1、考研数学一-78 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解 （分数：2.00）_求解下列微分方程：（分数：6.00）(1).f(xy)ydx+g(xy)xdy=0；（分数：2.00）_(2).xy“-yln(xy)-1=0；（分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_求解下列微分方程：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数
2、：2.00）_(3). （分数：2.00）_求解下列微分方程：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).(x-2siny+3)dx-(2x-4siny-3)cosydy=0（分数：2.00）_求解下列微分方程：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2).(x 2 +2xy-y 2 )dx-(y 2 +2xy-x 2 )dy=0，y(1)=1；（分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_求解下列微分方程：（分数：6.00）(1).(x+1)y“-ny=(1+x) n+1 e x sinx；（分数：2.00）_(2).y“+siny+x
3、cosy+x=0；（分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_设 a，b 为正整数， 为非负数，微分方程 （分数：4.00）(1).求该方程的通解；（分数：2.00）_(2).证明：当 =0 时， 当 0 时， （分数：2.00）_2.当 0xb 时，函数 f(x)满足 f“(x)=p(x)f(x)，f(0)=a；函数 g(x)满足 g“(x)p(x)g(x)，g(0)=a 证明：g(x)f(x)，0xb （分数：2.00）_解下列微分方程：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).xydx=(2x 2 -y 4 )dy（分数：2.00）_3.
4、设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，已知它在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x) （分数：2.00）_解下列微分方程：（分数：6.00）(1).(3x 2 +2xe -y )dx+(3y 2 -x 2 e -y )dy=0；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).2xy 3 dx+(x 2 y 2 -1)dy=0（分数：2.00）_4.设函数 f(x)具有一阶连续导数，且 f()=1，又 （分数：2.00）_求解下列方程.（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(
5、4).yy“-y“ 2 =y 2 lny（分数：2.00）_解下列微分方程：（分数：6.00）(1).y“+4y“+4y=e ax ，其中，a 为实数；（分数：2.00）_(2).y“+a 2 y=sinx，其中，a0，为常数；（分数：2.00）_(3).y“-4y“+4y=(1+x+x 23 )e 2x （分数：2.00）_解下列微分方程：（分数：10.00）(1).y“-y=sinx；（分数：2.00）_(2).y“+y“+y“+y=cos3x；（分数：2.00）_(3).y“-2y“-3y“=x 2 +2x-1；（分数：2.00）_(4).y“-6y“+9y=(x+1)e 3x ；（分数
6、：2.00）_(5).y“-2y“+2y=xe x cosx（分数：2.00）_5.求初值问题 y“+y=3|sin2x|， （分数：2.00）_解下列微分方程：（分数：6.00）(1).x 2 y“+3xy“-3y=x 3 ；（分数：2.00）_(2).x 3 y“-x 2 y“+2xy“-2y=xsin(lnx)；（分数：2.00）_(3).x 3 y“+3x 2 y“+xy“-y=xlnx（分数：2.00）_6.在上半平面求一条凹的曲线，其任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数(Q是法线与 x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行 （分数：2.
7、00）_7.已知曲线过(1，1)点，如果把曲线上任一点 P处的切线与 y轴的交点记作 Q，则以 PQ为直径所做的圆都经过点 F(1，0)，求此曲线方程 （分数：2.00）_8.一质量为 m的船以速度 v 0 行驶，在 t=0时，动力关闭，假设水的阻力正比于 v n ，其中 n为一常数，v为瞬时速度，求速度与滑行距离的函数关系 （分数：2.00）_9.两个质量相同的重物挂于弹簧的下端，其中一个坠落，求另一个重物的运动规律，已知弹簧挂一个重物时伸长为 a （分数：2.00）_10.设函数 f(x)可导，且对任何实数 x，h 满足 f(x)0， 此外， （分数：2.00）_11.设函数 y=f(x)
8、由 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 （分数：4.00）_考研数学一-78 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由线性微分方程的解的结构定理可得 y 1 -y 3 =e -x ，y 1 -y 2 =e 2x -e -x ，(y 1 -y 3 )+(y 1 -y 2 )=e 2x 是该方程对应的齐次方程的解
9、，由解 e -x 与 e 2x 的形式，可得齐次方程的特征方程的特征根为 1 =-1， 2 =2，则特征方程为 2 -2=0，即齐次方程为 y“-y“-2y=0 设该方程为 y“-y“-2y=f(x)，代入 y 1 =xe x +e 2x ，得 f(x)=(1-2x)e x 所以该方程为 y“-y“-2y=(1-2x)e x ， 其通解为 C 1 e -x +C 2 e 2x +xe x +e 2x 求解下列微分方程：（分数：6.00）(1).f(xy)ydx+g(xy)xdy=0；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 u=xy，求微分得 du=xdy+ydx，代入方程 (2).xy“
10、-yln(xy)-1=0；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 u=xy，u“=y+xy“，代入原方程得 u“-y-ylnu-1=0 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 x 2 +y 2 =u，则 2x+2yy“=u“， 再令 而 u=xv，u“=v+xv“， 代入 求解下列微分方程：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 y=ux，dy=udx+xdu，代入原方程，经整理，得 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=u+xu“，代入原方程，得 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 代入原
11、方程，得 求解下列微分方程：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解解方程组 令 X=x+2，Y=y+3 代入原方程 再令 Y=uX, 得 变量还原，得 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 y 2 =，x 2 =，则方程变为 解方程组 令 X=-2，Y=-1， 代入得 再令 代入 对式两边积分 (3).(x-2siny+3)dx-(2x-4siny-3)cosydy=0（分数：2.00）_正确答案：()解析：解原方程 (x-2siny+3)dx-(2x-4siny-3)d(siny)=0， 令 siny=z，则方程 再令 x-2z=u， 两边
12、积分 求解下列微分方程：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 y=ux，y“=u+xu“，原方程 变量还原 将初始条件 y(-1)=0代入上式，得 C=0， 故方程的解为 (2).(x 2 +2xy-y 2 )dx-(y 2 +2xy-x 2 )dy=0，y(1)=1；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解(3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 y=ux，y“=u+xu“， 故原方程的解为 求解下列微分方程：（分数：6.00）(1).(x+1)y“-ny=(1+x) n+1 e x sinx；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解化
13、为标准方程 令 y=C(x)(x+1) n 为方程的解，代入并整理得 C“(x)(x+1) n =(x+1) n e x sinx C“(x)=e x sinx 原方程的通解 (2).y“+siny+xcosy+x=0；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 则上式 u“+u+x=0 u“+u=0 u=Ce -x 设 u=C(x)e -x 为的解，代入并整理，得 方程的解 原方程的解 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解将 x看做因变量，y 看做自变量，则原方程 令 x=C(y)e siny 为方程的解，代入并整理，得 方程也即原方程的通解为 设 a，b 为正整数， 为
14、非负数，微分方程 （分数：4.00）(1).求该方程的通解；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解(2).证明：当 =0 时， 当 0 时， （分数：2.00）_正确答案：()解析：解当 =0 时， 所以， 当 0 且 a 时， 当 0 且 =a 时，y(x)=(bx+c)e -ax ， 2.当 0xb 时，函数 f(x)满足 f“(x)=p(x)f(x)，f(0)=a；函数 g(x)满足 g“(x)p(x)g(x)，g(0)=a 证明：g(x)f(x)，0xb （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 F(x)=g(x)-f(x)，F(0)=0， F“(x)=g“(x)-f“(x)p
15、(x)g(x)-p(x)f(x) =p(x)g(x)-f(x)=p(x)F(x)， 即 F“(x)-p(x)F(x)0，有 即 所以 解下列微分方程：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 于是方程 令 z=C(x)x 2 为方程的解，代入并整理，得 原方程的通解为 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解原方程 令 则方程 设 为的解，代入并整理，得 原方程的通解为 (3).xydx=(2x 2 -y 4 )dy（分数：2.00）_正确答案：()解析：解原方程 令 z=x 2 ，则方程 令 z=C(y)y 4 为方程的解，代入并整理，得 方程的
16、解为 原方程的通解为 3.设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，已知它在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解由题意得 令 有 两边求导，得 即 令 得 可求得 即 解下列微分方程：（分数：6.00）(1).(3x 2 +2xe -y )dx+(3y 2 -x 2 e -y )dy=0；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以方程为全微分方程，于是有 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以方程为全微分方程于是有 故原方程的解为 (3).2xy 3 dx+(x 2 y 2 -
17、1)dy=0（分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以方程不是全微分方程 方程可改写成(2xy 3 dx+x 2 y 2 dy)-dy=0， 用简单的观察法看出积分因子为 于是， 4.设函数 f(x)具有一阶连续导数，且 f()=1，又 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解根据已知，有 即 可求得通解为 又 f()=1，得 C=-1，所以， 将 f(x)代入原方程，得 对它进行分项组合得 所以，原方程的通解为 即 求解下列方程.（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解这是不显含 y的二阶方程， 令 y“=p，则 y“=p“代入原方程，得 令 p=C
18、(x)x为的解，代入并整理，得 方程的解为 即 原方程的解为 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解这是不显含 x的方程，令 y“=p， 代入方程，得 即 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解这是不显含 y的方程，令 y“=p，y“=p“，代入方程，得 将 p| x=0 =4代入上式，得 C 1 =4，于是 (4).yy“-y“ 2 =y 2 lny（分数：2.00）_正确答案：()解析：解这是不显含 x的方程，且 y0， 原方程 即(lny)“=lny， 令 lny=z，则 解下列微分方程：（分数：6.00）(1).y“+4y“+4y=e ax ，其中，a 为实
19、数；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解对应的特征方程为 2 +4+4=0，特征值 1 = 2 =-2，对应的齐次方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x 非齐次方程的一个特解 y * 为 故非齐次方程的通解为 (2).y“+a 2 y=sinx，其中，a0，为常数；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解特征方程为 2 +a 2 =0，特征值 =ai，对应的齐次方程的通解为 y=C 1 cosax+C 2 sinax 非齐次方程的一个特解为 故非齐次方程的通解为 (3).y“-4y“+4y=(1+x+x 23 )e 2x （分数：2.00）_正确答案：()解析：解特征方程
20、为 2 -4+4=0 (-2) 2 =0 =2(重根)， 对应齐次方程通解为 y(x)=e 2x (C 1 +C 2 x) 非齐次方程特解 故原方程的通解为 解下列微分方程：（分数：10.00）(1).y“-y=sinx；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解特征方程 3 -1=0，即 对应齐次方程的通解为 非齐次方程特解为 故原方程通解为 (2).y“+y“+y“+y=cos3x；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解特征方程为 3 + 2 +1=0 (+1)( 2 +1)=0 1 =-1， 2，3 =i， 对应齐次方程的通解为 y(x)=C 1 e -x +C 2 cosx+C 3
21、 sinx 非齐次方程的特解为 故原方程的通解为 (3).y“-2y“-3y“=x 2 +2x-1；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解特征方程为 3 -2 2 -3=0 ( 2 -2-3)=0 1 =0， 2 =-1， 3 =3， 对应齐次方程通解为 y(x)=C 1 +C 2 e -x +C 3 e 3x 非齐次方程特解为 故原方程的通解为 (4).y“-6y“+9y=(x+1)e 3x ；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解特征方程为 2 -6+9=0 (-3) 2 =0 =3(重根)， 对应齐次方程的通解为 y(x)=e 3x (C 1 +C 2 x) 非齐次方程特解为 故
22、原方程的通解为 (5).y“-2y“+2y=xe x cosx（分数：2.00）_正确答案：()解析：解特征方程为 2 -2+2=0 =1i 对应齐次方程的通解为 y(x)=e x (C 1 cosx+C 2 sinx) 非齐次方程的特解为 因为 cosx是 e ix 的实部，所以先求 再取实部，即得 故原方程的通解为 5.求初值问题 y“+y=3|sin2x|， （分数：2.00）_正确答案：()解析：解易求得齐次方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx当 时，方程为 y“+y=3sin3x，可求得其特解为 y 1 * =-sin2x，于是它的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx-sin2x， 代入 得 C 1 =0， 所以，当 时，特解为 由该特解可得 y(0)=0， 可将它作为当 时，方程 y“+y=-3sin2x的初始条件，易求得当 时，该方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+sin2x 代入 y(0)=0， 得 C 1 =0， 所以当 时，该方程的特解为 于是原方程在初始条件下的特解为 解下列微分
