1、考研数学一-457 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 S 为球面：x 2+y2+z2=R2，则下列同一组的两个积分均为零的是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2是任意常数，则 B=（分数：4.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，下面几个无穷小量中阶数最高的是（分数：4.00）A.B.C.D.4.考虑一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b连续； f(x)在a，b可积；f(x)在a，b可导； f(x)在a，b存在原函数若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，
2、则有（分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X1，X 2，X n，相互独立，且 X2n(n=1，2，)服从参数为 A 的泊松分布，X 2n-1(n=1，2，)服从期望值为 的指数分布，则随机变量序列 X1，X 2，X n，一定满足（分数：4.00）A.切比雪夫大数定律B.伯努利大数定律C.辛钦大数定律D.中心极限定理6.设 u(x，y)在 M0(x0，y 0)取极小值，并且 均存在，则（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，已知 且其概率密度 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)，f
3、 2(x)分别是正态分布 N(0， 2)与参数为 的指数分布的概率密度，则（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 A0，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 收敛， （分数：4.00）填空项 1:_11.质量为 M，长为 L 的均匀杆 Ab 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 C 的引力 （分数：4.00）填空项 1:_12.累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知矩阵 与 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X，Y 分别服从参数为 的 0-1 分布，且它们
4、的相关系数 （分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知极限（分数：11.00）_16.一子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为 v0，穿出铁板时的速度为 v1，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为 t1子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数 k0()求子弹在铁板内的运动速度 v 与时间 t 的函数关系 v=v(t)；()求铁板的厚度（分数：11.00）_17.设 z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足（分数：11.00）_18.设密度为 1 的立体 由不等式 （分数：11.00）_19.设有正项级数 是它的部分和，()求证： 收敛；()判断级数
5、（分数：11.00）_20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解（分数：11.00）_21.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，层是 n 阶单位矩阵)（分数：11.00）_22.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从参数为 0.6 的 0-1 分布，Y 服从参数 =1 的指数分布，令 U=X+Y，试求：()U 的分布函数 F(u)与概率
6、密度 f(u)；()U 与 U2的协方差 cov(U，U 2)（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为（分数：6.00）_考研数学一-457 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 S 为球面：x 2+y2+z2=R2，则下列同一组的两个积分均为零的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 注意第一类曲面积分有与三重积分类似的对称性质因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x 与 xy 关于 x 为奇函数*被积函数 x2关于 x 为偶函数*特别要注意，第二类曲面
7、积分有与三重积分不同的对称性质：因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x2对 x 为偶函数*被积函数 x 对 x 为奇函数*(这里设 s 取外侧)类似可得*(这里仍设 S 取外侧)因此应选(C)2.设 B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2是任意常数，则 B=（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由 AB=B 有(A-E)B=0，因而 B 的列向量是齐次方程组(A-E)x=0 的解又*那么齐次方程组(A-E)x=0 的基础解系是(-1，1) T，所以应选(D)3.当 x0 时，下面几个无穷小量中阶数最高的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 分别考察每个无
8、穷小量的阶数由于*4x2+5x3-x54x 2 (x0)，由此可知，(A)，(C)均是二阶的又*由此可知，(B)是三阶的用泰勒公式考察(D)当 t0 时有*从而由*(D)是四阶的因此应选(D)4.考虑一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b连续； f(x)在a，b可积；f(x)在a，b可导； f(x)在a，b存在原函数若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 由基本定理，我们应知道：f(x)在a，b可导*因此，应选(C)分析二 f(x)在a，b可积与 f(x)在a，b存在原函数之间无确定关系，因而*，即(A)，(B)不正确可以有函数
9、F(x)，它的导函数 F(x)=f(x)在a，b不连续对此 f(x)，它在a，b存在原函数，在a，b不连续因此 f(x)在a，b存在原函数*f(x)在a，b连续，即*(D)不正确因此选(C)5.设随机变量 X1，X 2，X n，相互独立，且 X2n(n=1，2，)服从参数为 A 的泊松分布，X 2n-1(n=1，2，)服从期望值为 的指数分布，则随机变量序列 X1，X 2，X n，一定满足（分数：4.00）A.切比雪夫大数定律 B.伯努利大数定律C.辛钦大数定律D.中心极限定理解析：分析 X 1，X 2，X n，不是同分布，因此不能满足辛钦大数定律、伯努利大数定律和中心极限定理，用排除法可知应
10、选(A)进一步分析，EX 2n=DX2n=，EX 2n-1=，DX 2n-1= 2，因此对任何 n=1，2，都有 DXn+ 2，即X1，X 2，X n，相互独立，期望、方差都存在且对所有 n，DX n 2+，符合切比雪夫大数定律成立的条件，应选(A)6.设 u(x，y)在 M0(x0，y 0)取极小值，并且 均存在，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 偏导数实质上是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数取极值的必要条件可得相应结论*则 x=x0是 f(x)的极大值点，于是得矛盾*因此，应选(A)7.下列矩阵（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 判
11、断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别相似的必要条件是：特征值一样，秩相等，A3，A 4虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似A 1与 A2或 A2与 A3虽秩相等但特征值不一样，因此不相似用排除法知应选(C)实际上，A 1，A 3的特征值都是 3，0，0，且 r(0E-A1)=1，r(0E-A 3)=1，则n-r(0E-A1)=3-1=2， n-r(0E-A 3)=3-1=2，说明齐次方程组(0E-A 1)x=0 与(0E-A 3)x=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A1和 A3都有 2 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A1和 A3都与对角矩阵*相似，从而 A1与 A3相似8.
12、设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，已知 且其概率密度 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)，f 2(x)分别是正态分布 N(0， 2)与参数为 的指数分布的概率密度，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 *即*故*所以*计算知*故应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 A0，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：lna）解析：分析 这是0 型的数列极限，变形可得*其中*10.设 收敛， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 依题设可知*常数，记*将等式两边积分得*又*代入得*11.质量为 M
13、，长为 L 的均匀杆 Ab 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 C 的引力 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 以 AB 为 x 轴，近端点为原点，正 x 轴指向 CC 的坐标为 x，则杆对 C 的引力*于是，C 从 r0移至无穷远时，引力作的功*12.累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 直接计算是不方便的，这是二重积分*的累次积分，其中*它是由*即(x-1) 2+y2=1(y0)与 x 轴围成的区域，如图所示现改用极坐标变换，D 的极坐标表示*于是*13.已知矩阵 与 （分数
14、：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-3，0)(0，3)）解析：分析 由*可知矩阵 A 的特征值为 3，3，0二次型 xTAx 正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0又由*可知矩阵 B 的特征值为 3-a，3+a，0当*即-3a3 时，A 与 B 有相同的正、负惯性指数，A 与 B 合同因为 A 与 B 不相似，所以 A 和 B 特征值不相同，因此 a014.设 X，Y 分别服从参数为 的 0-1 分布，且它们的相关系数 （分数：4.00）_解析：分析 依题意*设(X，Y)的联合分布与边缘分布如下表：*由于 X，Y 只取 0，1 两个值，所以*再由(X，Y)的联合分布与边缘分布的关系，可
15、得*评注 从 X 与 Y 的联合分布可以直接求出边缘分布，但仅从 X,Y 的边缘分布是无法得出 X 与 Y 的联合分布的.必须再附加一条件才能求出联合分布，比如 X 与 Y 独力、关于其中一个随机变量的条件分布或者某有关事件的概率等.本题难点是从已知条件设法求出 E(XY)，从而根据 X,Y 只取 0 和 1 两个值的特点，求出概率 PX=1,Y=1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知极限（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解一 用洛必达法则由*(否则 I=，不合题意)继续用洛必达法则*(否则 I=，不合题意)再用洛必达法则*由，式*分析与求解二 用泰勒公式*已知：*代入
16、得*)解析：16.一子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为 v0，穿出铁板时的速度为 v1，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为 t1子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数 k0()求子弹在铁板内的运动速度 v 与时间 t 的函数关系 v=v(t)；()求铁板的厚度（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()首先考察子弹在铁板内的运动速度 v=v(t)满足的规律子弹在铁板内所受阻力为-kv 2，于是由牛顿第二定律得*其中 m 为子弹的质量以入射时为起始时间，得初条件 v(0)=v0解这个变量分离的微分方程得*积分得*由初值得*于是*令 t=t1得*()铁板的厚度即子弹在铁
17、板内所走过的距离*)解析：评注 *17.设 z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()将 x 对 x，y 的偏导数转换为 z 对 u，v 的偏导数由复合函数求导法得*这里*仍是 u，v 的函数，而 u，v 又是 x，y 的函数，因而*又*将，代入原方程得*即原方程变成*()由题()，在变量替换 u=3x+y，v=x+y 下，求解满足题设方程的 z=z(x，y)转化为求解满足的x=z(u，v)由*对 v 积分得*其中 f(u)为任意的有连续导数的函数再对 u 积分得 z=(u)+(v)，其中 ， 为任意的有连续的二阶导数的函数回到原变量得 z=(3
18、x+y)+(x+y)解析：18.设密度为 1 的立体 由不等式 （分数：11.00）_正确答案：(分析 质量为 m 的质点对直线 L 的转动惯量为 md2，d 是质点到 L 的距离因此，要先求 上*点(x，y，z)到直线 L：x=y=z 的距离，然后用三重积分来表示这个转动惯量解 上任意点(x，y，z)到直线 L 的距离的平方*其中*再求 对 L 的转动惯量*用先二后一的积分顺序，记 D(z)：x 2+y2z 2，于是*)解析：评注 *19.设有正项级数 是它的部分和，()求证： 收敛；()判断级数 （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()级数*的部分和 Tn易求出*敛()考察级数*
19、由 Sn与 an的关系：Sn=a1+a2+an-1+an， a n=Sn-Sn-1，将一般项*改写成只与 Sn有关，即*因正项级数的部分和数列 Sn单调上升，上式可放大成*由题()*收敛，再由比较原理知*收敛因此，原级数绝对收敛)解析：20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解（分数：11.00）_正确答案：(解 由方程组 Ax= 的解的结构，可知r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3，且
20、 1+2 2+2 3+ 4=， 1-2 2+4 3=0因为 B=( 3， 2， 1,- 4)=( 3， 2， 1， 1+2 2+2 3)，且 1， 2， 3线性相关，而知秩r(B)=2由*知(0，-1，l，0) T是方程组 Bx= 1- 2的一个解又由*可知 (4，-2，1，0) T，(2，-4，0，1) T是 Bx=0 的两个线性无关的解故 Bx= 1- 2的通解是：(0，-1，1，0) T+k1(4，-2，1，0) T+k2(2，-4，0，1) T)解析：评注 要会正反两方面用好方程组解的结构；要会用观察法来分析方程组的解.21.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证
21、明 A 是数量矩阵(即 A=kE，层是 n 阶单位矩阵)（分数：11.00）_正确答案：(证明 因为任一个 n 维非零列向量均是 A 的特征向量，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 必与对角矩阵相似现取 n 个单位向量 i=(0，0，1，0，0) T， (i=1，2，n)为 A 的特征向量，其特征值分别为 1， 2， n，那么令 P=( 1， 2， n)=E，有*如果 1 2，则 A( 1+ 2)= 1 1+ 2 2因为每个 n 维向量都是 A 的特征向量，又应有 A( 1+ 2)=( 1+ 2)，于是 ( 1-) 1+( 2-) 2=0由于 1-， 2- 不全为 0，与 1， 2
22、线性无关相矛盾，所以必有 1= 2同理可知 1= 2= n=k，故 A=kE)解析：评注 n 阶数量矩阵 kE 的特征值是 k(n 重根)；并用任一 n 维非零列向量都是 kE 的特征向量.22.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从参数为 0.6 的 0-1 分布，Y 服从参数 =1 的指数分布，令 U=X+Y，试求：()U 的分布函数 F(u)与概率密度 f(u)；()U 与 U2的协方差 cov(U，U 2)（分数：11.00）_解析：23.设 X1，X 2，X n是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为（分数：6.00）_正确答案：(要求 的矩估计量，首先应确定被估计参数 与总体 X 的矩之间的关系记 =EX，则* 的矩估计量为*其中*()尽管总体 X 不是正态总体，但由于样本容量 n=400 属大样本，故*也近似服从标准正态分布，即总体 X 的期望值 的置信区间公式仍是*其中*由于 1-=0.95，因此*而 S 是样本标准差*注意到*是 的严格递增函数，n=400*因此 的置信区间为*)解析：
