1、考研数学一-451 及答案解析(总分：147.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 与 Y 相互独立且服从相同的分布P(X=0=PY=0= ，PX=1)=PY=1)= ，则 PX=Y)等于 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)，x-1，1，f(0) ，则 f(0)=0 是级数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+k(a，b，c，d，k 皆为常数，a0)图形的两个拐点横坐标互为相反数，且相应的两个一阶导数值亦互为相反数，则函数 f(x)的图形（分数：4.00）A.关于 x 轴对
2、称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线 y=x 对称4.已知事件 A，B，C 两两相互独立，且 P（A）=P（B）=P（C）=x,P（ABC）=0，则使概率 p=P（ABC）取最大值的 x 为（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在点 x=x0处二阶可微，f(x 0)0，f“(x 0)0，并且按通常意义下定义 x0处的y 与 dy，则当x0，|x|充分小，有（分数：4.00）A.ydy0B.dyy0.C.dyy0D.ydy0.6.设 且 f(x)展开的正弦级数为 ，则 S(3)= （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，C=A+B
3、，则下列选项不正确的是（分数：4.00）A.AB=BAB.(AB)T=-(AB)C.CTC=CCTD.C+CT=08.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 z=ln(x2+y2)在点 M(3，4)处沿 z 的梯度方向的方向导数为_（分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y“+3y+2y=e-xcosx 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f(x)连续， 则当 x0 时，有 （分数：4.00）填空项 1:_13.设三阶矩阵 A=( 1， 2， 3)T，B=( 1- 2，2 2+
4、3 3， 1-2 2+ 3)，且|B|=10，则|A|=_.（分数：4.00）填空项 1:_14.将一枚匀称的骰子抛掷 6 次，所有出现的点数之和记为 X，由切比雪夫不等式可得P14X28_（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.设当 0|x|1 时，f(x)有定义，且存在 （分数：10.00）_16.在椭球面 2x2+2y2+z2=1 上求一点，使函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2在该点沿 l=1，-1，0 方向的方向导数最大（分数：10.00）_17.计算曲面积分 （分数：10.00）_18.求微分方程 y“+4y=3|sinx|在-，上满足条件 （分数
5、：10.00）_19.设 f(x)在0，1上可导，且 f(x)f(x)，f(0)f(1)0，试证：方程 f(x)=0 在(0，1)内有且仅有一个实根（分数：10.00）_20.设矩阵 Amn，Bnm，且 r(A)=s，r(B)=n-s，AB=0，试证：A 的 s 个线性无关行向量即为齐次线性方程组 BTX=0 的一个基础解系（分数：10.00）_21.设 为方阵 A 的属于特征值 的特征向量，试证：(A+E) 2有特征值(+1) 2，且 为属于此特征值的特征向量（分数：10.00）_22.设随机变量 X1和 X2相互独立且服从相同的分布 （分数：11.00）_23.设 XN(， 2)，其中 和
6、 2均为未知参数从总体 x 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 10,样本均值为 () 求 Y1=2X1-2X2与 Y2=3X2-3X3的相关系数 p； () 判断 是否为一个统计量； () 设 为已知，确定常数 k，使得 （分数：10.00）_考研数学一-451 答案解析(总分：147.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 与 Y 相互独立且服从相同的分布P(X=0=PY=0= ，PX=1)=PY=1)= ，则 PX=Y)等于 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于 X 与 Y 相互独立，因此 *2.设函数 f(x)，x-1
7、，1，f(0) ，则 f(0)=0 是级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 设级数*收敛，则有*， 即 f(0)=0， * 若 f(0)0，不妨设 f(0)0，于是当 n 充分大，有*且当*与*为同阶无穷小，由极限判别法，知*发散，与设矛盾(同理可证，当 f(0)0，级数*也发散) 故 f(0)=0 是级数*收敛的必要条件 如果 f(x)=1，有 f(0)=0，但*发散，那么显见 f(0)=0 不是级数薹*收敛的充分条件3.设函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+k(a，b，c，d，k 皆为常数，a0)图形的两个拐点横坐标互为相反数，且相应的两个一阶导数值亦互为相反数，
8、则函数 f(x)的图形（分数：4.00）A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线 y=x 对称解析：分析 f(x)=ax 4+bx3+cx2+dx+k f(x)=4ax3+3bx2+2cx+d， f“(x)=12ax2+6bx+2c， 因函数图形的两个拐点横坐标互为相反数，记为 x1，x 2，令* * 记 y 1=f(x1)，y 2=f(x2)， 于是有*(题设) * 故 f(x)=ax4+cx2+k，此为偶函数，其图形关于 y 轴对称，即选项(B)正确4.已知事件 A，B，C 两两相互独立，且 P（A）=P（B）=P（C）=x,P（ABC）=0，则使概率 p=P
9、（ABC）取最大值的 x 为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由已知条件可得 p=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C) =3x-3x2， 从而有 p=3-6x，p“=-60 令 p=3-6x=0，得唯一驻点*由 p“=-60 可知，当*时，p 取得最大值.5.设函数 f(x)在点 x=x0处二阶可微，f(x 0)0，f“(x 0)0，并且按通常意义下定义 x0处的y 与 dy，则当x0，|x|充分小，有（分数：4.00）A.ydy0B.dy
10、y0.C.dyy0D.ydy0. 解析：分析 因 dy=f(x0)x0，故选项(A)，(B)都不对又y=dy+*f“(x 0)(x) 2+0(x) 2)dy(当|x|充分小)， 因此，选项(C)也不对，选项(D)成立6.设 且 f(x)展开的正弦级数为 ，则 S(3)= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 因 S(x+4)=S(x)，且 S(-x)=-S(x)，故 S(3)=S(-1+4)=S(-1)=-S(1) 而* 因此*7.设 A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，C=A+B，则下列选项不正确的是（分数：4.00）A.AB=BAB.(AB)T=-(AB)C.CTC=CCTD.C+
11、CT=0 解析：分析 事实上，(A)，(B)，(C)三选项是等价的，即*，这三选项也都是正确的 由题设 AT=A，B T=-B 若 AB=BA，则(AB) T=BTAT=-BA=-AB=-(AB)。 故 AB 为反对称矩阵，即证(A)*(B) 若(AB) T=-(AB)，由(AB) T=BTAT=-BA， 故-AB=-BA，即 AB=BA 于是 C TC=(A+B)T(A+B)=(AT+BT)(A+B) =(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2 =A2+BA-AB-B2=(A+B)(A-B)=CCT 即证 (B)*(C) 若 C TC=CCT，则有(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B
12、)， 由此得 2AB=2BA，故 AB=BA，即证(C)*(A) 因 C+C T=(A+B)+(A-B)=2A0， 故选项(D)不正确8.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 若 k=1，则 r(A)=1，由 AB=0，知 r(A)+r(B)3，于是 r(B)2，故有可能 r(B)=1，也有可能 r(B)=2，因此选项(A)与(B)都不正确若 k=-3，则 r(A)=2，于是 r(B)3-r(A)=1，又 B0，r(B)1，因此必有 r(B)=1说明选项(D)也不正确，只有选项(C)正确二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 z=ln(x2+y2)在点 M(3，4)处
13、沿 z 的梯度方向的方向导数为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*.）解析：分析 * *10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：分析 *11.微分方程 y“+3y+2y=e-xcosx 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 对应齐次方程的特征方程为 r2+3r+2=0*r=-1，-2 于是对应齐次方程的通解为 * 当 f(x)=e-xcosx 时，由于-1i 不是特征根，故可设特解为 y*=e-x(acosx+bsinx)， 代入原方程，整理得 *于是* 故原方程的通解为 *12.设函数 f(x)连续， 则当 x0 时，
14、有 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 今 t=xsinu，于是有 *13.设三阶矩阵 A=( 1， 2， 3)T，B=( 1- 2，2 2+3 3， 1-2 2+ 3)，且|B|=10，则|A|=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 由题设及矩阵的乘法规则，易知 *14.将一枚匀称的骰子抛掷 6 次，所有出现的点数之和记为 X，由切比雪夫不等式可得P14X28_（分数：4.00）_解析：分析 设第 i 次抛掷骰子所得的点数为 Xi(i=1，2，6)， 则 * 由于 X1，X 2，X 6相互独立，且有相同的概率分布 * 因此 * 由此可得
15、* 根据切比雪夫不等式，可得 P14X28=P14-21X-2128-21 =P|X-21|7 =P|X-E(X)|7三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.设当 0|x|1 时，f(x)有定义，且存在 （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：分析 对上式两端取对数，并利用等价无穷小解之16.在椭球面 2x2+2y2+z2=1 上求一点，使函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2在该点沿 l=1，-1，0 方向的方向导数最大（分数：10.00）_解析：17.计算曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：(利用高斯公式，得 * 其中 是由锥面 x2+y2=z2和平面 z=h 所
16、围的区域 又因 * 由此得 *)解析：分析 不是封闭曲面，不能用高斯公式若加上平面 1：z=h(x 2十 y2h 2)的上侧，则+ 1成为一个封闭曲面，就可以用高斯公式了18.求微分方程 y“+4y=3|sinx|在-，上满足条件 （分数：10.00）_正确答案：(相应齐次方程之特征方程为 * 故对应齐次方程的通解为 Y=C1cos2x+C2sin2x 设非齐次方程的特解为 y*=acosx+bsinx， 代入方程 * 得 a=0，b=*1，故原方程的通解为 * 由初始条件* 在0，上求得 C3=1，C 4=-*，即 * 由此式可知，x=0 时，y=1，y=0，利用这个条件及所求解在 x=0
17、处的连续性与可导性，可定出 * 因此，原方程在-，上满足初始条件的解为 *)解析：分析 这是二阶常系数线性非齐次方程，因非齐次项含绝对值符号，故需分两种情形讨论，求出通解后，再由初始条件定出特解19.设 f(x)在0，1上可导，且 f(x)f(x)，f(0)f(1)0，试证：方程 f(x)=0 在(0，1)内有且仅有一个实根（分数：10.00）_正确答案：(因 f(x)在0，1上可导，故 f(x)在0，1上连续，又 f(0)f(1)0，于是由零点存在定理知，至少存在一点 (0，1)，使 f()=0，即 (0，1)是方程 f(x)=0 的实根 (唯一性)令 (x)=e -x(x)，因 (x)e
18、-xf(x)-f(x)0，故 (x)在0，1上单调增加，即 (x)在(0，1)内只有一个零点，于是 f(x)在(0，1)内也只有一个零点，即 f(x)=0 在(0，1)内仅有一个实根 注：因 f(x)在(0，1)内有零点，故 (x)在(0，1)内也有零点，又 (x)单调增加，x(0，1)，从而零点唯一，即 f(x)仅有一零点)解析：分析 利用闭区间上连续函数的性质(零点存在定理)证明根的存在性；再利用函数的单调性证明根的唯一性20.设矩阵 Amn，Bnm，且 r(A)=s，r(B)=n-s，AB=0，试证：A 的 s 个线性无关行向量即为齐次线性方程组 BTX=0 的一个基础解系（分数：10.
19、00）_正确答案：(由题设 AB=0，从而 BTAT=0，知 AT的列向量组即 A 的行向量组皆为方程 BTX=0 的解又 r(BT)=r(B)=n-s，知方程组 BTX=0 的基础解系含有 n-(n-s)=s 个线性无关解向量而 r(AT)=r(A)=s，知 A 的行向量组为 BTX=0 的 s 个线性无关解向量，即为该方程组的一个基础解系)解析：分析 利用方程组的基础解系概念及矩阵运算来证明21.设 为方阵 A 的属于特征值 的特征向量，试证：(A+E) 2有特征值(+1) 2，且 为属于此特征值的特征向量（分数：10.00）_正确答案：(由题设，有 (A-E)=0， 于是 (A+E) 2
20、-(+1) 2E=(A 2+2A+E)-( 2+2+1)E =(A2- 2E)+2(A-E) =(A2- 2E2) =(A+E)(A-E)=0 故(+1) 2为(A+E) 2的特征值，且 为属于此特征值的特征向量)解析：分析 根据矩阵的特征值及特征向量来证明22.设随机变量 X1和 X2相互独立且服从相同的分布 （分数：11.00）_解析：分析 Y 1，Y 2的可能取值都是 1，2，3，易知 PY1Y 2)=0利用 X1与 X2相互独立的条件求出(Y1，Y 2)的概率分布Y=Y 1Y2的可能取值是 1，2，3，4，6，9，由(Y 1，Y 2)的概率分布可求得 y 的概率分布求出 PY1=1)及
21、 PY2=1)，由 PY1=1，Y 2=1PY 1=1)PY2=1)，即可得知 Y1与 Y2不相互独立由于事件Y 1=Y2=Y1=1，Y 2=1Y 1=2，Y 2=2)Y 1=3，Y 2=3，而等式右端的三个事件是互不相容的，由概率的可加性及(Y 1，Y 2)的概率分布，可以求得 PY1=Y223.设 XN(， 2)，其中 和 2均为未知参数从总体 x 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 10,样本均值为 () 求 Y1=2X1-2X2与 Y2=3X2-3X3的相关系数 p； () 判断 是否为一个统计量； () 设 为已知，确定常数 k，使得 （分数：10.00）_正确答案：(由于 E(Y
22、1)=E(2X1-2X2)=2E(X1)-2E(X2)=2-2=0， E(Y2)=E(3X2-3X3)=3E(X2)-3E(X3)=3-3=0， D(Y1)=D(2X1-2X2)=4D(X1)+4D(X2)=4 2+4 2=8 2， D(Y2)=D(3X2-3X3)=9D(X2)+9D(X3)=9 2+90 2=180 2， E(Y1Y2)=E(2X1-2X2)(3X2-3X3)=E(6X1X2-6X1X3-6X22+6X2X3) =6E(X1)E(X2)-6E(X1)E(X3)-6(D(X2)+E(X2)2)+6E(X2)E(X3) =6 2-6 2-6 2-6 2+6 2=-6 2， Cov(Y1，Y 2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=-6 2-0=-6 2， 因此 * ()因为 * 不含未知参数，因此 Y 是一个统计量 ()由于 XN(， 2)，因此 X-N(0， 2)，X i-N(0， 2)， 为使 E*=，即 * 应有 *)解析：分析 根据 X1，X 2，X 10相互独立且服从同一正态分布 N(， 2)可算得 Y1，Y 2的数学期望、方差以及 E(Y1Y2)，从而得到 Cov(Y1，Y 2)和 p 化简 Y 的表达式，不含未知参数，可知 Y 是一个统计量由E(*)= 解出 k
