1、考研数学一-447 及答案解析(总分：101.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：7，分数：7.00)1.设 （分数：1.00）2.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， （分数：1.00）3.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1 （分数：1.00）4.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 =
2、 3 + 1 ，则|A|= 1 （分数：1.00）5.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1 （分数：1.00）6.设 （分数：1.00）7.设 （分数：1.00）二、选择题(总题数：6，分数：6.00)8.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则_ A.A
3、，B 相似于同一个对角矩阵 B.存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B C.r(A)=r(B) D.以上都不对（分数：1.00）A.B.C.D.10.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是_ A.若 A2=E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 C.若矩阵 A 的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则-1 一定是 A 的特征值（分数：1.00）A.B.C.D.11.与矩阵 相似的矩阵为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.12.设 A 为 n 阶矩阵，下列
4、结论正确的是_ A矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等 B若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵 C若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为 （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则_ A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B B.存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B C.A，B 与同一个对解矩阵相似 D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B（分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：23，分数：89.00)14.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r求|5E+A| （分数：3.00）_设
5、 （分数：3.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P -1 AP=，其中 为对角阵；（分数：1.50）_(2).A 100 （分数：1.50）_15.设 （分数：3.00）_16.设 （分数：4.00）_设 （分数：3.99）(1).求 a；（分数：1.33）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵；（分数：1.33）_(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：1.33）_设矩阵 （分数：4.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_设矩阵 可逆， （分
6、数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：2.00）_(2).判断 A 可否对角化（分数：2.00）_设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 =- 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 - 2 -2 3 ，A 3 =2 1 -2 2 - 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).求|A * +2E|（分数：2.00）_17.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 0，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角
7、化 （分数：4.00）_设 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_(2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：4.00）(1).证明 ，A 线性无关；（分数：2.00）_(2).若 A 2 +A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1
8、+ 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).AB=BA；（分数：2.00）_(2).存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP，P 1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_(1).若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ；（分数：2.00）_(2).若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_18.设 （分数：4.00）_设方程组 （分数
9、：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_(2).求|A * +3E|（分数：2.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T （分数：4.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求 A（分数：2.00）_19.设 （分数：4.00）_20.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量 （分数：4.00）_设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3
10、，A n-1 = n ，A n =0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_21.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 设 = （分数：4.00）_22. （分数：4.00）_23.设 （分数：4.00）_考研数学一-447 答案解析(总分：101.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：7，分数：7.00)1.设 （分数：1.00）解析：-2 解析 因为|A * |=|A| 2 =4，且|A|0，所以|A|=2，又 AA * =|A|E=2E，所以 A -1
11、= ，从而 A -1 的特征值为 2.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， （分数：1.00）解析： 解析 P -1 (A -1 +2E)P=P -1 A -1 P+2E， 而 ，所以 3.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1 （分数：1.00）解析： 解析 令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，即 ，则有 ，因为 x 1 ，x 2
12、，x 3 只能全为零，所以 4.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则|A|= 1 （分数：1.00）解析：2 解析 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆， 由 得 所以 5.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1 （分数：1.00）解析：1 解析 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为 AX
13、=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1 =0， 2 =-1 为矩阵 A 的特征值， 1 =(a，-a，1) T ， 2 =(a，1，1-a) T 是它们对应的特征向量，所以有 6.设 （分数：1.00）解析：4 解析 由 7.设 （分数：1.00）解析：0 解析 由|E-A|=0 得 A 的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6E-A)=1，解得 a=0二、选择题(总题数：6，分数：6.00)8.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )
14、，则 P -1 AP 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 显然 3 2 ，- 3 ，2 1 也是特征值 1，2，-1 的特征向量，所以 9.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则_ A.A，B 相似于同一个对角矩阵 B.存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B C.r(A)=r(B) D.以上都不对（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 令10.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是_ A.若 A2=E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 C.若矩阵 A 的各行元素之和为-1，则-
15、1 一定是矩阵 A 的特征值 D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则-1 一定是 A 的特征值（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 若 r(E+A)n，则|E+A|=0，于是-1 为 A 的特征值； 若 A 的每行元素之和为-1，则 11.与矩阵 相似的矩阵为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项 D 中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选 D12.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是_ A矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值
16、的个数相等 B若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵 C若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 不对，如 A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1；B 不对，因为 AB 不一定保证 A，B可以对角化；C 不对，如 A 经过有限次行变换化为 经过行变换不能化为 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 ，于是13.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则_ A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B B.存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B C.A，B 与同一个对解矩阵相似 D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ
17、=B（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选 D三、解答题(总题数：23，分数：89.00)14.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r求|5E+A| （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 设 （分数：3.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P -1 AP=，其中 为对角阵；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 |E-A|=0 1 = 2 =1， 3 =-1 因为 A 相似于对角阵，所以 (2).A 100 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 P
18、-1 A 100 P=E 15.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E-A)=1， 而 所以 x=2，y=-2 由 得 1 = 2 =2， 3 =6 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 令 则有 16.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 = 4 =-1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 于是 a=0，b=0
19、 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 当 =-1 时，由(-E-A)X=0 得 令 因为 设 （分数：3.99）(1).求 a；（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以|A|=0，从而 a=-2 或 a=1 当 a=-2 时， 方程组有无穷多解； 当 a=1 时， ，r(A)-1 (2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵；（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 由|E-A|=(+3)(-3)=0 得 1 =0， 2 =3， 3 =-3 由(0E-A)X=0 得 1 =0 对应的线性无关的特征向量为 由(3E-A)X=0 得 2 =3
20、 对应的线性无关的特征向量为 由(-3E-A)X=0 得 3 =-3 对应的线性无关的特征向量为 令 (3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：1.33）_正确答案：()解析：解 令 则 设矩阵 （分数：4.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 |E-A|=( 2 -1) 2 -(A+2)+2A-1， 把 =3 代入上式得 a=2，于是 (2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由|E-A 2 |=0 得 A 2 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， 4 =9
21、 当 =1 时，由(E-A 2 )X=0 得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，-1，1) T ； 当 =9 时，由(9E-A 2 )X=0 得 4 =(0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， ，将 4 规范化得 令 设矩阵 可逆， （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A= 1 ，则有 |A|=12，设 A 的另外两个特征值为 2 ， 3 ，由 得
22、 2 = 3 =2 对应的 A * 的特征值为 (2).判断 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 =- 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 - 2 -2 3 ，A 3 =2 1 -2 2 - 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 (2).求|A * +2E|（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为|A|=-5，所以 A * 的特征值为 1，-5
23、，-5，故 A * +2E 的特征值为 3，-3，-3 从而|A * +2E|=2717.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 0，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B=(A * ) 2 -4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6 又因为|A * |=36=|A| 3-1 ，所以|A|=6 由 ，得 1 =3， 2 =2， 3
24、=1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A -1 的特征值为 设 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 A 1 =2 1 ，得 (2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 得 1 = 2 =2， 3 =-1 由(2E-A)X=0，得 由(-E-A)X=0，得 显然 A 可对角化，令 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：4.00）(1).证明 ，A 线性无关
25、；（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 A=0，显然 k 2 0，所以 (2).若 A 2 +A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 A 2 +A-6=0，得(A 2 +A-6E)=0， 因为 0，所以 r(A 2 +A-6E)2，从而|A 2 +A-6E|=0，即 |3E+A|2E-A|=0，则|3E+A|=0 或|2E-A|=0 若|3E+A|0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2E-A)=0，得 (2E-A)=0，即 A=2，矛盾；
26、若|2E-A|0，则 2E-A 可逆，由(2E-A)(3E+A)=0，得 (3E+A)=0，即 A=-3，矛盾，所以有|3E+A|=0 且|2E-A|=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值-3，2，故A 可对角化设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 + 2 + 3 0， 由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，得 A 的一
27、个特征值为 1 =2； 又由 A( 1 - 2 )=-( 1 - 2 )，A( 2 - 3 )=-( 2 - 3 )，得 A 的另一个特征值为 2 =-1因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 - 2 与 2 - 3 也线性无关，所以 2 =-1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，-1，-1(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 - 2 ， 2 - 3 为属于二重特征值-1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分
28、数：4.00）(1).AB=BA；（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 由 AB=A-B 得 A-B-AB+E=E，(E-B)(E+A)=E， 即 E-B 与 E+A 互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，故 AB=BA(2).存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP，P 1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为 A 有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )
29、， BA( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i = i B i ，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 B i = i i ； 若 B i =0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P i AP，P-1BP 同为对角阵(1).若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ；（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且|A|=|B| 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B， 而 A * =|A|A -1 ，B * =|B|B -1 ， 于是由 P -1 AP=B，得(P
