1、考研数学一-79 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：12.00)1.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则（分数：1.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(-x)0C.函数 f(x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加2.设 f(x)在-，上连续，当 a 为何值时， 取极小值 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.3.函数 y=f(x)具有下列特征： f(0)=1；f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0； 则其图形(如图所示
2、)是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.4.设三次函数 y=f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数，则这个函数的图形是（分数：1.00）A.关于 y 轴对称B.关于原点对称C.关于直线 y=x 对称D.以上均错5.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.6.设 为常数，则级数 （分数：1.00）A.绝对收敛B.发散C.条件收敛D.敛散性与 取值有关7.设 则 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 -x+，
3、其中 (n=1，2)，则 等于 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 条件收敛，则 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.10.设级数 收敛，则必收敛的级数为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.11.若 （分数：1.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不确定12.设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：1.00）A.(-2，4)B.-2，4C.(-3，3)D.(-4，2)二、填空题(总题数：7，分数：11.00)13.函数 （分数：1.50）14.曲线 y=x 3 -x 与其在 （分数：1.50）15.二椭圆 （分数：1.50）
4、16.x 2 +y 2 =a 2 绕 x=-b(ba0)旋转所成旋转体体积为 1 （分数：1.50）17.求心脏线 =4(1+cos)和直线 =0 及 （分数：1.50）18.y=sinx(0x)绕 x 轴旋转所成旋转面的面积为 1 （分数：1.50）19.r=a(1+cos)(a0)绕极轴旋转所成旋转面的面积为 1 （分数：2.00）三、解答题(总题数：20，分数：77.00)20.设 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内可导，且 f(0)=0，f“(x)单调增加，试证： （分数：3.50）_21.证明曲线 （分数：3.50）_22.函数 f(x)在(a，b)上称为凹的(凸的)，如果对此区
5、间中任意两点 x 1 ，x 2 以及任意数 1 ， 2 ( 1 0， 2 0，且 1 + 2 =1)有不等式 f( 1 x 1 + 2 x 2 ) 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )或 f( 1 x 1 + 2 x 2 ) 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )， 试证：(1)若 axb 时，f“(x)0，则函数于(a，b)内为凹的； (2)若 axb 时，f“(x)0，则函数于(a，b)内为凸的 （分数：3.50）_23.证明：由平面图形 0axb，0yf(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体体积为 （分数：3.50）_24.求由曲线 y=4-x 2 及 y=0 所围成的图形绕直线 x=3
6、 旋转一周所得旋转体的体积 （分数：3.50）_25.设半径为 R 的球体体密度 =r 2 ，求球体的质量 (1)r 是球内任一点到球心的距离； (2)r 是球内任一点到直径的距离； (3)r 是球内任一点到过球心的平面的距离 （分数：10.50）_26.已知 f(x)在点 x 0 的邻域内有定义，且有 （分数：3.50）_27.设 (x)在 x=x 0 处连续，且 (x 0 )0，试研究 f(x)=(x-x 0 ) n (x)在 x=x 0 处的极值，其中n 为正整数 （分数：3.50）_28.由直线 y=0，x=8 及抛物线 y=x 2 围成一个曲边三角形，在曲边 y=x 2 上求一点，使
7、曲线在该点处的切线与直线 y=0 及 x=8 所围成的三角形面积最大 （分数：3.50）_29.在椭圆 （分数：3.50）_30.曲线 y=4-x 2 与 y=1+2x 相交于 A，B 两点，在抛物线上 AB 两点间求一点 C，使ABC 的面积最大，并求最大面积 （分数：3.50）_31.设 f(x)在a，b上连续，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ - (b)0，证明：在(a，b)内至少存在一点，使得 f()=0 （分数：3.50）_32.设 a 0 ，a 1 ，a n 为满足 （分数：3.50）_33.设 f(x)在(-，+)内可微，证明：在 f(x)的任何两个零点之间必有 f(
8、x)+f“(x)的一个零点 （分数：3.50）_34.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：3.50）_35.证明方程 （分数：3.50）_36.设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，对于0，1上每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f“(x)1，证明：在(0，1)内有且仅有一个 x，使 f(x)=x （分数：3.50）_37.设 f(x)在a，+)上连续，当 xa 时，f“(x)k0，其中 k 为常数，又 f(a)0，证明：方程 f(x)=0 在 （分数：3.50）_38.试讨论方程 xe -x =a(a0)的实根 （分数：3.50）_39.设 f(x)在
9、a，+中二阶可导，并满足 f(a)=A0，f“(a)0，当 xa 时，f“(x)0，证明：方程f(x)=0 在(a，+)内有且仅有一个实根 （分数：3.50）_考研数学一-79 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：12.00)1.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则（分数：1.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(-x)0C.函数 f(x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加 解析：2.设 f(x)在-，上连续，当 a 为何值时， 取极小值
10、A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：3.函数 y=f(x)具有下列特征： f(0)=1；f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0； 则其图形(如图所示)是 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：4.设三次函数 y=f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数，则这个函数的图形是（分数：1.00）A.关于 y 轴对称B.关于原点对称 C.关于直线 y=x 对称D.以上均错解析：5.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：6.设 为常
11、数，则级数 （分数：1.00）A.绝对收敛B.发散 C.条件收敛D.敛散性与 取值有关解析：7.设 则 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：8.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 -x+，其中 (n=1，2)，则 等于 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：9.设 条件收敛，则 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：10.设级数 收敛，则必收敛的级数为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：11.若 （分数：1.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.收敛性不确定解析：12.设幂级数 的收敛半径为 3，则
12、幂级数 （分数：1.00）A.(-2，4) B.-2，4C.(-3，3)D.(-4，2)解析：二、填空题(总题数：7，分数：11.00)13.函数 （分数：1.50）解析：14.曲线 y=x 3 -x 与其在 （分数：1.50）解析：8:115.二椭圆 （分数：1.50）解析：16.x 2 +y 2 =a 2 绕 x=-b(ba0)旋转所成旋转体体积为 1 （分数：1.50）解析：2ba 2 217.求心脏线 =4(1+cos)和直线 =0 及 （分数：1.50）解析：16018.y=sinx(0x)绕 x 轴旋转所成旋转面的面积为 1 （分数：1.50）解析：19.r=a(1+cos)(a0
13、)绕极轴旋转所成旋转面的面积为 1 （分数：2.00）解析：三、解答题(总题数：20，分数：77.00)20.设 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内可导，且 f(0)=0，f“(x)单调增加，试证： （分数：3.50）_正确答案：()解析：证因为 f(x)=f(x)-f(0)=xf“()，0x(当 x0 时)， 又由于 f“(x)单调增加，有 f“(x)f“()(当 x 时)， 所以 故 21.证明曲线 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证 令 y“=0，得 x 1 =1， 列表见下表 因为 22.函数 f(x)在(a，b)上称为凹的(凸的)，如果对此区间中任意两点 x 1 ，x 2
14、 以及任意数 1 ， 2 ( 1 0， 2 0，且 1 + 2 =1)有不等式 f( 1 x 1 + 2 x 2 ) 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )或 f( 1 x 1 + 2 x 2 ) 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )， 试证：(1)若 axb 时，f“(x)0，则函数于(a，b)内为凹的； (2)若 axb 时，f“(x)0，则函数于(a，b)内为凸的 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证设 1 0， 2 0，且 1 + 2 =1；又 x 1 ，x 2 (a，b)，x 1 x 2 ， 因为 x 1 + 2 (x 2 -x 1 )= 1 x 1 + 2 x 2 =x
15、 2 + 1 (x 1 -x 2 )， 所以 x 1 1 x 1 + 2 x 2 x 2 由拉格朗日中值定理可知 f( 1 x 1 + 2 x 2 )-f(x 1 )= 2 (x 2 -x 1 )f“( 1 )(x 1 1 1 x 1 + 2 x 2 )， f(x 2 )-f( 1 x 1 + 2 x 2 )= 1 (x 2 -x 1 )f“( 2 )( 1 x 1 + 2 x 2 2 x 2 )， 1 - 2 得 ( 1 + 2 )f( 1 x 1 + 2 x 2 )= 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )+ 1 2 (x 2 -x 1 )f“( 1 )-f“( 2 ) 23.证明：由平
16、面图形 0axb，0yf(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体体积为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解如图所示，选择 x 为积分变量，且 axb，图中阴影部分的面积 ds=f(x)dx它绕 y 轴旋转所成的形体，是以 f(x)为高，半径为 x，壁厚为 dx 的圆柱筒，其体积为 dV=2xf(x)dx， 在a，b上，积分之，得 24.求由曲线 y=4-x 2 及 y=0 所围成的图形绕直线 x=3 旋转一周所得旋转体的体积 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解如图所示，选择 y 为积分变量，且 0y4，图中阴影部分绕直线 x=3 旋转所成图形的体积为 注意到 则 故 25.设半径为 R
17、 的球体体密度 =r 2 ，求球体的质量 (1)r 是球内任一点到球心的距离； (2)r 是球内任一点到直径的距离； (3)r 是球内任一点到过球心的平面的距离 （分数：10.50）_正确答案：()解析：(1)如图(a)所示，选极坐标系，积分变量选择 r，以极点 O 为中心，r 为内径，厚度为 dr 的球壳体积为 dV=4r 2 dr， 由于 dr 很小，球壳密度可看做均匀的，为 =r 2 ，于是其质量 dM=4r 2 drr 2 =4r 4 dr， 故 (2)如图(b)所示，设 x 为积分变量，y 为中心轴，以 x 为内径厚为 dx 的圆柱筒可看做图中阴影部分绕 y轴旋转所得的形体，其体积为
18、 故质量为 (3)如图(c)所示，选直角坐标系，以 z 为积分变量，图中所示为所论问题在 yOz 平面上的投影，球中从 z到 z+dz 这部分球台的体积为 dV=(R 2 -z 2 )dz，由于 dz 很小，故该部分的密度可看做均匀的，为=z 2 于是其质量为 dM=z 2 (R 2 -z 2 )dz，故质量 26.已知 f(x)在点 x 0 的邻域内有定义，且有 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解由 依据极限与无穷小的关系定理有 其中 27.设 (x)在 x=x 0 处连续，且 (x 0 )0，试研究 f(x)=(x-x 0 ) n (x)在 x=x 0 处的极值，其中n 为正整数
19、（分数：3.50）_正确答案：()解析：解设 为任意小的正数，因 (x)在 x=x 0 处连续，且 (x 0 )0，故 (x 0 -)，(x 0 +)与 (x 0 )同号 (x 0 )0， 当 n 为偶数时，f(x)-f(x 0 )0，f(x 0 )为极小值； 当 n 为奇数时， 故可知 f(x 0 )不是极值 (x 0 )0， 当 n 为偶数时，则 f(x)-f(x 0 )0，f(x 0 )为极大值； 当 n 为奇数时， 28.由直线 y=0，x=8 及抛物线 y=x 2 围成一个曲边三角形，在曲边 y=x 2 上求一点，使曲线在该点处的切线与直线 y=0 及 x=8 所围成的三角形面积最大
20、 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解如图所示，设所求切点为 P(x 0 ，y 0 )，切线 PT 交 x 轴于 A，交直线 x=8 于 B，切线 PT 的方程为 y-y 0 =2x 0 (x-x 0 )， 又 P 点在 y=x 2 上，因此， 令 y=0，得 A 点的坐标为 令 x=8，得 B 点的坐标为 于是ABC 的面积为 令 因为 所以 为极大值 故 29.在椭圆 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解设 x，y 为矩形的半长，则矩形面积为 S=4xy，由题设可知(x，y)为椭圆上的点 因为 所以 S=4absintcost=2absin2t S“=4abcos2t，令 S“
21、=0，得 故 为内接矩形的最大值，此时矩形的边长分别为 30.曲线 y=4-x 2 与 y=1+2x 相交于 A，B 两点，在抛物线上 AB 两点间求一点 C，使ABC 的面积最大，并求最大面积 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解先求 A，B 两点的坐标 解方程组 得 所以 A(1，3)，B(-3，-5)，抛物线上 C 点的坐标为(x，4-x 2 )， 于是，ABC 的面积 S 为 先求 S * =6-4x-2x 2 的驻点， 31.设 f(x)在a，b上连续，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ - (b)0，证明：在(a，b)内至少存在一点，使得 f()=0 （分数：3.5
22、0）_正确答案：()解析：证由假设 f“ + (a)与 f“ - (b)同号，不妨设 f“ + (a)0，f“ - (b)0，由导数定义有 由极限定理，存在一个 1 0，当 axa+ 1 时， 32.设 a 0 ，a 1 ，a n 为满足 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证作辅助函数 显然 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又因为 由罗尔定理，存在一个 (0，1)，使得 F“()=0， 即 a 0 +a 1 +a 2 2 +a n n =0命题得证 解析 函数 f(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a n x n 虽然在0，1上连续，但却难以验证 f(x)在0，1
23、上的某个子区间的端点处的函数值是否异号但是经分析发现 f(x)的原函数 33.设 f(x)在(-，+)内可微，证明：在 f(x)的任何两个零点之间必有 f(x)+f“(x)的一个零点 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证作辅助函数 F(x)=f(x)e x ， 显然 f(x)在，上连续，且在(，)内可微，其中 ， 为 f(x)的任意两个零点，即 f()=f()=0 且 ， F()=f()e =0=f()e =F()， 可知 F(x)在，上满足罗尔定理条件，于是存在一个 (，)使 F“()=0， 即 e f()+e f“()=0，亦即 f()+f“()=0命题得证 解析 设 ，()为 f(
24、x)的任意两个零点，要证的是存在一个 (，)，使得 f()+f“()=0 因为 f(x)可微，故可用罗尔定理证明，其辅助函数可用积分法构造 34.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证明因为在(0，)内 sinx0，由 可知 f(x)在(0，)内不能恒为正或负，由于 f(x)的连续性可推知 f(x)在(0，)内必有零点证明零点有两个以上，可用罗尔定理命题证 用反证法证：若 x 0 (0，)是 f(x)的唯一零点，则当 xx 0 时，sin(x-x 0 )f(x)就恒为正的(或负的)，于是 而 35.证明方程 （分数：3.50）_正确答案：()
25、解析：证 令 令 F“(x)=0 x=e，列表见下表 x (0，e) e (e，+) F“(x) F(x) + 极大值 由上表可知 F(x)在(0，e)与(e，+)分别至多有一个零点 又因为 x=e 是 F(x)在(0，+)上唯一的驻点， 是 F(x)在(0，+)内的极大值，因此它是 F(x)在(0，+)内的最大值，由于 F(e)0，而 可知 F(x)在(0，e)和(e，+)内分别至少有一个零点，故 F(x)在(0，+)内有且仅有两个实根，即方程 36.设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，对于0，1上每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f“(x)1，证明：在(0，1)内有
26、且仅有一个 x，使 f(x)=x （分数：3.50）_正确答案：()解析：证令 F(x)=f(x)-x，由题设可知 F(x)在0，1上连续，又由于 0f(x)1，所以 F(0)=f(0)-00，F(1)=f(1)-10， 由闭区间上连续函数的零值定理可知，在(0，1)内至少有一点 x，使 F(x)=0，即 f(x)=x用反证法证 F(x)在(0，1)内至多有一个零点 若不然， x 1 ，x 2 (0，1)，x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=x 1 ，f(x 2 )=x 2 ， 由拉格朗日中值定理，至少存在一个 x(x 1 ，x 2 ) (0，1)使得 37.设 f(x)在a，+)上连续，
27、当 xa 时，f“(x)k0，其中 k 为常数，又 f(a)0，证明：方程 f(x)=0 在 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证由题设，在 内，f“(x)k0 可知在该区间内 f(x)“”，因此 f(x)在该区间内至多有一个实根 再证 f(x)在该区间内至少有一个实根 由题设知，f(x)在 上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一个 使 再由题设当 a 时，f“()k0，于是有 又 f(a)0，由零值定值，f(x)在 38.试讨论方程 xe -x =a(a0)的实根 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解令 F(x)=xe -x -a，则方程 xe x =a 的实根的个数相当于 F(x
28、)的零点的个数为此研究 F(x)的单调性及极值(或最值) 令 F“(x)=(1-x)e -x =0 x=1，见下表 (-，1) 1 (1，+) F“(x) + - F(x) (e -1 -a)极大值 因为 x=1 是 F(x)唯一的驻点，F(1)=e -1 -a 为(-，+)上的极大值，因此也是最大值，以下就 F(1)=e -1 -a 与 x 轴的相对位置讨论 F(x)的零点 若 F(1)=e -1 -a0，即(1，e -1 -a)位于 x 轴下方，由表所示，F(x)与 x 轴不会有交点，因此 F(x)没有零点 若 F(1)=e -1 -a=0，即(1，e -1 -a)位于 x 轴上，由表所示
29、 F(x)与 x 轴除(1，e -1 -a)点外再不会相交，因此 f(x)只有唯一的零点 若 F(1)=e -1 -a0，即(1，e -1 -a)位于 x 轴的上方，由表可知 f(x)在(-，1)内“”，且 可知 F(x)在(-，1)内有且仅有唯一的零点；而 F(x)在(1，+)内“”，且 39.设 f(x)在a，+中二阶可导，并满足 f(a)=A0，f“(a)0，当 xa 时，f“(x)0，证明：方程f(x)=0 在(a，+)内有且仅有一个实根 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证因为 f“(x)0，所以 f“(x)“”，因而当 xa 时，f“(x)f“(a)0，故 f(x)在(a，+)内严格单调下降，因此 f(x)=0 在(a，+)内至多有一个实根 以下证明 f(x)=0 在(a，+)至少有一个实根 由题设可知 f(x)在 x=a 的右侧可展成泰勒公式： 因为 f“(x)0，所以 f“()0，于是 f(x)f(a)+f“(a)(x-a)， 当 x 充分大时，不妨设 则
