1、考研数学一-76 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：41，分数：100.00)下求下列定积分（分数：3.00）(1). （分数：1.00）_(2). （分数：1.00）_(3). （分数：1.00）_1. （分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）_设 f(x)连续，证明：（分数：4.00）(1). （分数：1.00）_(2). （分数：1.00）_(3). （分数：1.00）_(4).设 n为正整数，证明 （分数：1.00）_证明下列等式：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_3.设函数 f(x)连续，且关于
2、 x=T对称，aTb证明： （分数：2.00）_4.设 f(x)是定义在全数轴上，且以 T为周期的连续函数，a 为任意常数，则 （分数：2.00）_5.设 f(x)连续，且常数 a0，证明： （分数：2.00）_6.设 f“(x)连续， （分数：2.00）_7.若 f(x)是连续函数则 （分数：2.00）_8.当 x0 时，f 0 (x)0，若令 则 f n (x)可表示为 （分数：2.00）_9.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明至少存在一点 (a，b)，使得 （分数：2.00）_10.设 f(x)在a，b上可导，且 f“(x)0，f(a)0，试证：对于如图所示的两个面积函数 A(x
3、)和 B(x)，存在唯一的 (a，b)， 使得 （分数：2.00）_11.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(x)0，xa，b，试证：至少存在一个 (a，b)，使 （分数：2.00）_12.设函数 f(x)在a，b上具有连续的二阶导数，证明在(a，b)内存在一点 ，使得 （分数：2.00）_13.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：2.00）_14.设 f(x)在a，b上连续，且严格单增，证明： （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_16.设 f(x)，g(x)均为a，b上的连续增函数(a，b0)，证明： （分数：2.
4、00）_17.设 y=f(x)是在0，+)上严格单调增加的可导函数，且 f(0)=0，它的反函数为 x=g(y)，证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上可导，且 f“(x)M，f(a)=0，证明： （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上不恒为零，且其导数 f“(x)连续，并且有 f(a)=f(b)=0试证：存在一个 a，b，使 （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上有连续的导数，且 f(a)=0，试证： （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1上有连续的导函数证明：对于 x0，1，有 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上有二阶连续导数，证
5、明：对任意的 有 （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上单调增加，且 f“(x)0，证明： （分数：2.00）_求下列反常积分：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_判别下列反常积分的敛散性：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_24.设函数 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_求下列函数的导数(设 f(u)是 u的连续函数)：（分数：4.00）(1)
6、. （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_25.设 f(x)在-a，a，a0 上连续，计算 （分数：2.00）_26.计算定积分 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)可导，且 f(0)=0， 证明： （分数：2.00）_28.设 (t)是正值连续函数， （分数：2.00）_29.设函数 f(x)，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=2e x -f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2， 求 （分数：2.00）_30.已知 f(x)在0，1上连续，对任意 x，y 都有|f(x)-f(y)|M|x-y|，证明： （分数：2.00）_31.设 n为大于 1的正整数，证明
7、： （分数：2.00）_32.设 f(x)在a，b上连续，f“(x)在a，b内存在且可积，f(a)=f(b)=0，试证： （分数：2.00）_33.设函数 f(x)在0，1上具有二阶连续导数 f“(x)，且 f(0)=f(1)=0，f(x)0，试证： （分数：2.00）_34.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，则 （分数：1.50）_35.设函数 f(x)在0，2上连续，且 证明： （分数：1.50）_考研数学一-76 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：41，分数：100.00)下求下列定积分（分数：3.00）(1). （分数：1.00）_正确答
8、案：()解析：解(2). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解 于是 故 (3). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解 又 于是 故 1. （分数：2.00）_正确答案：()解析：解2.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 设 f(x)连续，证明：（分数：4.00）(1). （分数：1.00）_正确答案：()解析：证 由于定积分与积分变量无关， 故 解析 (2). （分数：1.00）_正确答案：()解析：证 解析 先证 即 比较 f(|cosx|)=f(|cosu|)=f(|cos(+u)|)，可知应令 x=+u， 再证 即 (3). （分数：1.00）_正
9、确答案：()解析：证 解析 按一般的作法，若抽象函数中，中间变量含有参数，则应令该中间变量为 u，因此， 比较要证的等式，可知要证的是 (4).设 n为正整数，证明 （分数：1.00）_正确答案：()解析：证令 t=2x，有 解析 先令 t=2x，有 又 再证 证明下列等式：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：证 把后一项移到等式左端，便得 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：证 解析 (1)原式等价于 可见应作代换 x=a-u (2) 比较 与 可知形式一致，因此作变换只能从两端的积分限去考虑：左端积分限为 x，1；右端积分限为 1， 可见应作代
10、换 3.设函数 f(x)连续，且关于 x=T对称，aTb证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证 于是 等式两边同加上 得 命题得证 解析 f(x)关于 x=T对称，是指 f(x+T)=f(T-x)， 可知，要证命题成立，只需证 即证 4.设 f(x)是定义在全数轴上，且以 T为周期的连续函数，a 为任意常数，则 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证因为 所以 等式两端各加上 于是得 命题得证 解析 可见要证命题成立，只需 即证 5.设 f(x)连续，且常数 a0，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证因为 又因为 所以 命题得证 解析 比较 可知应令 x 2 =u
11、，于是 与欲证的等式右端比较，可知须证 比较上式两端的积分限，可知应令 6.设 f“(x)连续， （分数：2.00）_正确答案：()解析：证 7.若 f(x)是连续函数则 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证8.当 x0 时，f 0 (x)0，若令 则 f n (x)可表示为 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证因为 所以 f“ n (x)=f n-1 (x)，且 f n (0)=0(n=1，2，3，)， 9.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明至少存在一点 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证作辅助函数 由于 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以
12、F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，并有 F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理有 F“()=0，(a，b)， 即 亦即 解析 若令 则再往下做就困难了， 若令 则 10.设 f(x)在a，b上可导，且 f“(x)0，f(a)0，试证：对于如图所示的两个面积函数 A(x)和 B(x)，存在唯一的 (a，b)， 使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 F“(x)=f(x)(x-a)+1994f“(x)(b-x)0(因为 f“(x)0)， 可知 F(x)在(a，b)内单调增加，故 F(x)在(a，b)内至多有一个零点 又因为 f“(x)0，f(x)“”， 所以 由闭区间上连续函数
13、的零值定理，可知 F(x)在(a，b)内至少有一个零点 综上所述，可知 F(x)在(a，b)内有唯一的零点 ，使得 F()=0，即 解析 把上式中的 改为x，则 A(x)=1994B(x)， 因为 所以可令辅助函数 F(x)为 11.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(x)0，xa，b，试证：至少存在一个 (a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证由题设条件，显然 W(x)在a，b上连续 由变上限积分定理知 W(x)在(a，b)上可导， 又 W(a)=0， W(b)=F(b)G(b)-G(b)F(b)=0， 由罗尔定理知在(a，b)内至少存在一个 ，使 W“()=0，
14、 即 F(b)g()-G(b)f()=0，亦即 故 解析 令 于是 辅助函数 12.设函数 f(x)在a，b上具有连续的二阶导数，证明在(a，b)内存在一点 ，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证令 则有 F(a)=0，F“(x)=f(x)，F“(x)=f“(x)，F“(x)=f“(x)， F(x)在 处的二阶泰勒公式为 其中， 在 x与 之间 分别将 x=b，x=a 代入上式，并相减，则得 其中， 1 ， 2 分别在 与 b，a 与 之间 不妨设 f“( 1 )f“( 2 )，则 考虑到 f“(x)的连续性及介值定理，可知在 1 ， 2 之间至少存在一点 (a，b)，使 故 13
15、.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证 方法一： 令 因为 所以 F(x)单调递减，xa，b 又因为 F(a)=0，所以 F(b)F(a)=0， 故 方法二： 用柯西不等式 解析 把结论中的 b换成 x，移项，得 令 14.设 f(x)在a，b上连续，且严格单增，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证作辅助函数 因为 (因 tx，且 f(x)严格单调增，即 f(t)f(x) 所以 F(x)单调递减，又 F(a)=0， 故 F(b)F(a)=0即 15.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：
16、证作辅助函数 因为 所以 F(x)单调递增 又因为 F(a)=0，所以 F(b)F(a)=0，即 16.设 f(x)，g(x)均为a，b上的连续增函数(a，b0)，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证作辅助函数 因为 所以 F(x)单调递减 又因为 F(a)=0，所以 F(b)F(a)=0，即 所以 17.设 y=f(x)是在0，+)上严格单调增加的可导函数，且 f(0)=0，它的反函数为 x=g(y)，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证由已知得，gf(x)=x，fg(y)=y，x=g(y)严格单调增加， 当 x0 时，f(y)f(0)=0，g(y)g(0)=gf
17、(0)=0 (1)如果 g(b)=a，有 (2)如果 g(b)a，有 (xg(b)，f(x)fg(b) (3)如果 g(b)a，有 所以， 18.设 f(x)在a，b上可导，且 f“(x)M，f(a)=0，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证由题设可知，对 xa，b，f(x)在a，b上满足拉氏微分中值定理，于是有 f(x)=f(x)-f(a)=f“()(x-a)，(a，x)， 因为 f“(x)M，所以 f(x)M(x-a)由定积分比较定理，有 19.设 f(x)在a，b上不恒为零，且其导数 f“(x)连续，并且有 f(a)=f(b)=0试证：存在一个 a，b，使 （分数：2.00
18、）_正确答案：()解析：证因为 f“(x)在a，b上连续，所以|f“(x)|在a，b上连续 于是，存在一个 ，使得 又由题设有 f(x)=f(x)-f(a)=f“( 1 )(x-a)(a 1 x) f(x)=f(x)-f(b)=f“( 2 )(x-b)(x 2 b) |f(x)|M(x-a)，|f(x)|M(b-x)， 又 所以 即 故 20.设 f(x)在a，b上有连续的导数，且 f(a)=0，试证： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证 于是由柯西不等式 故 21.设 f(x)在0，1上有连续的导函数证明：对于 x0，1，有 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证因为 f(t)连
19、续，|f(t)|也连续，所以由积分中值定理有 又 即 所以 故 22.设 f(x)在0，1上有二阶连续导数，证明：对任意的 有 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证对任意的 使 f(x 2 )-f(x 1 )=(x 2 -x 1 )-f“()， 又 所以，|f“()|3|f(x 2 )-f(x 1 )| 又 即 23.设 f(x)在a，b上单调增加，且 f“(x)0，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证先证左端不等式 成立 由题设，对 当 xa 时，f(x)f(a)，故 再证右端不等式成立 对 f(t)在点 x处的泰勒展开式为 其中， 在 t与 x之间 因为 f“()0，
20、所以 f(t)f(x)+f“(x)(t-x) 将 t=b，t=a 分别代入式并相加，得 f(b)+f(a)2f(x)+(a+b)f“(x)-2xf“(x) 对的两边在a，b上积分，则 故 求下列反常积分：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 所以 x=0不是奇点 由于 则 F(0)没有意义； 所以对于 x=0按奇点处理 所以 (4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 x=e为奇点 所以 判别下列反常积分的敛散性：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 而 收敛， 所以 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 而 收敛， 所以 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以 x=1为瑕点， 当 0x1 时，lnx0，为了能用判别准则， 不妨考虑 因为 所以 发散，故 (4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 所以 x=0为瑕点 因为 所以 收敛，即 24.设函数 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_
