1、考研数学一-83 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：16，分数：100.00)1.把级数 （分数：4.00）_求下列幂级数的和函数：（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_(4). （分数：4.00）_2.求 （分数：4.00）_求下列级数的和函数（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_3.设数列a n 满足 a 1 =a 2 =1，且 a n+1 =a n +a n-1 ，n=2，3， 证明：当 时，级数 （分数：4.00）_4.求下列级数的和
2、（分数：4.00）_求下列级数的和（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_求下列级数的和（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_(4). （分数：4.00）_求下列级数的和：（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_5.将函数 f(x)=2+|x|(-1x1)展成以 2为周期的傅里叶级数，并由此求级数 （分数：4.00）_6.将函数 f(x)=x-1(0x2)展成周期为 4的余弦级数 （分数：4.00）_7.把 f(x)=|sinx|，-x 展成傅里叶
3、级数 （分数：4.00）_8.把 f(x)=10-x，5x15 展成以 10为周期的傅里叶级数(如图所示) （分数：4.00）_9.设 试将 f(x)展开成 x的幂级数，并求级数 （分数：4.00）_10.已知 f n (x)满足 f“ n (x)=f n (x)+x n-1 e x (n为正整数)，且 求函数项级数 （分数：4.00）_11.已知 试证明 （分数：4.00）_考研数学一-83 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：16，分数：100.00)1.把级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解设级数的和函数为 s(x)，即 求下列幂级数的和函
4、数：（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解先求收敛域， 当 时，即|x|2，亦即-2x2 时，级数收敛； 令 x=2，原级数 发散； 令 x=-2，原级数 收敛； 故级数的收敛域为-2，2) 设级数的和为 s(x)，即 因为和函数 s(x)在收敛域内是连续的， 所以 故，级数的和函数 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解可求出收敛域为-1，1 由和函数 s(x)在收敛域内的连续性，有 当 x=1时，原级数 (因为 当 n时) (3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 即 亦即 时，级数收敛 当 时，原级数 发散故级数的收敛域为
5、(4). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解可求出收敛域为(-，+) 2.求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解易求出收敛域为(-，+) 即 s(x)+s“(x)=e x ，此一阶线性方程的通解为 又由可知 s(0)=1，代入上式，得 故幂级数 求下列级数的和函数（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当|x|1，即-1x1 时，级数收敛 令 x=1，原级数 发散；x=-1，原级数 发散，故级数收敛域为(-1，1) (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解易知其收敛域为(-，+) 3.设数列a n 满足 a 1 =a 2 =1，且 a
6、 n+1 =a n +a n-1 ，n=2，3， 证明：当 时，级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解显然 a n 0，a n+1 a n ，所以a n 是单调增加正数列 又 a 3 =2，a 4 =a 3 +a 2 2a 3 =2 2 设 a n 2 n-2 ，则 a n+1 =a n +a n-1 2a n 2 n-1 所以，由归纳法得 a n 2 n-2 ，n=4，5，于是 又当|2x|1，即 时，级数 收敛 所以，由比较判别法，当 时，级数 绝对收敛 由于 4.求下列级数的和 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解s n =1+3q+5q 2 +(2n-1)q n-1 ，
7、 的两边同乘以 q，得 qs n =q+3q 2 +5q 3 +(2n-1)q n ， -得 因为|q|1，所以 故 求下列级数的和（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解求下列级数的和（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解(3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解令 收敛域为(-，+)， (4). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解令 收敛域为(-1，1， 求下列级数的和：（分数：8.00）(1). （分数：
8、4.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解5.将函数 f(x)=2+|x|(-1x1)展成以 2为周期的傅里叶级数，并由此求级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解f(x)=2+|x|为偶函数(如图所示)，只能展成余弦级数，即 b n =0， 因为所给函数在-1，1上满足狄氏收敛定理，故 当 x=0时， 又 故 6.将函数 f(x)=x-1(0x2)展成周期为 4的余弦级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解既然是将 f(x)展成余弦函数，所以就必须对 f(x)进行偶开拓，如图所示 b n =0，(n=1，2，) 故 7.把 f(x)
9、=|sinx|，-x 展成傅里叶级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解由图可看出 f(x)在-，上连续，且只有三个极值点故狄氏条件满足 因为 f(x)为偶函数所以 b n =0(n=1，2，)， 因为在推演中当 n=1时，a n 没有意义，所以 a 0 ，a 1 要重新求(注：若在推演中 n=3没有意义，则 a 0 ，a 1 ，a 2 ，a 3 都要重新求，其他情形类似处理) 故 8.把 f(x)=10-x，5x15 展成以 10为周期的傅里叶级数(如图所示) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 推演 a n 过程中 n=0没有意义，所以 a 0 要重新求 故 9.设 试将
10、f(x)展开成 x的幂级数，并求级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解因 x(-1，1)，故 于是 所以 又 根据函数的幂级数展开式的唯一性，当 n=2k-1，k=1，2，3，时，f (2k-1) (0)=0当n=2k，k=1，2，3，时， 即 10.已知 f n (x)满足 f“ n (x)=f n (x)+x n-1 e x (n为正整数)，且 求函数项级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解解方程 f“ n (x)-f n (x)=x n-1 e x ，得通解为 代入 得 c=0，故 于是 11.已知 试证明 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解由于幂级数 在0，1上收敛，所以 f(x)，f(1-x)在0，1上都连续，且在(0，1)内可导记 F(x)=f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)，则 F(x)在(0，1)内可导，且 由于对 x(0，1)有 将上式中的 x换为 1-x得 将式式代入式得 F“(x)=0，从而 F(x)C，即 f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)C 由于 所以，对的两边令 x0 + 得 代入得 解析 记 F(x)=f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)，则可由 F“(x)=0得证 f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)=Cx(0，1)然后对上式令 x0 + 取极限得
