1、考研数学一-71 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：28，分数：100.00)1. （分数：3.00）_2. （分数：4.00）_3. （分数：3.00）_4.已知 求 （分数：3.00）_5. （分数：3.00）_求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：1.00）_(2). （分数：1.00）_(3). （分数：1.00）_(4). （分数：1.00）_(5). （分数：1.00）_(6). （分数：1.00）_求下列极限：（分数：6.00）(1).当|x|1 时， （分数：1.50）_(2).当 x0 时， （分数：1.50）_(3). （分
2、数：1.50）_(4). （分数：1.50）_6.确定正数 a和 b，使 （分数：3.00）_7.设 （分数：3.00）_8.已知当 x0 时， （分数：3.00）_9.已知 （分数：3.00）_10.求常数 a，使极限 （分数：3.00）_11.设函数 f(x)在 x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，f“(0)0证明：存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 时， 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)是比 h 2 高阶的无穷小 （分数：3.00）_求下列函数的不连续点且判别类型：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(
3、2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_研究下列复合函数的连续性：（分数：4.00）(1).设 （分数：2.00）_(2).研究 fg(x)的连续性 （分数：2.00）_12. （分数：3.00）_(1). （分数：1.50）_(2). （分数：1.50）_计算下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：1.50）_(2). （分数：1.50）_(3). （分数：1.50）_(4). （分数：1.50）_13. （分数：3.00）_14. （分数：3.00）_15.设函数 f(x)在 x=0的某邻域内有一阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，若 （分数：3.00）_16
4、.设 （分数：3.00）_17.设 f(x)是多项式，且 （分数：3.00）_求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_18.设 f(x)在(-，+)内可导， 又 （分数：3.00）_19.求函数 （分数：3.00）_求下列极限：（分数：4.00）(1).设 求 （分数：2.00）_(2).设 f(x)是三次多项式，且有 （分数：2.00）_20.已知 f(x)在 x=a处可导，且 f(x)0，n 为自然数 求 （分数：3.00）_考研数学一-71 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：28，分数：100.00)
5、1. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于函数表示法与用什么字母表示无关，所以， 于是 因为 所以 2. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 另解 3. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 4.已知 求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解先证x n 为单增数列，由于 设当 n=k时，x k x k-1 ，则有 a+x k a+x k-1 ， 即 x k+1 x k ， 由数学归纳法知x n 为单增数列 再证x n 有界，显然 设 n=k时， 则当 n=k+1时， 可知x n 有界，因此x n 当 n时，极限存在 设 则 故 5. （分数：3.00）_正确答案
6、：()解析：解令 则 即 因为 x n 2，所以 l2，故 以下证 存在 对任意的 0， 由极限定义 故 求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解(3). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解(4). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解(5). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解(6). （分数：1.00）_正确答案：()解析：解求下列极限：（分数：6.00）(1).当|x|1 时， （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为当|x|1 时， 所以 (2).当 x0 时，
7、（分数：1.50）_正确答案：()解析：解(3). （分数：1.50）_正确答案：()解析：解(4). （分数：1.50）_正确答案：()解析：解6.确定正数 a和 b，使 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 x0 时，极限式的分子 x 2 0，整个极限存在， 所以必有 于是，b=1 7.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 f(x)连续，所以 f - (-1)=f + (-1)=f(-1) 同样，f - (1)=f + (1)=f(1)， 8.已知当 x0 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：解由题设有 因为 所以 9.已知 （分数：3.00）_正确答
8、案：()解析：解因为 所以 故当 x0 时， 有 即 10.求常数 a，使极限 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解因为 所以 因为极限存在，所以 cosa=3cosa即 cosa=0， 11.设函数 f(x)在 x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，f“(0)0证明：存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 时， 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)是比 h 2 高阶的无穷小 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证一只需证明存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使 由题设和洛必达法则得 所以 1 +4 2 +9 3
9、=0 因此， 1 ， 2 ， 3 应满足方程组 因为系数行列式 所以方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当h0 时， 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)是比 h 2 高阶的无穷小 证二由麦克劳林公式得 故有 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0) =( 1 + 2 + 3 -1)f(0)+( 1 +2 2 +3 3 )-f“(0)h+ ( 1 +4 2 +9 3 )f“(0)h 2 +o(h 2 ) 所以 1 ， 2 ， 3 应满足方程组 求下列函数的不连续点且判别类型：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正
10、确答案：()解析：解 的间断点为：使 tanx=0的点 x=k，(k=0，1，2，)， 以及使 tanx无定义的点 因为 所以 x=0及 为第类间断点(可去间断点) 因为 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解显然 x=0为间断点， 因为 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 x=1为 f(x)的连续点 因为 研究下列复合函数的连续性：（分数：4.00）(1).设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 则 用图示法求解 fg(x)(见下图)： 先作出 的图形，再在 xOu平面上画出 u=1的图形 由图可见，当 x1 时，u=x， 当 x1 时
11、，u=x+4， 于是， 因为 (2).研究 fg(x)的连续性 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解同样可用图示法得出 12. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解x 1 =10， 可知 x 1 x 2 设 x k x k+1 ，则 于是由数学归纳法可知对一切自然数 n，有 x n x n+1 ，即x n 单调减少 又由题设可知 x n 0，n=1，2，即x n 有下界 由单调减少有下界数列必有极限，可知 存在 令 在 两边取 n时的极限，得 解之得 l=3，l=-2(舍去) 故 (1). （分数：1.50）_正确答案：()解析：解(2). （分数：1.50）_正确答案：()解析：
12、解令 S n 可看做 f(x)=cosx在 上的积分和式 于是 计算下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：1.50）_正确答案：()解析：解(3). （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 (4). （分数：1.50）_正确答案：()解析：解13. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解14. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解15.设函数 f(x)在 x=0的某邻域内有一阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，若 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解由已知有 而 得 即 af(0)+bf(0)-f(0)=0
13、，由于 f(0)0， 于是 a+b-1=0 又由洛必达法则得 16.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解因为 c0， 所以 而当 x0 时， 所以 b=0 又 而 所以 a=-1， 故 a=-1，b=0， 17.设 f(x)是多项式，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解由 可设 f(x)=8x 8 +8x 2 +ax+b， 又 则 则 求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解(2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解18.设 f(x)在(-，+)内可导， 又 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于 f(x)在(-
14、，+)内可导，则根据拉格朗日中值定理知， 使 f(x)-f(x-1)=f“() 当 x时，所以 即 所以 19.求函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：(1)显然有 f(0)=0， (2)当 0x1 时，1+sin(x)1，有 所以，f(x)=x (3)当-1x0 时，01+sin(x)1，有 所以 f(x)=sin(x) 所以， 解析 当 x取不同值时，极限 求下列极限：（分数：4.00）(1).设 求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 且 所以 所以 所以 (2).设 f(x)是三次多项式，且有 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解因为 所以 f(2a)=f(4a)=0(否则极限为) 可知 x-2a，x-4a 均为 f(x)的因式，又因为 f(x)为三次多项式，因此 令 f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-B)，其中 A，B 为待定常数，于是 解以上联立方程组得 故 20.已知 f(x)在 x=a处可导，且 f(x)0，n 为自然数 求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解
