1、考研数学一-456 及答案解析(总分：160.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0，1)，则 Z=F-1(Y)的分布函数( )（分数：4.00）_2.设平面 平行于两直线 （分数：4.00）_3.设 y=y(x)是方程(2xy-cosx)dx+(x 2-1)dy=0 的满足初始条件 y(0)=1 的特解，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D
2、内可偏导且满足 在 D 内没有零点，则 f(x，Y)在 D 上( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一 2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X1，X 2，X 3，X n是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量， 是样本均值，记 服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量为( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是( )（分数：4.00）A.A 为可逆的方阵B.齐次线性方程组 AX=0 只有零解C.A 的行向量
3、组线性无关D.矩阵 A 的列向量线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x-cosxax 2，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设直线 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：104.00)15.计算二重积分 （分数：9.00）_（分数：10.00）(1).设 f(x)在a，b
4、上二阶可导，且 f“(x)0，x 0a，b，证明：（分数：5.00）_(2). （分数：5.00）_16.设 f(x，y)=(x-6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2+y225)上的最大值与最小值（分数：10.00）_17.计算曲面积分其中三是曲线 （分数：11.00）_18.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧
5、的前 3s 内，减少了体积的 （分数：10.00）_19.设 （分数：11.00）_设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形（分数：5.50）_设(X，Y)的联合密度函数为（分数：11.01）(1).求常数 k；（分数：3.67）_(2).求 X 的边缘密度；（分数：3.67）_(3).求当 （分数：3.67）_设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令（分数：21.
6、00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：10.50）_(2). YZ（分数：10.50）_考研数学一-456 答案解析(总分：160.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0，1)，则 Z=F-1(Y)的分布函数( )（分数：4.00）_解析：详解 因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为*的分布函数为FZ(z)=PZz=PF -1(Y)z=PYF(z)2.设平面 平行于两直线 （分数：4.00）_解析：详解 平面 的法向量为n=2，-2，11，2，2)=-32，1，-23.设 y=y(x)是方
7、程(2xy-cosx)dx+(x 2-1)dy=0 的满足初始条件 y(0)=1 的特解，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 方法一：令 P(x，y)=2xy-cosx，Q(x，y)=x 2-1，*4.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由*得 f(0)=0，由极限保号性可知存在 0，当|x| 时，*当 x(-，0)时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0；当 z(0，)时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0，于是(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，选(C)5.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y
8、)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足 在 D 内没有零点，则 f(x，Y)在 D 上( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y 0)=M0，此时*矛盾，即 f(x，y)在 D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D 内取到，选(A)6.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一 2 倍加到第三列得-E，且|A|0，
9、则 A 等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 *7.设 X1，X 2，X 3，X n是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量， 是样本均值，记 服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 *8.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是( )（分数：4.00）A.A 为可逆的方阵B.齐次线性方程组 AX=0 只有零解C.A 的行向量组线性无关D.矩阵 A 的列向量线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：详解 矩阵 A 可逆是方程组 AX=b 有唯一解的充分不必要条件，(A)不对；若 AX=0
10、只有零解，则r(A)=n，但不能由此推出，r(A)=r(A)=n，(B)不对；A 的行向量组线性无关只能保证 A 行满秩，从而方程组 AX=b 一定有解，但不能保证有唯一解，(C)不对；若矩阵 A 的列向量组线性无关，则 r(A)=n，又若 b 可由 A 的列向量组线性表示，则 r(A)=r(*)=n，于是方程组 AX=b 有唯一解，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x-cosxax 2，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *11.设直线
11、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 任取 M(x，y，z)，过 M(x，y，z)垂直于 z 轴的圆交直线 L 于点 M0(x0，y 0，z)，圆心为 T(0，0，z)，由|MT|=|M 0T|得*12.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x(1-cosx)）解析：详解 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且*由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得*13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *两边左乘 B 得 E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则 A=(B+2E)-1
12、=*14.设随机变量 （分数：4.00）解析：详解 *三、解答题(总题数：9，分数：104.00)15.计算二重积分 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：（分数：10.00）(1).设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，x 0a，b，证明：（分数：5.00）_正确答案：(由泰勒公式得*)解析：(2). （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：16.设 f(x，y)=(x-6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2+y225)上的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(函数 f(
13、x，y)的梯度为gradf(x，y)=y+8，x-6)，*)解析：17.计算曲面积分其中三是曲线 （分数：11.00）_正确答案：(曲面：z=1-x 2-y2(z0)，令 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，*由高斯公式得*)解析：18.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 （分数：10.00）_正确答案：(设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，
14、*)解析：19.设 （分数：11.00）_正确答案：(令 x=( 1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A( 1， 2， 3)=( 1， 2， 3)，即*)解析：设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：(显然 A 的特征值为 1=2， 2=-1， 3=-1，|A|=2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1，=-2， 3=-2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，。即 =(1，1，-1) T是矩阵 A 的对应于特征值 1=2的特征向量令 =(x 1，x 2，x 3)T为矩阵 A
15、 的对应于特征值 2=-1， 3=-1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T=0，即 x1+x2-x3=0，于是 2=-1， 3=-1 对应的线性无关的特征向量为*)解析：(2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形（分数：5.50）_正确答案：(*)解析：设(X，Y)的联合密度函数为（分数：11.01）(1).求常数 k；（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：(2).求 X 的边缘密度；（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：(3).求当 （分数：3.67）_正确答案：(*)解析：设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令（分数：21.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：10.50）_正确答案：(因为 X1，X 2，X m+n相互独立，*)解析：(2). YZ（分数：10.50）_正确答案：(*)解析：
