1、考研数学一-84 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:25,分数:100.00)1.若矢量 a+3b垂直于 7a-5b,并且矢量 a-4b垂直于 7a-2b,求 a与 b的夹角 (分数:3.00)_2.求与矢量 a=2i-j+2k共线且满足 ax=-18的矢量 x (分数:3.50)_化简下列各式:(分数:9.00)(1).(a+b)(b+c)(c+a);(分数:3.00)_(2).(ab)(ab)+(ab)(ab)(分数:3.00)_(3).(2a+b)(c-a)+(b+c)(a+b)(分数:3.00)_3.证明矢量 (分数:3.50)_已知矢量 如图所
2、示 (分数:7.00)(1).ODA 的面积等于 (分数:3.50)_(2).当 a,b 的夹角 为何值时,ODA 的面积取最大值?(分数:3.50)_4.证明:当 a,b,c 不共面时,方程组 xa+yb+zc=d 有以下解: (分数:3.50)_证明如下结论:(分数:7.00)(1).若 ab+bc+ca=0,则矢量 a,b,c 共面;(分数:3.50)_(2).若 ab=cd,ac=bd,则矢量 a-d与 b-c共线(分数:3.50)_5.一矢量与 x轴 y轴成等角,与 z轴所构成的角是它们的 2倍,试确定该矢量的方向 (分数:3.50)_6.设曲线方程为 (分数:3.50)_7.求曲线
3、 (分数:3.50)_8.求直线 (分数:3.50)_9.设准线方程为 (分数:3.50)_10.设准线方程为 (分数:3.50)_11.求下列各平面曲线的旋转面方程: (1) 分别绕 x轴,y 轴旋转 (2)求空间直线 (分数:3.50)_12.求以原点为顶点且经过三坐标轴的正圆锥面方程 (分数:3.50)_13.求直线 L: (分数:3.50)_14.求过直线 (分数:3.50)_15.求平行于平面 6x+y+6z+5=0,而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面 (分数:3.50)_16.求通过下列两平面 1 :2x+y-z-2=0 和 2 :3x-2y-2z+1=0 的交线,且与
4、平面 3 :3x+2y+3z-6=0垂直的平面方程 (分数:3.50)_17.求过点(-1,-4,3)并与下面两直线 和 (分数:3.50)_18.求过点(-1,0,4),平行于平面 3x-4y+z=10,且与直线 (分数:3.50)_19.直线过点 A(-3,5,-9),且与两直线 和 (分数:3.50)_20.判断两直线 和 (分数:3.50)_21.判断下列两直线 和 (分数:3.50)_设二元函数 (分数:4.00)(1).使方向导数 (分数:2.00)_(2).过点 M(2,-1,3),与直线 L 1 : (分数:2.00)_考研数学一-84 答案解析(总分:100.00,做题时间:
5、90 分钟)一、解答题(总题数:25,分数:100.00)1.若矢量 a+3b垂直于 7a-5b,并且矢量 a-4b垂直于 7a-2b,求 a与 b的夹角 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解由题设可知 把代入,得|a|=|b|,又 故 2.求与矢量 a=2i-j+2k共线且满足 ax=-18的矢量 x (分数:3.50)_正确答案:()解析:解因为 x与 a共线,所以 化简下列各式:(分数:9.00)(1).(a+b)(b+c)(c+a);(分数:3.00)_正确答案:()解析:解利用矢积,混合积性质并注意到 cc=0,a(ba),a(ca),b(bc),b(ba),于是 (a+b)(
6、b+c)(c+a) =(a+b)(bc+ba+cc+ca)=(a+b)(bc+ba+ca) =a(bc)+a(ba)+a(ca)+b(ba)+b(ca)+b(bc) =a(bc)+b(ca)=(a,b,c)+(b,c,a)=2(a,b,c)(2).(ab)(ab)+(ab)(ab)(分数:3.00)_正确答案:()解析:解(ab)(ab)+(ab)(ab) =|ab| 2 +(ab) 2 =(|a|b|) 2 sin 2 (a,b)+(|a|b|) 2 cos 2 (a (3).(2a+b)(c-a)+(b+c)(a+b)(分数:3.00)_正确答案:()解析:解原式=2ac+bc-2aa-b
7、a+ba+ca+bb+cb =2ac+bc+ca+cb=ac3.证明矢量 (分数:3.50)_正确答案:()解析:证设 a 0 ,b 0 分别表示与 a,b 同向的单位矢量,则 由 a 0 ,b 0 为边所构成的平行四边形为菱形,知其对角线平分顶角,于是 这是与 a,b 夹角平分线平行的矢量,又 其中 已知矢量 如图所示 (分数:7.00)(1).ODA 的面积等于 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解设ODA 的面积为 S,则 又|ab|=|a|b|cos,|ab|=|a|b|sin, 于是, 故 (2).当 a,b 的夹角 为何值时,ODA 的面积取最大值?(分数:3.50)_正确答
8、案:()解析:解由 令 可得 是 内唯一驻点 又 故,当 时,ODA 的面积 4.证明:当 a,b,c 不共面时,方程组 xa+yb+zc=d 有以下解: (分数:3.50)_正确答案:()解析:证将式的两边点乘 bc,并注意到:b,b,c 共面,c,b,c 共面,则有 (xa+yb+zc)(bc)=xa(bc)+yb(bc)+zc(bc) =xa(bc) 即 xa(bc)=d(bc), 故, 证明如下结论:(分数:7.00)(1).若 ab+bc+ca=0,则矢量 a,b,c 共面;(分数:3.50)_正确答案:()解析:证由于 a,b,c 共面 (2).若 ab=cd,ac=bd,则矢量
9、a-d与 b-c共线(分数:3.50)_正确答案:()解析:证由于 a-d与 b-c共线 5.一矢量与 x轴 y轴成等角,与 z轴所构成的角是它们的 2倍,试确定该矢量的方向 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解设该矢量与 x,y 轴的夹角为 ,则与 z轴的夹角为 2,又由于方向余弦的平方和等于 1, 所以 cos 2 +cos 2 +cos2=1, 2cos 2 +(2cos 2 -1) 2 =1, 2cos 2 (2cos 2 -1)=0 该矢量的方向角分别为: 故,该矢量的方向为cos=0,cos=0,cos=-1, 或 6.设曲线方程为 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解
10、通过配方,将上述方程组变形为 解之得 x 2 +4y=0, 于是,曲线在 xOy面上的投影方程为 类似地可求得曲线在 xOz,yOz 面上的投影方程分别为 7.求曲线 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解曲线在 XY面上的投影方程为 -,得 z 2 +ax=a 2 , 于是可知曲线在 XZ面上的投影方程为 从式中解出 代入式,得 z 4 +a 2 (y 2 -z 2 )=0, 于是可得曲线在 YZ面上的投影方程为 8.求直线 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解直线 L在 xOy,xOz,yOz 坐标面上的投影方程分别为 下面求直线 L在平面:x-y+3z+8=0 上的投影方程 先
11、求出通过直线 L且垂直于平面的平面 * 的方程,此即直线 L在平面上的投影柱面 直线 L的方向矢量 s=-1,2,8,平面的法矢量 n=1,-1,3,设平面 * 的法矢量 n * ,由投影柱面的意义有 又平面 * 通过直线 L,可知直线 L上的点 P(3,-1,5)在平面 * 上,于是该平面方程为 14(x-3)+11(y+1)-(z-5)=0, 即 14x+11y-z-26=0, 故所求 L在上的投影方程为 9.设准线方程为 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解柱面的母线方程可表示为 令 y=Y,z=Z-t, 将其代入准线方程有 10.设准线方程为 (分数:3.50)_正确答案:()解
12、析:解由题设可知母线的方向矢量 s=1,1,1,(x,y,z)为准线上任一点,于是柱面的母线方程可表示为 11.求下列各平面曲线的旋转面方程: (1) 分别绕 x轴,y 轴旋转 (2)求空间直线 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解平面曲线绕某轴旋转,则该坐标所对应的变量不变 (1)绕 x轴的旋转面方程 x 2 +4(y 2 +z 2 )=1, 绕 y轴的旋转面方程 x 2 +z 2 +4y 2 =1 (2)解得 旋转面方程为: 12.求以原点为顶点且经过三坐标轴的正圆锥面方程 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解以 O(0,0,0)为顶点的锥面经过三坐标轴,易知 A(1,0,0)
13、,B(0,1,0),C(0,0,1)必在锥面上,由 A,B,C 三点所确定的平面为 x+y+z=1 该平面与正圆锥面的交线是一个圆 这是锥面的准线,设 M(X,Y,Z)为锥面上任一点,(x,y,z)为母线 OM与准线的交点,故母线方程为 令 则 x=Xt,y=Yt,z=Zt,代入式得 13.求直线 L: (分数:3.50)_正确答案:()解析:解平面的法向量 n=1,-1,2,直线 L的方向向量 s=1,1,-1于是求直线 L在平面上的投影平面方程 即 x-3y-2z+1=0 于是 L 0 的方程为 消去 z得 x=2y 所以 L 0 的参数式 故所求旋转曲面方程为 14.求过直线 (分数:3
14、.50)_正确答案:()解析:解直线的方向矢量 s=2,-3,2,已知平面的法矢量为 n=3,2,-1,设所求平面的法矢量为n * ,由题意 n * n 且,n * s,故可令 15.求平行于平面 6x+y+6z+5=0,而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解设所求平面为 由题设有 由方程可知 将其代入式,得 a=1,b=6,c=1 或 a=-1,b=-6,c=-1, 故所求平面方程为 16.求通过下列两平面 1 :2x+y-z-2=0 和 2 :3x-2y-2z+1=0 的交线,且与平面 3 :3x+2y+3z-6=0垂直的平面方程 (分数
15、:3.50)_正确答案:()解析:解设所求平面为 (2x+y-z-2)+(3x-2y-2z+1)=0, 即(2+3)x+(-2)y+(-2)z+(-2+)=0, 由于该平面平面 3 ,所以它们的法矢量一定互相垂直,于是 3(2+3)+2(-2)+3(-2)=0 17.求过点(-1,-4,3)并与下面两直线 和 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解设所求直线方程为 直线 L 1 与 L 2 的方向矢量分别为 s 1 =-3,1,10,s 2 =4,-1,2, 由题意有 ss 1 ,ss 2 ,故 令 n=1,则所求直线为 18.求过点(-1,0,4),平行于平面 3x-4y+z=10,且与
16、直线 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解设所求的直线方程为 平面的法矢量 n=3,-4,1,由直线与平面平行,所以 ns 3l-4m+n=0, 因为两直线相交,故有 解方程,得 令 n=28,得 l=16,m=19, 故,所求直线为 19.直线过点 A(-3,5,-9),且与两直线 和 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解设所求直线方程 因为直线 L与直线 L 1 ,L 2 相交 所以 由方程组与方程组,得 n=2l,m=22l, 令 l=1,则 m=22,n=2, 故所求直线方程为 20.判断两直线 和 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解直线 L 1 ,L 2 的方向矢
17、量分别为 s 1 =1,1,2,s 2 =1,3,4,该两直线分别通过 P(-1,0,1),Q(0,-1,2) =1,-1,1, 因为 所以直线 L 1 与 L 2 为异面直线 直线 L 1 与 L 2 的参数方程分别为 设两直线间的距离为 d,则 令 h=(s-t+1) 2 +(-1+3s-t) 2 +(1+4s-2t) 2 , 由二元函数求极值的方法可知,当 s=1时的距离 d最小,为 21.判断下列两直线 和 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解直线 L 1 与 L 2 的方向矢量分别为 s 1 =2,3,4,s 2 =1,1,2,并且它们分别过点P(0,-3,0),Q(1,-2,
18、2), =1,1,2直线 L 1 与 L 2 共面 矢量 s 1 ,s 2 , 共面,即混合积=0,因为 故直线 L 1 与 L 2 共面 下面求直线 L 1 与 L 2 的交点, 为此令 即 x=2t,y=-3+3t,z=4t,代入 L 2 中,得 设二元函数 (分数:4.00)(1).使方向导数 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解由于 f(x,y)是非初等函数,所以利用定义计算方向导数 由于在方向 =cos,sin上,x=rcos,y=rsin,所以对 0,2)有 因此使 的最大 值 0 = 解析 利用方向导数的定义,计算 (它是 的函数),由此确定使 (2).过点 M(2,-1,3),与直线 L 1 : (分数:2.00)_正确答案:()解析:解设 L的方向向量为 s=l,m,n,则由 L过点 M(2,-1,3)及与直线 L 1 相交知,向量 s 1 ,s 共面其中,M 0 =(1,0,-2)是 L 1 上的点,s 1 =1,-1,1是 L 1 的方向向量,于是有 即 由此得 l,m,n 满足 l+m=0 此外,由于 L与平面的夹角为 0 =,即 L与平面 1 平行,或者说 L与 1 的法向量 n=3,-2,1垂直,所以 l,m,n 满足 sn=0,即 3l-2m+n=0 由式和式得, 所以 L的方向向量