1、考研数学一-75 及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：22，分数：100.00)估计下列各积分值（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_1.证明以下不等式 （分数：2.00）_2.设 f(x)在(0，+)上连续且单调递减证明： （分数：2.00）_求下列极限（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_求下列定积分（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_求下列导数（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2).
2、（分数：2.00）_(3).由方程 确定 y为 x的函数，求 （分数：2.00）_3.设 f(x)在0，+)上连续且满足 （分数：2.00）_4.设当 x0 时，f(x)可导，且满足方程 （分数：2.00）_求下列极限（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_求下列定积分（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_求下列定积分.（分数：12.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_
3、(5). （分数：2.00）_(6). （分数：2.00）_5. （分数：2.00）_求下列定积分（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_6. （分数：2.00）_求下列积分（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_求下列定积分（分数：4.00）(1).其中， （分数：2.00）_(2). 其中，当 x0 时，f(x)=x，而 （分数：2.00）_求下列定积分（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00
4、）_(4). （分数：2.00）_7.求下列定积分 (1) (2) （分数：2.00）_8.求下列定积分 (1) (2)设函数 f(x)在区间0，1上连续，并设 求 （分数：2.00）_计算下列积分（分数：4.00）(1).设 f(x)在(-，+)上连续，且对任何 x，y 有 f(x+y)=f(x)+f(y)，计算 （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_设 f(x)，g(x)在区间-a，a(a0)上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A为常数)（分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_(2).利用结论(1)计算定积分 （分数：2.00
5、）_求下列定积分（分数：8.01）(1). （分数：2.67）_(2). （分数：2.67）_(3). （分数：2.67）_考研数学一-75 答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：22，分数：100.00)估计下列各积分值（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 f(x)=xarctanx， 因为 所以 f(x)“” 于是 因此 由估值定理有 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 f(x)=1+sin 2 x， 因为 f“(x)=2sinxcosx=sin2x， 令 f“(x)=0，得 所以 1f(x)2故 (
6、3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 44-2x-x 2 +x 3 4-2x-x 2 ，x0，1， 所以 由估值定理有 而 故 1.证明以下不等式 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证显然当 时，(n2)有 即 2.设 f(x)在(0，+)上连续且单调递减证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证因为 f(x)在(0，+)上连续且单调递减 所以 f(i+1)f(i)，(i=1，2，n) 因此，由比较定理有 求下列极限（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以 又 故 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为
7、所以 又 故 求下列定积分（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 为奇函数， 为奇函数， 为偶函数， 所以 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 x 2 arctanx为奇函数，cos 7 x，sin 8 x为偶函数， 求下列导数（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解F“(x)=cos(cosx) 2 (cosx)“-cos(sinx) 2 (sinx)“ =-sinxcos(cos 2 x)-cosxcos(sin 2 x)(3).由方程 确定 y为 x
8、的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解方程 两边对 x求导，得 3.设 f(x)在0，+)上连续且满足 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解方程 的两边对 x求导得 fx 2 (1+x)x 2 (1+x)“=1 即 f(x 2 +x 3 )(2x+3x 2 )=1 令 x=1，得 4.设当 x0 时，f(x)可导，且满足方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解方程两边对 x求导，得 将原方程的 f(x)的表达式代入上式，得 求下列极限（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 可知 发散趋于+，因此本题属 型未定式， (2). （分
9、数：2.00）_正确答案：()解析：解(3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解本题是属于 型的未定式，由于|sint|是以 为周期的函数，因此有 其中，nN又当 x+，存在 n，使 nx(n+1)，因此 可见当 x时， 由洛必达法则可知，本题不能用洛必达法则 因为 而 所以 求下列定积分（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解求下列定积分.（分数：12.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 x=sin 2 u，dx=2sinu
10、cosudu (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 e -x =sint，x=-lnsint， (4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (5). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 x=asint，dx=acostdt 又因为 所以 (6). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 x=tant，则有 因为 又 5. （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 又因为 故 求下列定积分（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：2.00）_正确答案：(
11、)解析：解(3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 cos(n+1)x=cos(nx)cosx-sin(nx)sinx 又 6. （分数：2.00）_正确答案：()解析：解当 时， 当 时， 综上所述，可知 求下列积分（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解作出 y=x及 y=x 2 在-2，2上的图形，如图 1所示 图 1由图 1可知 故 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解作出 y=2及 y=x 2 在-3，2上的图形，如图 2所示 图 2由图 2可知 故 求下列定积分（分数：
12、4.00）(1).其中， （分数：2.00）_正确答案：()解析：解设 u=x-1，则 (2). 其中，当 x0 时，f(x)=x，而 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解设 u=x-t，则 由于当 x0 时，f(x)=x，所以，当 xt 时 f(x-t)=x-t， 故 求下列定积分（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 lnx=0 x=1， (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 x 2 -2x-3=0 x 1 =-1，x 2 =3， (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 t-x=0 t=x 当 x0 时， 当 0x1
13、 时， 当 x1 时， 综上所述， (4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 x=0，可得如下结果 1 当 ab0 时， 2 当 a0b 时， 3 当 0ab 时， 综上所述， 7.求下列定积分 (1) (2) （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(1) (2) 另解积分区域如图所示 (1) (2) 8.求下列定积分 (1) (2)设函数 f(x)在区间0，1上连续，并设 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(1) (2) 另解积分区域见下图 (1) (2) 计算下列积分（分数：4.00）(1).设 f(x)在(-，+)上连续，且对任何 x，y 有 f(x+y)=
14、f(x)+f(y)，计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解对于这种被积函数含有抽象因子的积分，通常是利用奇偶性积分的“特性”处理，以下证明f(x)为奇函数 令 y=0，则由 f(x+y)=f(x)+f(y)可得： f(x)=f(x)+f(0) f(0)=0， 又 fx+(-x)=f(x)+f(-x)，即 f(x)+f(-x)=0， 可知 f(x)为奇函数，于是 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解令 x=-u，则 故 设 f(x)，g(x)在区间-a，a(a0)上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A为常数)（分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证(2).利用结论(1)计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证取 f(x)=arctane x ，g(x)=|sinx|， 则 f(x)，g(x)在 上连续，g(x)为偶函数 因为(arctane x +arctane -x )“=0，所以 arctane x +arctane -x =A 令 x=0，得 2arctan1=A于是， 故 求下列定积分（分数：8.01）(1). （分数：2.67）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：2.67）_正确答案：()解析：解(3). （分数：2.67）_正确答案：()解析：解
