1、考研数学一-82 及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：13，分数：100.00)判别下列级数的敛散性：（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_1.讨论级数 （分数：4.00）_试讨论下列级数的敛散性：（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2).设 a0，b0， （分数：4.00）_证明如下命题成立：（分数：8.00）(1).设 a n 0，且na n 有界，试证： （分数：4.00）_(2).若 试证： （分数：4.00）_2.设 f 0 (x)在区间0，a(a0)上连续，而且 x0，a(n=1，2，)，试
2、证：无穷级数 （分数：4.00）_3.设 f(x)在点 x=0的某一邻域内具有连续的二阶导数，且 证明级数 （分数：4.00）_4.设函数 f(x)在a，b上满足 af(x)b，|f“(x)|q1，令 u n =f(u n-1 )，n=1，2，3，u 0 a，b，证明： （分数：4.00）_5.设 a n 0(n=1，2，)，a n 单调减， 发散，判别 （分数：4.00）_6.设 u 1 =1，u 2 =2，当 n3 时，u n =u n-2 +u n-1 ，判别 （分数：4.00）_求下列函数项级数的收敛域：（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(
3、3). （分数：4.00）_(4). （分数：4.00）_求下列幂级数的收敛域和收敛半径：（分数：12.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_把下列函数展成 x的幂级数：（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_(4).f(x)=ln(1+x+x 2 +x 3 +x 4 )（分数：4.00）_把下列函数在指定点展成幂级数：（分数：8.01）(1).f(x)=lnx，在 x=1处；（分数：2.67）_(2).在 x=1处； （分数：2.67）_(3).在 x=1处； （分
4、数：2.67）_考研数学一-82 答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：13，分数：100.00)判别下列级数的敛散性：（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解因为 而 收敛， 所以 收敛故 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 p0 时， 于是 故级数发散；当 p1 时， 收敛，故 绝对收敛当 0p1 时， 发散，但由于该级数为交错级数且满足： 由莱布尼茨准则，可知 1.讨论级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 1 当 0，1，2，时， 发散 2 当 =0，1，2，时， 当 =0 时，u n =0
5、，所以 绝对收敛； 当 0 时，不妨设 0(当 0 时， )， 由莱布尼茨准则可知 条件收敛 同理可证，当 0 时， 试讨论下列级数的敛散性：（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解()当 x=1时，级数为 属于莱布尼茨型交错级数，级数收敛 ()当 x1 时， 当 n时，前一括号+，后一括号定值(因为 x1)，于是 故级数发散 ()当 x1 时， 由于 x1，所以 1以后各项均为负的 考虑级数 因为 发散， 所以 (2).设 a0，b0， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解取级数的前 2n项与前(2n+1)项的和 由，可知，当 a=b时， 证明如下命题成立
6、：（分数：8.00）(1).设 a n 0，且na n 有界，试证： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证因为 a n 0，na n 有界，所以 使 0na n M，即 于是 因为 收敛，所以 收敛，故 (2).若 试证： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证由题设可知 为正项级数， 因为 收敛，由正项级数比较法的极限形式可知， 2.设 f 0 (x)在区间0，a(a0)上连续，而且 x0，a(n=1，2，)，试证：无穷级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证因为 f 0 (x)在0，a上连续，所以|f 0 (x)|在0，a上连续，因此|f 0 (x)|在0，a上有最大值，
7、设为 M，即 因为 所以 由于 x0，a收敛，故 收敛，即 3.设 f(x)在点 x=0的某一邻域内具有连续的二阶导数，且 证明级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证由 又 f(x)在 x=0的邻域内具有连续的二阶导数，可推出 f(0)=0，f“(0)=0 将 f(x)在 x=0的某邻域内展成一阶泰勒公式： 又由题设 f“(x)在属于邻域内包含原点的一个小闭区间内连续，因此 使 |f“(x)|M，于是 令 则 因为 收敛，故 4.设函数 f(x)在a，b上满足 af(x)b，|f“(x)|q1，令 u n =f(u n-1 )，n=1，2，3，u 0 a，b，证明： （分数：4.00
8、）_正确答案：()解析：证因为 |u n+1 -u n |=|f(u n )-f(u n-1 )|=|f“( 1 )|u n -u n-1 | q|u n -u n-1 |=q|f(u n-1 )-f(u n-2 )| =q|f“( 2 )|u n-1 -u n-2 | q 2 |u n-1 -u n-2 |q n |u n -u 0 |， 又级数 收敛，所以级数 5.设 a n 0(n=1，2，)，a n 单调减， 发散，判别 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解由题设有 a n a n+1 ，若 则由莱布尼茨判别准则，交错级数 收敛，与假设矛盾，故 由根值判别法，有 6.设 u 1
9、=1，u 2 =2，当 n3 时，u n =u n-2 +u n-1 ，判别 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解显然 u n 递增，即 u n-2 u n-1 ，于是 亦有 因此 收敛，故 求下列函数项级数的收敛域：（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当|x|1 时， 所以 发散 当 x=1时， 所以 发散 当 x=-1时， 不存在，所以 发散 故 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x 2 +x+11 时，(x+1)x0 -1x0， 收敛， 令 x=0，原级数 收敛， 令 x=-1，原级数 收敛， 故 (3). （分数：4.
10、00）_正确答案：()解析：解 当 即|1-x|1+x|，亦即 x0 时， 收敛 当 x=0时，原级数 收敛， 故 (4). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x1 时， 收敛，因此 收敛； 当 x1 时， 发散，只要 x0， 发散； 当 x=0时，原级数 收敛 故 求下列幂级数的收敛域和收敛半径：（分数：12.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 即|x-1|3，亦即，-2x4 时， 收敛； 当 x=-2时，原级数 发散(因为 n)； 当 x=4时，原级数 发散(因为 n) 故级数 的收敛域为(-2，4)，收敛半径 (2). （分数：4.00）_正确答
11、案：()解析：解 当 即 亦即 时， 收敛； 当 时，原级数 收敛； 当 时，原级数 收敛 故级数 的收敛域为 收敛半径 (3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 ab 时，收敛半径为 由莱布尼茨判别法知收敛，收敛区域为 当 ab 时，收敛半径 当 时，由于 收敛 所以当 时级数都收敛，收敛区域为 由知该级数的收敛半径为 把下列函数展成 x的幂级数：（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解(3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 且 f(0)=0 于是 (4).f(x)=ln(1+x+x 2 +x 3 +x 4 )（分数：4.00）_正确答案：()解析：解把下列函数在指定点展成幂级数：（分数：8.01）(1).f(x)=lnx，在 x=1处；（分数：2.67）_正确答案：()解析：解(2).在 x=1处； （分数：2.67）_正确答案：()解析：解(3).在 x=1处； （分数：2.67）_正确答案：()解析：解
