1、考研数学一-79 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:12.00)1.设 f(x)在(-,+)内可导,且对任意 x 1 ,x 2 ,当 x 1 x 2 时,都有 f(x 1 )f(x 2 ),则(分数:1.00)A.对任意 x,f“(x)0B.对任意 x,f“(-x)0C.函数 f(x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加2.设 f(x)在-,上连续,当 a 为何值时, 取极小值 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.3.函数 y=f(x)具有下列特征: f(0)=1;f“(0)=0,当 x0 时,f“(x)0; 则其图形(如图所示
2、)是 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.4.设三次函数 y=f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则这个函数的图形是(分数:1.00)A.关于 y 轴对称B.关于原点对称C.关于直线 y=x 对称D.以上均错5.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.6.设 为常数,则级数 (分数:1.00)A.绝对收敛B.发散C.条件收敛D.敛散性与 取值有关7.设 则 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.8.设函数 f(x)=x 2 ,0x1,而 -x+,
3、其中 (n=1,2),则 等于 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.9.设 条件收敛,则 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.10.设级数 收敛,则必收敛的级数为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.11.若 (分数:1.00)A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不确定12.设幂级数 的收敛半径为 3,则幂级数 (分数:1.00)A.(-2,4)B.-2,4C.(-3,3)D.(-4,2)二、填空题(总题数:7,分数:11.00)13.函数 (分数:1.50)14.曲线 y=x 3 -x 与其在 (分数:1.50)15.二椭圆 (分数:1.50)
4、16.x 2 +y 2 =a 2 绕 x=-b(ba0)旋转所成旋转体体积为 1 (分数:1.50)17.求心脏线 =4(1+cos)和直线 =0 及 (分数:1.50)18.y=sinx(0x)绕 x 轴旋转所成旋转面的面积为 1 (分数:1.50)19.r=a(1+cos)(a0)绕极轴旋转所成旋转面的面积为 1 (分数:2.00)三、解答题(总题数:20,分数:77.00)20.设 f(x)在0,a上连续,在(0,a)内可导,且 f(0)=0,f“(x)单调增加,试证: (分数:3.50)_21.证明曲线 (分数:3.50)_22.函数 f(x)在(a,b)上称为凹的(凸的),如果对此区
5、间中任意两点 x 1 ,x 2 以及任意数 1 , 2 ( 1 0, 2 0,且 1 + 2 =1)有不等式 f( 1 x 1 + 2 x 2 ) 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )或 f( 1 x 1 + 2 x 2 ) 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 ), 试证:(1)若 axb 时,f“(x)0,则函数于(a,b)内为凹的; (2)若 axb 时,f“(x)0,则函数于(a,b)内为凸的 (分数:3.50)_23.证明:由平面图形 0axb,0yf(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体体积为 (分数:3.50)_24.求由曲线 y=4-x 2 及 y=0 所围成的图形绕直线 x=3
6、 旋转一周所得旋转体的体积 (分数:3.50)_25.设半径为 R 的球体体密度 =r 2 ,求球体的质量 (1)r 是球内任一点到球心的距离; (2)r 是球内任一点到直径的距离; (3)r 是球内任一点到过球心的平面的距离 (分数:10.50)_26.已知 f(x)在点 x 0 的邻域内有定义,且有 (分数:3.50)_27.设 (x)在 x=x 0 处连续,且 (x 0 )0,试研究 f(x)=(x-x 0 ) n (x)在 x=x 0 处的极值,其中n 为正整数 (分数:3.50)_28.由直线 y=0,x=8 及抛物线 y=x 2 围成一个曲边三角形,在曲边 y=x 2 上求一点,使
7、曲线在该点处的切线与直线 y=0 及 x=8 所围成的三角形面积最大 (分数:3.50)_29.在椭圆 (分数:3.50)_30.曲线 y=4-x 2 与 y=1+2x 相交于 A,B 两点,在抛物线上 AB 两点间求一点 C,使ABC 的面积最大,并求最大面积 (分数:3.50)_31.设 f(x)在a,b上连续,f(a)=f(b)=0,f“ + (a)f“ - (b)0,证明:在(a,b)内至少存在一点,使得 f()=0 (分数:3.50)_32.设 a 0 ,a 1 ,a n 为满足 (分数:3.50)_33.设 f(x)在(-,+)内可微,证明:在 f(x)的任何两个零点之间必有 f(
8、x)+f“(x)的一个零点 (分数:3.50)_34.设 f(x)在0,上连续,在(0,)内可导,且 (分数:3.50)_35.证明方程 (分数:3.50)_36.设函数 f(x)在闭区间0,1上可微,对于0,1上每一个 x,函数 f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f“(x)1,证明:在(0,1)内有且仅有一个 x,使 f(x)=x (分数:3.50)_37.设 f(x)在a,+)上连续,当 xa 时,f“(x)k0,其中 k 为常数,又 f(a)0,证明:方程 f(x)=0 在 (分数:3.50)_38.试讨论方程 xe -x =a(a0)的实根 (分数:3.50)_39.设 f(x)在
9、a,+中二阶可导,并满足 f(a)=A0,f“(a)0,当 xa 时,f“(x)0,证明:方程f(x)=0 在(a,+)内有且仅有一个实根 (分数:3.50)_考研数学一-79 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:12.00)1.设 f(x)在(-,+)内可导,且对任意 x 1 ,x 2 ,当 x 1 x 2 时,都有 f(x 1 )f(x 2 ),则(分数:1.00)A.对任意 x,f“(x)0B.对任意 x,f“(-x)0C.函数 f(x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加 解析:2.设 f(x)在-,上连续,当 a 为何值时, 取极小值
10、A B C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:3.函数 y=f(x)具有下列特征: f(0)=1;f“(0)=0,当 x0 时,f“(x)0; 则其图形(如图所示)是 A B C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:4.设三次函数 y=f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则这个函数的图形是(分数:1.00)A.关于 y 轴对称B.关于原点对称 C.关于直线 y=x 对称D.以上均错解析:5.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 A B C D (分数:1.00)A.B.C. D.解析:6.设 为常
11、数,则级数 (分数:1.00)A.绝对收敛B.发散 C.条件收敛D.敛散性与 取值有关解析:7.设 则 A B C D (分数:1.00)A.B.C. D.解析:8.设函数 f(x)=x 2 ,0x1,而 -x+,其中 (n=1,2),则 等于 A B C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:9.设 条件收敛,则 A B C D (分数:1.00)A.B.C. D.解析:10.设级数 收敛,则必收敛的级数为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:11.若 (分数:1.00)A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.收敛性不确定解析:12.设幂级数 的收敛半径为 3,则
12、幂级数 (分数:1.00)A.(-2,4) B.-2,4C.(-3,3)D.(-4,2)解析:二、填空题(总题数:7,分数:11.00)13.函数 (分数:1.50)解析:14.曲线 y=x 3 -x 与其在 (分数:1.50)解析:8:115.二椭圆 (分数:1.50)解析:16.x 2 +y 2 =a 2 绕 x=-b(ba0)旋转所成旋转体体积为 1 (分数:1.50)解析:2ba 2 217.求心脏线 =4(1+cos)和直线 =0 及 (分数:1.50)解析:16018.y=sinx(0x)绕 x 轴旋转所成旋转面的面积为 1 (分数:1.50)解析:19.r=a(1+cos)(a0
13、)绕极轴旋转所成旋转面的面积为 1 (分数:2.00)解析:三、解答题(总题数:20,分数:77.00)20.设 f(x)在0,a上连续,在(0,a)内可导,且 f(0)=0,f“(x)单调增加,试证: (分数:3.50)_正确答案:()解析:证因为 f(x)=f(x)-f(0)=xf“(),0x(当 x0 时), 又由于 f“(x)单调增加,有 f“(x)f“()(当 x 时), 所以 故 21.证明曲线 (分数:3.50)_正确答案:()解析:证 令 y“=0,得 x 1 =1, 列表见下表 因为 22.函数 f(x)在(a,b)上称为凹的(凸的),如果对此区间中任意两点 x 1 ,x 2
14、 以及任意数 1 , 2 ( 1 0, 2 0,且 1 + 2 =1)有不等式 f( 1 x 1 + 2 x 2 ) 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )或 f( 1 x 1 + 2 x 2 ) 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 ), 试证:(1)若 axb 时,f“(x)0,则函数于(a,b)内为凹的; (2)若 axb 时,f“(x)0,则函数于(a,b)内为凸的 (分数:3.50)_正确答案:()解析:证设 1 0, 2 0,且 1 + 2 =1;又 x 1 ,x 2 (a,b),x 1 x 2 , 因为 x 1 + 2 (x 2 -x 1 )= 1 x 1 + 2 x 2 =x
15、 2 + 1 (x 1 -x 2 ), 所以 x 1 1 x 1 + 2 x 2 x 2 由拉格朗日中值定理可知 f( 1 x 1 + 2 x 2 )-f(x 1 )= 2 (x 2 -x 1 )f“( 1 )(x 1 1 1 x 1 + 2 x 2 ), f(x 2 )-f( 1 x 1 + 2 x 2 )= 1 (x 2 -x 1 )f“( 2 )( 1 x 1 + 2 x 2 2 x 2 ), 1 - 2 得 ( 1 + 2 )f( 1 x 1 + 2 x 2 )= 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )+ 1 2 (x 2 -x 1 )f“( 1 )-f“( 2 ) 23.证明:由平
16、面图形 0axb,0yf(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体体积为 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解如图所示,选择 x 为积分变量,且 axb,图中阴影部分的面积 ds=f(x)dx它绕 y 轴旋转所成的形体,是以 f(x)为高,半径为 x,壁厚为 dx 的圆柱筒,其体积为 dV=2xf(x)dx, 在a,b上,积分之,得 24.求由曲线 y=4-x 2 及 y=0 所围成的图形绕直线 x=3 旋转一周所得旋转体的体积 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解如图所示,选择 y 为积分变量,且 0y4,图中阴影部分绕直线 x=3 旋转所成图形的体积为 注意到 则 故 25.设半径为 R
17、 的球体体密度 =r 2 ,求球体的质量 (1)r 是球内任一点到球心的距离; (2)r 是球内任一点到直径的距离; (3)r 是球内任一点到过球心的平面的距离 (分数:10.50)_正确答案:()解析:(1)如图(a)所示,选极坐标系,积分变量选择 r,以极点 O 为中心,r 为内径,厚度为 dr 的球壳体积为 dV=4r 2 dr, 由于 dr 很小,球壳密度可看做均匀的,为 =r 2 ,于是其质量 dM=4r 2 drr 2 =4r 4 dr, 故 (2)如图(b)所示,设 x 为积分变量,y 为中心轴,以 x 为内径厚为 dx 的圆柱筒可看做图中阴影部分绕 y轴旋转所得的形体,其体积为
18、 故质量为 (3)如图(c)所示,选直角坐标系,以 z 为积分变量,图中所示为所论问题在 yOz 平面上的投影,球中从 z到 z+dz 这部分球台的体积为 dV=(R 2 -z 2 )dz,由于 dz 很小,故该部分的密度可看做均匀的,为=z 2 于是其质量为 dM=z 2 (R 2 -z 2 )dz,故质量 26.已知 f(x)在点 x 0 的邻域内有定义,且有 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解由 依据极限与无穷小的关系定理有 其中 27.设 (x)在 x=x 0 处连续,且 (x 0 )0,试研究 f(x)=(x-x 0 ) n (x)在 x=x 0 处的极值,其中n 为正整数
19、(分数:3.50)_正确答案:()解析:解设 为任意小的正数,因 (x)在 x=x 0 处连续,且 (x 0 )0,故 (x 0 -),(x 0 +)与 (x 0 )同号 (x 0 )0, 当 n 为偶数时,f(x)-f(x 0 )0,f(x 0 )为极小值; 当 n 为奇数时, 故可知 f(x 0 )不是极值 (x 0 )0, 当 n 为偶数时,则 f(x)-f(x 0 )0,f(x 0 )为极大值; 当 n 为奇数时, 28.由直线 y=0,x=8 及抛物线 y=x 2 围成一个曲边三角形,在曲边 y=x 2 上求一点,使曲线在该点处的切线与直线 y=0 及 x=8 所围成的三角形面积最大
20、 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解如图所示,设所求切点为 P(x 0 ,y 0 ),切线 PT 交 x 轴于 A,交直线 x=8 于 B,切线 PT 的方程为 y-y 0 =2x 0 (x-x 0 ), 又 P 点在 y=x 2 上,因此, 令 y=0,得 A 点的坐标为 令 x=8,得 B 点的坐标为 于是ABC 的面积为 令 因为 所以 为极大值 故 29.在椭圆 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解设 x,y 为矩形的半长,则矩形面积为 S=4xy,由题设可知(x,y)为椭圆上的点 因为 所以 S=4absintcost=2absin2t S“=4abcos2t,令 S“
21、=0,得 故 为内接矩形的最大值,此时矩形的边长分别为 30.曲线 y=4-x 2 与 y=1+2x 相交于 A,B 两点,在抛物线上 AB 两点间求一点 C,使ABC 的面积最大,并求最大面积 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解先求 A,B 两点的坐标 解方程组 得 所以 A(1,3),B(-3,-5),抛物线上 C 点的坐标为(x,4-x 2 ), 于是,ABC 的面积 S 为 先求 S * =6-4x-2x 2 的驻点, 31.设 f(x)在a,b上连续,f(a)=f(b)=0,f“ + (a)f“ - (b)0,证明:在(a,b)内至少存在一点,使得 f()=0 (分数:3.5
22、0)_正确答案:()解析:证由假设 f“ + (a)与 f“ - (b)同号,不妨设 f“ + (a)0,f“ - (b)0,由导数定义有 由极限定理,存在一个 1 0,当 axa+ 1 时, 32.设 a 0 ,a 1 ,a n 为满足 (分数:3.50)_正确答案:()解析:证作辅助函数 显然 F(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,又因为 由罗尔定理,存在一个 (0,1),使得 F“()=0, 即 a 0 +a 1 +a 2 2 +a n n =0命题得证 解析 函数 f(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a n x n 虽然在0,1上连续,但却难以验证 f(x)在0,1
23、上的某个子区间的端点处的函数值是否异号但是经分析发现 f(x)的原函数 33.设 f(x)在(-,+)内可微,证明:在 f(x)的任何两个零点之间必有 f(x)+f“(x)的一个零点 (分数:3.50)_正确答案:()解析:证作辅助函数 F(x)=f(x)e x , 显然 f(x)在,上连续,且在(,)内可微,其中 , 为 f(x)的任意两个零点,即 f()=f()=0 且 , F()=f()e =0=f()e =F(), 可知 F(x)在,上满足罗尔定理条件,于是存在一个 (,)使 F“()=0, 即 e f()+e f“()=0,亦即 f()+f“()=0命题得证 解析 设 ,()为 f(
24、x)的任意两个零点,要证的是存在一个 (,),使得 f()+f“()=0 因为 f(x)可微,故可用罗尔定理证明,其辅助函数可用积分法构造 34.设 f(x)在0,上连续,在(0,)内可导,且 (分数:3.50)_正确答案:()解析:证明因为在(0,)内 sinx0,由 可知 f(x)在(0,)内不能恒为正或负,由于 f(x)的连续性可推知 f(x)在(0,)内必有零点证明零点有两个以上,可用罗尔定理命题证 用反证法证:若 x 0 (0,)是 f(x)的唯一零点,则当 xx 0 时,sin(x-x 0 )f(x)就恒为正的(或负的),于是 而 35.证明方程 (分数:3.50)_正确答案:()
25、解析:证 令 令 F“(x)=0 x=e,列表见下表 x (0,e) e (e,+) F“(x) F(x) + 极大值 由上表可知 F(x)在(0,e)与(e,+)分别至多有一个零点 又因为 x=e 是 F(x)在(0,+)上唯一的驻点, 是 F(x)在(0,+)内的极大值,因此它是 F(x)在(0,+)内的最大值,由于 F(e)0,而 可知 F(x)在(0,e)和(e,+)内分别至少有一个零点,故 F(x)在(0,+)内有且仅有两个实根,即方程 36.设函数 f(x)在闭区间0,1上可微,对于0,1上每一个 x,函数 f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f“(x)1,证明:在(0,1)内有
26、且仅有一个 x,使 f(x)=x (分数:3.50)_正确答案:()解析:证令 F(x)=f(x)-x,由题设可知 F(x)在0,1上连续,又由于 0f(x)1,所以 F(0)=f(0)-00,F(1)=f(1)-10, 由闭区间上连续函数的零值定理可知,在(0,1)内至少有一点 x,使 F(x)=0,即 f(x)=x用反证法证 F(x)在(0,1)内至多有一个零点 若不然, x 1 ,x 2 (0,1),x 1 x 2 ,使得 f(x 1 )=x 1 ,f(x 2 )=x 2 , 由拉格朗日中值定理,至少存在一个 x(x 1 ,x 2 ) (0,1)使得 37.设 f(x)在a,+)上连续,
27、当 xa 时,f“(x)k0,其中 k 为常数,又 f(a)0,证明:方程 f(x)=0 在 (分数:3.50)_正确答案:()解析:证由题设,在 内,f“(x)k0 可知在该区间内 f(x)“”,因此 f(x)在该区间内至多有一个实根 再证 f(x)在该区间内至少有一个实根 由题设知,f(x)在 上满足拉格朗日定理条件,故至少存在一个 使 再由题设当 a 时,f“()k0,于是有 又 f(a)0,由零值定值,f(x)在 38.试讨论方程 xe -x =a(a0)的实根 (分数:3.50)_正确答案:()解析:解令 F(x)=xe -x -a,则方程 xe x =a 的实根的个数相当于 F(x
28、)的零点的个数为此研究 F(x)的单调性及极值(或最值) 令 F“(x)=(1-x)e -x =0 x=1,见下表 (-,1) 1 (1,+) F“(x) + - F(x) (e -1 -a)极大值 因为 x=1 是 F(x)唯一的驻点,F(1)=e -1 -a 为(-,+)上的极大值,因此也是最大值,以下就 F(1)=e -1 -a 与 x 轴的相对位置讨论 F(x)的零点 若 F(1)=e -1 -a0,即(1,e -1 -a)位于 x 轴下方,由表所示,F(x)与 x 轴不会有交点,因此 F(x)没有零点 若 F(1)=e -1 -a=0,即(1,e -1 -a)位于 x 轴上,由表所示
29、 F(x)与 x 轴除(1,e -1 -a)点外再不会相交,因此 f(x)只有唯一的零点 若 F(1)=e -1 -a0,即(1,e -1 -a)位于 x 轴的上方,由表可知 f(x)在(-,1)内“”,且 可知 F(x)在(-,1)内有且仅有唯一的零点;而 F(x)在(1,+)内“”,且 39.设 f(x)在a,+中二阶可导,并满足 f(a)=A0,f“(a)0,当 xa 时,f“(x)0,证明:方程f(x)=0 在(a,+)内有且仅有一个实根 (分数:3.50)_正确答案:()解析:证因为 f“(x)0,所以 f“(x)“”,因而当 xa 时,f“(x)f“(a)0,故 f(x)在(a,+)内严格单调下降,因此 f(x)=0 在(a,+)内至多有一个实根 以下证明 f(x)=0 在(a,+)至少有一个实根 由题设可知 f(x)在 x=a 的右侧可展成泰勒公式: 因为 f“(x)0,所以 f“()0,于是 f(x)f(a)+f“(a)(x-a), 当 x 充分大时,不妨设 则