1、考研数学一-449 及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：9.00)1.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次独立重复试验，当 p= 1时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2 （分数：1.00）2.设每次试验成功的概率为 （分数：1.00）3.设随机变量 x的概率密度为 （分数：1.00）4.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 （分数：1.00）5.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：1.00）6.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1 （分数：1.0
2、0）7.设随机变量 X和 Y相互独立，且分布函数为 （分数：1.00）8.设随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：1.00）9.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，P(X0)=P(Y0)= （分数：1.00）二、选择题(总题数：11，分数：11.00)10.设随机变量 X的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有_ A B （分数：1.00）A.B.C.D.11.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有_ A B
3、 C D （分数：1.00）A.B.C.D.12.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是_ A.F(x2) B.F(-x) C.1-F(x) D.F(2x-1)（分数：1.00）A.B.C.D.13.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数_（分数：1.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数14.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为_（分数：1.00）A.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)B.
4、FZ(z)=minFX(z)，FY(z)C.FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)D.FZ(z)=FY(z)15.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为_（分数：1.00）A.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)B.FZ(z)=FX(z)FY(z)C.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)D.FZ(z)=FY(z)16.设随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是_（分数：1.00）A.X+YB.X-YC.max(X，Y)D.min(X，Y)17.设随
5、机变量 X和 Y都服从正态分布，则_（分数：1.00）A.X+Y一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X与 Y不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X与 Y相互独立，则 X-Y服从正态分布18.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X和 Y都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是_（分数：1.00）A.B.C.D.19.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则_（分数：1.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立D.X
6、+Y服从一维正态分布20.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：1.00）A.X-YB.X+YC.X-2YD.Y-2X三、解答题(总题数：19，分数：80.00)21.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3个白球 2个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4个球，设 4个球中的黑球数用 X表示，求 X的分布律 （分数：5.00）_设一设备在时间长度为 t的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)（分数：5.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔 T的概率分布；（分数：2.50）_(2).求设备在无故障工作 8小时下，再无故障工作 8小时的概率（分数：2.50）_22.设一电路由三个电子
7、元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T的分布函数 （分数：5.00）_设随机变量 X满足|X|1，且 P(X=-1)= ，P(X=1)= （分数：5.00）(1).求 X的分布函数；（分数：2.50）_(2).求 P(X0)（分数：2.50）_23.设 X的密度函数为 ，求 （分数：4.00）_24.设随机变量 X的概率密度为 （分数：4.00）_25.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，证明：Y=1-e -2X 在区间(0，1)上服从均匀分布 （分数：4.00）_26.设 （分数：4.00）_27.设随
8、机变量 XE()，令 （分数：4.00）_28.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 ，求 X= （分数：4.00）_设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= （分数：4.00）(1).求二维随机变量(U，V)的联合分布；（分数：1.00）_(2).求 Z=UV的分布；（分数：1.00）_(3).判断 U，V 是否相互独立?（分数：1.00）_(4).求 P(U=V)（分数：1.00）_29.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：4.00）_设二
9、维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：3.99）(1).求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；（分数：1.33）_(2).判断随机变量 X，Y 是否相互独立；（分数：1.33）_(3).求随机变量 Z=X+2Y的分布函数和密度函数（分数：1.33）_设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：4.00）(1).求 P(X2Y)；（分数：2.00）_(2).设 Z=X+Y，求 Z的概率密度函数（分数：2.00）_30.设随机变量 XN(， 2 )，YU-，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z) （分数：4.00）_设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU
10、(0，x)（分数：4.00）(1).求 X，Y 的联合密度函数；（分数：2.00）_(2).求 Y的边缘密度函数（分数：2.00）_31.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：4.00）_32.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0及 Pmin(X，Y)0 （分数：4.00）_33.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：4.00）_考研数学一-449 答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：9.00)1.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次独立重复试验，当 p= 1时，成功次数的标准差最大，其最大
11、值为 2 （分数：1.00）解析： 5 解析 设成功的次数为 X，则 XB(100，p)， D(X)=100p(1-p)，标准差为 令 f(p)=p(1-p)(0p1)，由 f“(p)=1-2p=0得 ，因为 ， 所以 为 f(p)的最大值点，当 2.设每次试验成功的概率为 （分数：1.00）解析： 解析 由 PX=k=(1-p) k-1 p(k=1，2，)(其中 )，得 3.设随机变量 x的概率密度为 （分数：1.00）解析： 解析 F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 于是 4.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y
12、 的分布律为 （分数：1.00）解析：0.46587解析 P(X+2Y4)=P(Y=1)P(X4-2Y|Y=1)+P(Y=2)P(X4-2Y|Y=2)+P(Y=3)P(X4-2Y|Y=3)5.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：1.00）解析：e -2 +e -3 -e -5 解析 由 6.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1 （分数：1.00）解析： 解析 由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得 因为 X，Y 相互独立，所以 F Z (z)=P(Zz)=1-P(Zz)=1-Pmin(X，Y)z=1-P(Xz，Yz)=1-P(
13、Xz)P(Yz)=1-1-P(Xz)1-P(Yz)=1-1-F X (z)1-F Y (z) 于是 P(0Z1)=E Z (1)-F Z (0)= 7.设随机变量 X和 Y相互独立，且分布函数为 （分数：1.00）解析： 解析 F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U (u)=0； 当 0u1 时，F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu)=P(X=0)P(Yu)= 当 1u2 时，F U (u)=P(X=0，Yu)+P(X=1，Yu-1)= 当 u2 时，F U (u)=1所以 8.设随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：1.00）解析：解析 9
14、.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，P(X0)=P(Y0)= （分数：1.00）解析： 解析 令X0)=A，Y0=B，则有 ，故 Pmax(X，Y)0)=1-Pmax(X，Y)0)=1-P(X0，Y0)= 二、选择题(总题数：11，分数：11.00)10.设随机变量 X的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有_ A B （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 则 11.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数
15、，则有_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据性质 F(+)=1，得正确答案为 D12.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是_ A.F(x2) B.F(-x) C.1-F(x) D.F(2x-1)（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是： (1)0(x)1；(2)(x)单调不减； (3)(x)右连续；(4)(-)=0，(+)=1 显然只有 F(2x-1)满足条件，选 D13.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数
16、_（分数：1.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析 F Y (y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y)=1-Pmin(X，2)y=1-P(Xy，2y)=1-P(Xy)P(2y) 当 y2 时，F Y (y)=1；当 y2 时，F Y (y)=1-P(Xy)=P(Xy)=F X (y)， 而 所以当 0y2 时，F Y (y)=1-e -y ； 当 y0 时，F Y (y)=0，即 14.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为_（分数：1.00）A.FZ(z)=maxFX
17、(z)，FY(z)B.FZ(z)=minFX(z)，FY(z)C.FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z) D.FZ(z)=FY(z)解析：解析 F Z (z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z=1-P(Xz，Yz)=1-P(Xz)P(Yz)=1-1-P(Xz)1-P(Yz)=1-1-F X (z)1-F Y (z)，选 C15.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为_（分数：1.00）A.FZ(z)=maxFX(z)，FY(z)B.FZ(z)=FX(z)FY(z) C.FZ(z)=maxF
18、X(z)，FY(z)D.FZ(z)=FY(z)解析：解析 F Z (z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z=P(Xz，Yz)=P(Xz)P(Yz)=F X (z)F Y (z)，选B16.设随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是_（分数：1.00）A.X+YB.X-YC.max(X，Y)D.min(X，Y) 解析：解析 由于 XE()，所以密度函数为 分布函数为 因为 E(X+Y)= ，E(X-Y)=0， 而 max(X，Y)的分布函数是 所以 A，B，C 项都不对，选 D 事实上，min(X，Y)的分布函数为 Pmin(X，Y)x
19、=1-Pmin(X，Y)x=1-P(Xx，Yx)=1-P(Xx)P(Yx)=1-1-F(x) 2 = 17.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则_（分数：1.00）A.X+Y一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X与 Y不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X与 Y相互独立，则 X-Y服从正态分布 解析：解析 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选 D18.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X和 Y都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是
20、_（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选 B19.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则_（分数：1.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.X+Y服从一维正态分布解析：解析 只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，A 不对；若 X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态
21、分布，但 X，Y 不一定相互独立，B 不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y服从一维正态分布，D 不对，故选 C20.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：1.00）A.X-YB.X+Y C.X-2YD.Y-2X解析：解析 Z=Y-XN(1，1)，因为 X-YN(-1，1)，X+YN(1，1)，三、解答题(总题数：19，分数：80.00)21.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3个白球 2个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4个球，设 4个球中的黑球数用 X表示，求 X的分布律 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 A=从甲袋中取出黑球，X 的可能取值为 0，1，
22、2，3，令X=i=B i (i=0，1，2，3)，则 所以 X的分布律为 设一设备在时间长度为 t的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)（分数：5.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔 T的概率分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)， 当 t0 时，F(t)=0； 当 t0 时，F(t)=P(Tt)=1-P(Tt)=1-P(N=0)=1-e -t ， 所以 (2).求设备在无故障工作 8小时下，再无故障工作 8小时的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 所求概率为 22.设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互
23、独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T的分布函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设三个元件正常工作的时间为 T i (i=1，2，3)，T 1 ，T 2 ，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t0 时，令 A=T 1 t，B=T 2 t，C=T 3 t，且 A，B，C 独立， 则 F T (t)=P(Tt)=P(A+B+C) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)， P(A)=P(B)=P(C)=1-e -t ， F T (t)=3(1-e -t )-3(1-e -t )
24、 2 +(1-e -t ) 3 ， 于是 设随机变量 X满足|X|1，且 P(X=-1)= ，P(X=1)= （分数：5.00）(1).求 X的分布函数；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 当 x-1 时，F(x)=0； 当 x=-1时，F(-1)= ； 因为 P(-1X1)= ，所以在-1X1(-1x1)发生下， P(-1Xx|-1X1)= ，于是 当-1x1 时，P(-1Xx)=P(-1Xx，-1x1)=P(-1X1)P(-1Xx|-1x1)= ， F(x)=P(Xx)=P(X-1)+P(-1Xx)= ， 当 x1 时，F(x)=1， 故 (2).求 P(X0)（分数：2.50）_
25、正确答案：()解析：解 P(X0)=F(0)=23.设 X的密度函数为 ，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 24.设随机变量 X的概率密度为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=P(Yy)=P(e X y)， 当 y1 时，X0，F Y (y)=0； 当 y1 时，X0，F Y (y)=P(e X y)=P(Xlny)= ， 25.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，证明：Y=1-e -2X 在区间(0，1)上服从均匀分布 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 X服从参数为 2的指数分布，所以其分布函数为 Y的分布函数为 F Y (y)=
26、P(Yy)=P(1-e -2X y)， 当 y0 时，F Y (y)=P(X0)=0； 当 y1 时，F Y (y)=P(-X+)=1； 当 0y1 时， 即 26.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得矩阵 A的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =Y 若 Y1，2 时，矩阵 A一定可以对角化； 当 Y=1时， =1 为二重特征值， 因为 r(E-A)=2，所以 A不可对角化； 当 Y=2时， =2 为二重特征值， 因为 r(2E-A)=1，所以 A可对角化，故 A可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)= 27.设随机变量
27、XE()，令 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 P(X+Y=0)=P(Y=-X)=P(|X|1)=P(X1)+P(X-1)=P(X1)=1-P(X1)=1-F X (1)=e - F Y (y)=P(Yy)=P(Yy，|X|1)+P(Yy，|X|1)=P(Xy，|X|1)+P(-Xy，X1)+P(-Xy，X-1)=P(Xy，0X1)+P(X-y，X1) 当 y-1 时，F Y (y)=P(X-y)=e y ； 当-1y0 时，F Y (y)=P(X1)=e - ； 当 0y1 时，F Y (y)=P(Xy)+P(X1)=1-e -y +e - ； 当 y1 时，F Y (y)=P(0
28、X1)+P(X1)=1， 故 28.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 ，求 X= （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ，令 U=X 1 X 4 ，V=X 2 X 3 ，且 U，V 独立同分布 P(U=1)=P(X 1 =1，X 4 =1)=0.16，P(U=0)=0.84，X 的可能取值为-1，0，1 P(X=-1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=0.840.16=0.1344， P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=0.160.84=0.1344， P(X=0)=1-20.1344=0.7312，于是 设随机变
29、量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= （分数：4.00）(1).求二维随机变量(U，V)的联合分布；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)= ，i=1，2，3； P(U=2，V=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)= ； P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)= ； P(U=3，V=2)=P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)= ； P(U=1，V=2)=P(U=1，V=3)=P(U=2，V=3)=0 所以(U，V)的联合分布律为 (2).求 Z=
30、UV的分布；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 P(Z=1)=P(UV=1)=P(U=1，V=1)= ； P(Z=2)=P(UV=2)=P(U=1，V=2)+P(U=2，V=1)= ； P(Z=3)=P(UV=3)=P(U=1，V=3)+P(U=3，V=1)= ； P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2，V=2)= ； P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2，V=3)+P(U=3，V=2)= ； P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3，V=3)= 所以 Z的分布律为 (3).判断 U，V 是否相互独立?（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 由于 P(U=1)=P(X=1，Y
31、=1)= ， P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=2)+P(X=1，Y=3)= 而 P(U=1)P(V=1)= P(U=1，V=1)= (4).求 P(U=V)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 P(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2，V=2)+P(U=3，V=3)=29.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 p 11 +p 21 =p 1 得 因为 X，Y 相互独立，
32、所以 p 1 p 1 =p 11 ，于是 ， 由 p 1 p 2 =p 12 得 ，再由 p 12 +p 22 =p 2 得 ， 由 p 11 +p 12 +p 13 =p 1 得 ，再由 p 1 p 3 =p 13 得 ， 由 p 13 +p 23 =p 2 得 ，再由 p 1 +p 2 =1得 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：3.99）(1).求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，f X (x)=0； 当 x0 时， 则 当 y0 时，f Y (y)=0； 当 y0 时， 则 (2).判断随机变量 X，Y 是否相互独立；（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 因为 f(x，y)=f X (x)f Y (y)，所以随机变量 X，Y 相互独立(3).求随机变量 Z=X+2Y的分布函数和密度函数（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 F Z (z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时， 则 设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：4.00）(1).求 P(X2Y)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (2).设 Z=X+Y，求 Z的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 F Z (z)=P(Zz)=P(X+Yz)=
