1、考研数学一-59 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.设 L 为从点 A(0，-1，1)到点 B(1，0，2)的直线段，则 L (x+y+z)ds= 1 （分数：1.00）2.设曲线 则 （分数：1.00）3. L |y|ds= 1，其中 L：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )(a0) （分数：1.00）4.设向量场 A=2x 3 yzi-x 2 y 2 zj-x 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)沿方向 l=2，2，-1的方向导数 （分数：1.00）5.设 L 是从点(0，0
2、)到点(2，0)的有向弧段 y=x(2-x)，则 L (ye x -e -y +y)dx+(xe -y +e x )dy= 1 （分数：1.00）6.设 f(u)连续可导，且 ，L 为半圆周 （分数：1.00）7.已知 （分数：1.00）8. （分数：1.00）9. （分数：1.00）10.设级数 （分数：1.00）二、选择题(总题数：5，分数：5.00)11.设场 A=x 3 +2y，y 3 +2z，z 3 +2x，曲面 S：x 2 +y 2 +z 2 =2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为_ A32 B-32 C D （分数：1.00）A.B.C.D.12.设 条件收敛，且 （分数
3、：1.00）A.|r|1B.|r|1C.r=-1D.r=113.设 ，则_ A 都绝对收敛 B 条件收敛， 收敛 C 都发散 D 发散， （分数：1.00）A.B.C.D.14.设幂级数 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为_ A2 B4 C （分数：1.00）A.B.C.D.15.设 (n=0，1，2；-x+)，其中 则 为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：22，分数：85.00)16.设 f(x，y，z)连续，三为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算 （分数：3.00）_17.设 （分数：3.00）_
4、18.设 L 为曲线|x|+|y|=1 的逆时针方向，计算 （分数：3.00）_19.位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (其中常数 k0，且 r=|AM|)，质点 M 沿曲线 （分数：4.00）_20.在变力 F=yz，xz，xy的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 （分数：4.00）_21.质点 P 沿以 AB 为直径的半圆从点 A(1，2)到点 B(3，4)运动，受力 F 的作用，力的大小等于|OP|，方向垂直于线段 OP 且与 y 轴的夹角为锐角，求力 F 所做的协 （分数：4.00）_22.设 f(x)二阶连续可导，且曲线积分3f“(x)-2f(x)+xe 2x
5、ydx+f“(x)dy 与路径无关，求 f(x) （分数：4.00）_23.计算 （分数：4.00）_24.设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，计算 （分数：4.00）_25.计算曲面积分 (x 3 +z)dydz+(y 3 +x)dzdx+dxdy，其中是曲线 （分数：4.00）_26.计算曲线积分 ，其中 （分数：4.00）_27.计算 ，其中 （分数：4.00）_28.设空间曲线 C 由立体 0x1，0y1，0z1 的表面与平面 所截而成，计算 （分数：4.00）_29.计算 （分数：4.00）_30.设函数 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 有连续的偏导数，且在 L
6、：x 2 +y 2 =1 上有 f(x，y)0 证明： ，其中 D r ：r 2 x 2 +y 2 1 （分数：2.00）_设 （分数：6.00）(1).求 (x)；（分数：3.00）_(2).设 C 为由点 A(a，0)(a0)经过上半平面到点 B(-a，0)的任意曲线段，求 （分数：3.00）_31.设 L 是不经过点(2，0)，(-2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算 （分数：4.00）_32.设函数 u(x，y)，v(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 上一阶连续可偏导，又 且在区域 D 的边界上有 u(x，y)1，v(x，y)y，求 （分数：4.00）_33.设
7、曲线 L 的长度为 l，且 （分数：4.00）_34.讨论级数 （分数：4.00）_35.设 收敛，举例说明级数 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证明 （分数：4.00）_36.设 ，级数 （分数：4.00）_考研数学一-59 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.设 L 为从点 A(0，-1，1)到点 B(1，0，2)的直线段，则 L (x+y+z)ds= 1 （分数：1.00）解析： 解析 ，参数形式为 则 2.设曲线 则 （分数：1.00）解析：2a 3 解析 3. L |y|ds= 1，其中 L：(x 2 +y 2 ) 2
8、=a 2 (x 2 -y 2 )(a0) （分数：1.00）解析： 解析 L 的极坐标形式为 4.设向量场 A=2x 3 yzi-x 2 y 2 zj-x 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)沿方向 l=2，2，-1的方向导数 （分数：1.00）解析： 解析 则 5.设 L 是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段 y=x(2-x)，则 L (ye x -e -y +y)dx+(xe -y +e x )dy= 1 （分数：1.00）解析： 解析 P(x，y)=ye x -e -y +y，Q(x，y)=xe -y +e x ， 令 L 0 ：y=0(起点 x=2，终点 x
9、=0)， 则 L (ye x -e -y +y)dx+(xe -y +e x )dy= (ye x -e -y +y)dx+(xe -y +e x )dy， 而 于是 6.设 f(u)连续可导，且 ，L 为半圆周 （分数：1.00）解析：1 解析 P(x，y)=xf(x 2 +y 2 )，Q(x，y)=yf(x 2 +y 2 )， 因为 ，所以曲线积分与路径无关， 故 I= L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)= 7.已知 （分数：1.00）解析： 解析 则 ，所以 8. （分数：1.00）解析：3e 解析 令 则 于是 9. （分数：1.00）解析：2(1-ln2) 解析 令 则
10、因为 S(0)=0， 所以 则 10.设级数 （分数：1.00）解析： 解析 n时， 因为 条件收敛，所以 ，即 p 的范围是 二、选择题(总题数：5，分数：5.00)11.设场 A=x 3 +2y，y 3 +2z，z 3 +2x，曲面 S：x 2 +y 2 +z 2 =2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为_ A32 B-32 C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 12.设 条件收敛，且 （分数：1.00）A.|r|1B.|r|1C.r=-1 D.r=1解析：解析 因为 条件收敛，所以级数 一定不是正项或负项级数，故 r0 若|r|1，则 ，级数 绝对收敛，矛盾； 若
11、|r|1，则 ，存在充分大的 N，当 nN 时，|u n |单调增加， 于是 13.设 ，则_ A 都绝对收敛 B 条件收敛， 收敛 C 都发散 D 发散， （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 显然 条件收敛， ，因为 n时， ，而 收敛，所以14.设幂级数 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为_ A2 B4 C （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 在 x=6 处条件收敛，所以级数 的收敛半径为 R=4，又因为级数 有相同的收敛半径，所以 的收敛半径为 R=4，于是15.设 (n=0，1，2；-x+)，其中 则 为_ A B C D （分数：1.00）A
12、.B.C. D.解析：解析 对函数 f(x)进行偶延拓，使 f(x)在(-1，1)上为偶函数，再进行周期为 2 的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 三、解答题(总题数：22，分数：85.00)16.设 f(x，y，z)连续，三为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 曲面 2z=x 2 +y 2 上任一点(x，y，z)指向上侧的法向量为 n=-x，-y，1，法向量的方向余弦为 则 因为 所以原式 17.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因
13、为曲线积分与路径无关，所以有 cosy=f“ y (x，y)，则 f(x，y)=siny+C(x)，而 ，即 18.设 L 为曲线|x|+|y|=1 的逆时针方向，计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 C：x 2 +4y 2 =r 2 (r0)逆时针且 C 在曲线 L 内，则有 19.位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (其中常数 k0，且 r=|AM|)，质点 M 沿曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 任取 M(x，y)L， ， 两质点的引力大小为 则 则 W= L P(x，y)dx+Q(x，y)dy， 其中 因为 所以曲线积分与路径无关，从而
14、 20.在变力 F=yz，xz，xy的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设原点 O 到点 M(，)的直线为 L，L 的参数方程为 令 由 当点 M 的坐标为 时，力 F 所做的功最大，且最大功为 21.质点 P 沿以 AB 为直径的半圆从点 A(1，2)到点 B(3，4)运动，受力 F 的作用，力的大小等于|OP|，方向垂直于线段 OP 且与 y 轴的夹角为锐角，求力 F 所做的协 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 力的大小 则 ，于是 F=|F|F 0 =-y，x，故 22.设 f(x)二阶连续可导，且曲线积分3f“(x)-2f(x)
15、+xe 2x ydx+f“(x)dy 与路径无关，求 f(x) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为曲线积分与路径无关，所以有 f“(x)=3f“(x)-2f(x)+xe 2x ，即 f“(x)-3f“(x)+2f(x)=xe 2x ， 由特征方程 2 -3+2=0 得 1 =1， 2 =2， 则方程 f“(x)-3f“(x)+2f(x)=0 的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x ， 令特解 f 0 (x)=x(ax+b)e 2x ，代入原微分方程得 ，b=-1， 故所求 23.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ， 令 ，D xz =(x，z)|-
16、axa，-aza， 由对称性得 24.设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由对称性得 而 所以 25.计算曲面积分 (x 3 +z)dydz+(y 3 +x)dzdx+dxdy，其中是曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 曲面：z=1-x 2 -y 2 (z0)，补充曲面 0 ：z=0(x 2 +y 2 1)，取下侧，由高斯公式得 则 26.计算曲线积分 ，其中 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 n=0，-1，1，cos=0， ， 由斯托克斯公式得 ：z=y(x，y)D xy )，其中 D xy ：x
17、2 +2y 2 1， 故 方法二 令 则 27.计算 ，其中 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设由 L 所围成的平面为，按右手准则，取上侧， n=0，3，-1，cos=0， ，由斯托克斯公式得 因为 ，D xy ：x 2 +y 2 4y， 所以 28.设空间曲线 C 由立体 0x1，0y1，0z1 的表面与平面 所截而成，计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 取平面 上被折线 C 所围的上侧部分为 S，其法向量的方向余弦为 cos=cos=cos= 设 D xy 表示曲面 S 在不面 xOy 上的投影区域，其面积为 ， 由斯托克斯公式得 29.计算 （分数：4.00）_
18、正确答案：()解析：解 令 显然 令 L r ：x 2 +y 2 =r 2 ，其中 r0，L r 在 L 内，方向取逆时针，由格林公式得 其中 D 为 L 与 所围成的平面区域，则 而 所以 30.设函数 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 有连续的偏导数，且在 L：x 2 +y 2 =1 上有 f(x，y)0 证明： ，其中 D r ：r 2 x 2 +y 2 1 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 由 于是 再根据积分中值定理得 I=-2f(rcos，rsin)，其中 是介于 0 与 2 之间的值 故原式 设 （分数：6.00）(1).求 (x)；（分数：3.00）_正
19、确答案：()解析：解 设 L“为任意一条绕原点一周的正向光滑闭曲线，在 L“上任取两点 M，N，把曲线 L“分成 L 1 ，L 2 ，由 M，N 再作一条曲线 L 3 ，则 两式相减得 ，即曲线积分与路径无关， 或 x“-2=0， 解得 (2).设 C 为由点 A(a，0)(a0)经过上半平面到点 B(-a，0)的任意曲线段，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设由 C(r，0)经过上半圆 到 D(-r，0)的曲线段为 C r (r0 且 C r 位于 C 与 x 轴之间) 由格林公式得 又 所以 故 31.设 L 是不经过点(2，0)，(-2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L
20、 的不同情形计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 显然曲线积分 I 1 ，I 2 都满足柯西-黎曼条件 (1)当(2，0)，(-2，0)都在 L 所围成的区域之外时，I 1 =I 2 =0，因此 I=0； (2)当(2，0)，(-2，0)都在 L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r 1 ，r 2 为半径的圆 C 1 ，C 2 ，使它们都在 L 内，则 32.设函数 u(x，y)，v(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 上一阶连续可偏导，又 且在区域 D 的边界上有 u(x，y)1，v(x，y)y，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 33.设曲线 L
21、 的长度为 l，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 Pdx+Qdy=P，Qdx，dy， 因为|ab|a|b|， 所以有 34.讨论级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 则 因为 ，而 收敛，所以 收敛， 由正项级数的比较审敛法得 35.设 收敛，举例说明级数 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证明 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 ，由交错级数的莱布尼茨审敛法，级数 收敛， 而 发散设 是正项收敛级数，则 ， 取 0 =1，存在自然数 N，当 nN 时，|a n -0|1，从而 0a n 1， 当 nN 时，有 由 收敛得 收敛，再由比较审敛法得 收敛，所以 36.设 ，级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 不一定收敛，如 ，显然 ，而 ，因为 收敛，而 发散，所以 发散； 不一定收敛，如 ，显然 ，而 发散； 不一定收敛，如 ，显然 ，而 发散； 一定收敛 由 ，得 收敛，所以 收敛，即 绝对收敛， 所以
