1、考研数学一-67 及答案解析(总分：99.01，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：9.00)1.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：1.00）2.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）3.设 X 的分布函数为 （分数：1.00）4.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）5.设随机变量 XP()，且 E(X-1)(X-2)=1，则 = 1 （分数：1.00）6.设每次试验成功的概率为 0.2，失败的概率为 0.8，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则E(X)= 1 （分数：1.00）7.设随机变量 X，Y 不相关，XU(-3，3)，Y 的
2、密度为 （分数：1.00）8.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1 （分数：1.00）9.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间-1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：1.00）二、选择题(总题数：4，分数：8.00)10.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为_ A-1 B0 C （分数：2.00）A.B.C.D.11.设随机变量 XU-1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为_ A-1 B0 C （分数：2.00）A.B.C.D.
3、12.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是_ A若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n )= B若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n ) C若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 （分数：2.00）A.B.C.D.13.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =-0.5，且 P(aX+bY1)=0.5，则_ A B C D （分数：2.00）A
4、.B.C.D.三、解答题(总题数：19，分数：82.00)n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：4.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：2.00）_(2).试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_14.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：5.00）_15.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：5.00）_1
5、6.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 （分数：5.00）_17.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：5.00）_设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 （分数：4.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.00）_(2).U，V 的相关系数（分数：2.00）_18.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每
6、个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望 （分数：4.00）_设随机变量 X 的密度函数为 （分数：5.01）(1).求 E(X)，D(X)；（分数：1.67）_(2).求 Cov(X，|X|)，问 X，|X|是否不相关?（分数：1.67）_(3).问 X，|X|是否相互独立?（分数：1.67）_设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 ，又设 （分数：5.01）(1).求 E(Z)，D(Z)；（分数：1.67）_(2).求 XZ ；（分数：1.67）_(3).X，Z 是否相互独立?为什么?（
7、分数：1.67）_设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：4.00）(1).求(U，V)的联合分布；（分数：2.00）_(2).求 UV （分数：2.00）_设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= ，Z= （分数：4.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：2.00）_(2). YZ （分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i - （分数：3.99）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：1.33）_(2).Cov(Y 1
8、 ，Y n )；（分数：1.33）_(3).P(Y 1 +Y n 0)（分数：1.33）_19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z) （分数：4.00）_20.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差 （分数：4.00）_21.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X) （分数：4.00）_22.设 X，Y 为随机变量，且
9、E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9， （分数：4.00）_23.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =0.01 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中收极限定理估计 P(X4200)(1)=0.8413，(2)=0.9772) （分数：4.00）_24.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(X k )= k (k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 （分数：4.00）_25.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6%
10、的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95? （分数：4.00）_考研数学一-67 答案解析(总分：99.01，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：9.00)1.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：1.00）解析：18 解析 D(X)=E(X 2 )-E(X) 2 =4，D(Y)=E(Y 2 )-E(Y) 2 =9， 2.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）解析： 解析 则 ，于是 3.设 X 的分布函数为 （分数：1.00）解析：-0.6 解析 随
11、机变量 X 的分布律为 4.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）解析：1 解析 因为 ，所以 ，于是 E(X)=1，5.设随机变量 XP()，且 E(X-1)(X-2)=1，则 = 1 （分数：1.00）解析：1 解析 因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 由 E(X-1)(X-2)=E(X 2 -3X+2)=E(X 2 )-3E(X)+2= 2 -2+2=1 得 =16.设每次试验成功的概率为 0.2，失败的概率为 0.8，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则E(X)= 1 （分数：1.00）解析：5 解析
12、 X 的分布律为 P(X=k)=0.20.8 k-1 ，k=1，2， 因为 所以 7.设随机变量 X，Y 不相关，XU(-3，3)，Y 的密度为 （分数：1.00）解析： 解析 E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0， ，则 E(X-Y)=0，D(X-Y)=D(X)+D(Y)=2Cov(X，Y)= ，所以 P|X-Y|3=P|(X-Y)-E(X-Y)|3 8.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1 （分数：1.00）解析： 解析 设 X i 为第 i 次的点数(i=1，2，3，4，5，6)，则 ，其中 则 ，由切比雪夫不等式，有 9.设
13、 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间-1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：1.00）解析：0.8413 解析 令 ，则 E(U)=0， ， 则 二、选择题(总题数：4，分数：8.00)10.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为_ A-1 B0 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设正面出现的概率为 p，则 XB(n，p)，Y=n-XB(n，1-p)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)，E(Y)=n(1-p)，D(Y)=np(1-p)，Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)-Cov
14、(X，X)， 因为 Cov(X，n)=E(nX)-E(n)E(X)=nE(X)-nE(X)=0， CoV(X，X)=D(X)=np(1-p)，所以 11.设随机变量 XU-1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为_ A-1 B0 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =1；当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =-1 因为 arcsinx+arccosx= (-1x1)，即 12.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是_ A若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X
15、1 +X 2 +X n )= B若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n ) C若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 B，C 是正确的，若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 A 是正确的，选 D13.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =-0.5，且 P(aX+bY1)=0.5，则_ A B C D （分
16、数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2 +4b 2 +2abCov(X，Y)=a 2 +4b 2 -2ab， 即 aX+bYN(a+2b，a 2 +4b 2 -2ab)， 由 P(aX+by1)=0.5 得 a+2b=1，所以选 D三、解答题(总题数：19，分数：82.00)n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：4.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：2.00）_正确答案：()解析：
17、解 设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n 且 P(X=k)= ，k=1，2，n (注意：设第 3 次才能打开门，则 (2).试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设 Y 为开门次数，Y 的可能取值为 1，2，n， 且 14.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 以 Y 表示获利，则 15.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T
18、(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 E(T)=-1P(X10)+20P(10X12)-5P(X12)=-(10-)+20(12-)-(10-)-51-(12-)=25(12-)-21(10-)-5 令 =21“(10-)-25“(12-)=0，即 ， 解得 16.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值
19、 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 R 为商店每周的利润，则有 因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 故 17.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 U=X-Y，因为 X，Y 相互独立，且 ， 所以 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 （分数：4.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=0)=P(
20、X1，X2)=P(X1)=F(1)=1-e -2 ； P(U=0，V=1)=P(X1，X2)=0； P(U=1，V=1)=P(X1，X2)=P(X2)=1-F(2)=e -4 ； P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e -2 -e -4 (U，V)的联合分布律为 (2).U，V 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 得 E(U)=e -2 ，E(V)=e -4 ，E(U，V)=e -4 ，E(U 2 )=e -2 ，E(V 2 )=e -4 ，则 D(U)=E(U 2 )-E(U) 2 =e -2 -e -4 ，D(V)=E(V 2 )-E(V) 2 =e -4 -e
21、-8 ， Cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V)=e -4 -e -6 ， 于是 18.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 利用随机变量分解法(从未考过) 设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令 则 X=X 2 +X 3 +X 11 ， 因为 ，所以 设随机变量 X 的密度函数为 （分数：5.01）(1).求 E(X)，D(X)；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 (2).求 Cov(X，|X|)，问 X，|X|是否不相关?（分数：
22、1.67）_正确答案：()解析：解 因为 Cov(X，|X|)=EX|X|-EXE|X|=EX|X|= (3).问 X，|X|是否相互独立?（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 对任意的 a0，PXa，|X|a=P|X|a， 而 0P(Xa)1，所以 PXa，|X|aP|X|aP(Xa)， 故|X|，X 不相互独立设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 ，又设 （分数：5.01）(1).求 E(Z)，D(Z)；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 (2).求 XZ ；（分数：1.67）_正确答案：()解析：
23、解 (3).X，Z 是否相互独立?为什么?（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X 也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：4.00）(1).求(U，V)的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=1)=P(XY，X2Y)=0； P(U=1，V=0)=P(XY，X2Y)=P(YX2Y)= ； P(U=0，V=0)=P(XY，X2
24、Y)=P(XY)= ； P(U=1，V=1)= (U，V)的联合分布律为 (2).求 UV （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由第一小题得 则 设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= ，Z= （分数：4.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立，所以 (2). YZ （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 Cov(Y，Z)=Cov(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m+1 +X m+n =Cov(X 1 +X m ，X m+1
25、+X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X m+1 +X m+n )=D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n )=(n-m) 2 则 设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i - （分数：3.99）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 (2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 (3).P(Y 1 +Y n 0)（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态
26、分布，所以 Y 1 +Y n 服从正态分布， 19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 X，Y 都服从 N(， 2 )分布，所以 ， 且 U，V 相互独立，则 X=U+，Y=V+，故 Z=max(X，Y)=max(U，V)+， 由 U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 (-u，v+) 于是 E(Z)=Emax(U，V)+。 而 故 20.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方
27、差 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 F U (u)=P(Uu)=Pmax(X 1 ，X 2 ，X n )u=PX 1 u，X 2 u，X n u 于是 21.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 A i =第 i 个人收到自己的电话资费单，i=1，2，n， i=1，2，n，则 X=X 1 +X 2 +X n 当 ij 时，P(X i =1，X j =1)=P(A i A j )=P(A i )P(A j |A i )=
28、 ， 22.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3， D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+2 23=7， 于是 P|X+Y-3|10=P|U-E(U)|10 23.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =0.01 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中收极限定理估计 P(X4200)(1)=0.8413，(2)=
29、0.9772) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设第 i 只电阻使用寿命为 X i ， 则 X i E(0.01)，E(X i )=100，D(X i )=100 2 (i=1，2，36) 24.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(X k )= k (k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以 也独立同分布且 ，当 n 充分大时，由中心极限定理得 近似服从标准正态分布，故 Z n 近似服从正态分布，两个参数为 25.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6%的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 令 X 表示需要使用外线的分机数，则 ， E(X)=3000.06=18，D(X)=3000.0564=16.92 设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得 解得
