x=2y 所以 L 0 的参数式 故所求旋转曲面方程为 14.求过直线 （分数：3
14、.50）_正确答案：()解析：解直线的方向矢量 s=2，-3，2，已知平面的法矢量为 n=3，2，-1，设所求平面的法矢量为n * ，由题意 n * n 且，n * s，故可令 15.求平行于平面 6x+y+6z+5=0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解设所求平面为 由题设有 由方程可知 将其代入式，得 a=1，b=6，c=1 或 a=-1，b=-6，c=-1， 故所求平面方程为 16.求通过下列两平面 1 ：2x+y-z-2=0 和 2 ：3x-2y-2z+1=0 的交线，且与平面 3 ：3x+2y+3z-6=0垂直的平面方程 （分数
15、：3.50）_正确答案：()解析：解设所求平面为 (2x+y-z-2)+(3x-2y-2z+1)=0， 即(2+3)x+(-2)y+(-2)z+(-2+)=0， 由于该平面平面 3 ，所以它们的法矢量一定互相垂直，于是 3(2+3)+2(-2)+3(-2)=0 17.求过点(-1，-4，3)并与下面两直线 和 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解设所求直线方程为 直线 L 1 与 L 2 的方向矢量分别为 s 1 =-3，1，10，s 2 =4，-1，2， 由题意有 ss 1 ，ss 2 ，故 令 n=1，则所求直线为 18.求过点(-1，0，4)，平行于平面 3x-4y+z=10，且与
16、直线 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解设所求的直线方程为 平面的法矢量 n=3，-4，1，由直线与平面平行，所以 ns 3l-4m+n=0， 因为两直线相交，故有 解方程，得 令 n=28，得 l=16，m=19， 故，所求直线为 19.直线过点 A(-3，5，-9)，且与两直线 和 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解设所求直线方程 因为直线 L与直线 L 1 ，L 2 相交 所以 由方程组与方程组，得 n=2l，m=22l， 令 l=1，则 m=22，n=2， 故所求直线方程为 20.判断两直线 和 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解直线 L 1 ，L 2 的方向矢
17、量分别为 s 1 =1，1，2，s 2 =1，3，4，该两直线分别通过 P(-1，0，1)，Q(0，-1，2) =1，-1，1， 因为 所以直线 L 1 与 L 2 为异面直线 直线 L 1 与 L 2 的参数方程分别为 设两直线间的距离为 d，则 令 h=(s-t+1) 2 +(-1+3s-t) 2 +(1+4s-2t) 2 ， 由二元函数求极值的方法可知，当 s=1时的距离 d最小，为 21.判断下列两直线 和 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解直线 L 1 与 L 2 的方向矢量分别为 s 1 =2，3，4，s 2 =1，1，2，并且它们分别过点P(0，-3，0)，Q(1，-2，
18、2)， =1，1，2直线 L 1 与 L 2 共面 矢量 s 1 ，s 2 ， 共面，即混合积=0，因为 故直线 L 1 与 L 2 共面 下面求直线 L 1 与 L 2 的交点， 为此令 即 x=2t，y=-3+3t，z=4t，代入 L 2 中，得 设二元函数 （分数：4.00）(1).使方向导数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由于 f(x，y)是非初等函数，所以利用定义计算方向导数 由于在方向 =cos，sin上，x=rcos，y=rsin，所以对 0，2)有 因此使 的最大 值 0 = 解析 利用方向导数的定义，计算 (它是 的函数)，由此确定使 (2).过点 M(2，-1，3)，与直线 L 1 ： （分数：2.00）_正确答案：()解析：解设 L的方向向量为 s=l，m，n，则由 L过点 M(2，-1，3)及与直线 L 1 相交知，向量 s 1 ，s 共面其中，M 0 =(1，0，-2)是 L 1 上的点，s 1 =1，-1，1是 L 1 的方向向量，于是有 即 由此得 l，m，n 满足 l+m=0 此外，由于 L与平面的夹角为 0 =，即 L与平面 1 平行，或者说 L与 1 的法向量 n=3，-2，1垂直，所以 l，m，n 满足 sn=0，即 3l-2m+n=0 由式和式得， 所以 L的方向向量
