1、考研数学一-446 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：13.00)1.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是_（分数：1.00）A.1，2，3 线性无关B.1，2，3 线性相关C.1，2，4 线性无关D.1，2，4 线性相关2.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则_（分数：1.00）A.4 不能由 1，2，3 线性表
2、示B.4 能由 1，2，3 线性表示，但表示法不唯一C.4 能由 1，2，3 线性表示，且表示法唯一D.4 能否由 1，2，3 线性表示不能确定3.设 A=( 1 ， 2 ， m )，若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则_ Amn Bm=n C存在 m 阶可逆阵 P，使得 （分数：1.00）A.B.C.D.4.下列命题正确的是_（分数：1.00）A.若向量 1，2，n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A1，A2，An 线性无关B.若向量 1，2，n 线性相关，则 1，2，n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量
3、 1，2，n 线性无关，则 1+2，2+3，n+1 一定线性无关D.设 1，2，n 是”个 n 维向量且线性无关，A 为 7z 阶非零矩阵，且 A1，A2，An线性无关，则 A 一定可逆5.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：1.00）A.1，2，m 中任意两个向量不成比例B.1，2，m 是两两正交的非零向量组C.设 A=(1，2，m)，方程组 AX=0 只有零解D.1，2，m 中向量的个数小于向量的维数6.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是_ A.A 的行向量组一定线性无关 B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解 C.ATA 一定可逆 D.
4、ATA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n（分数：1.00）A.B.C.D.7.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有_（分数：1.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关8.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则_（分数：1.00）A.两个向量组等价B.r(1，2，m，1，2，s)=rC.若向量组 1，2，m 可
5、由向量组 1，2，s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价9.设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是_（分数：1.00）A.r(A)=sB.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n10.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是_ AAX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 B 1 + 2 为 AX=b 的解 C方程组 AX=0 的通解为 k( 1 - 2 ) DAXb 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + （分数：1.00）A.B
6、.C.D.11.设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题： (1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解 (3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是_（分数：1.00）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)12.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则_（分数：1.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解B.
7、当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解13.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是_（分数：1.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、解答题(总题数：30，分数：87.00)14.设 A 为 n 阶矩阵，证明： （分数：2.00）_15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_16.设 A
8、 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_17.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =|A| n-2 A （分数：3.00）_18.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n （分数：3.00）_19.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 的秩为 4 （分数：3.00）_20.设 1 ， 2 ，
9、 n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆 （分数：3.00）_21.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：3.00）_22.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关 （分数：3.00）_23.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示 （分数：3.
10、00）_24.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k-1 0，而 A k =0证明：向量组 ，A，A k-1 线性无关 （分数：3.00）_设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：3.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：1.50）_(2).设 （分数：1.50）_25.设向量组 1 ， 2 ， n-1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关 （分数：3.00）_26.设齐次线性方程组 （分数：3.00）_27.设 A 为三阶矩阵，A
11、 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 （分数：3.00）_28.a，b 取何值时，方程组 （分数：3.00）_29.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解 （分数：3.00）_设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1 = （分数：3.00）(1).求方程组()的基础解系；（分数：1.00）_(2).求方程组()BX=0 的基础解系；（分数：1.00）_(3).()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解（分数：1.00）_设 （分数：3.00）(1).求()，()的基础解系；
12、（分数：1.50）_(2).求()，()的公共解（分数：1.50）_30. （分数：3.00）_31.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：3.00）_32.设 写出 （分数：3.00）_33.设 A 是 mS 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与 ABX=0 是同解方程组 （分数：3.00）_设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n（分数：3.00）(1).证明 （分数：1.50）_(2).设 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r
13、 ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：1.50）_34.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0 （分数：3.00）_35.证明：r(AB)minr(A)，r(B) （分数：3.00）_36.证明：r(A)=r(A T A) （分数：3.00）_37.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r(A)=rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n-r+1 个 （分数：3.00）_38.讨论方程组 （分数：3.00）_39.设 （分数：3.00）_考研数学一-446 答案
14、解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：13.00)1.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是_（分数：1.00）A.1，2，3 线性无关B.1，2，3 线性相关 C.1，2，4 线性无关D.1，2，4 线性相关解析：解析 若 1 ， 2 ， 3 线性无关，因为 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，矛盾，故 1 ， 2 ， 3 线性相关，选 B2.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1
15、 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则_（分数：1.00）A.4 不能由 1，2，3 线性表示B.4 能由 1，2，3 线性表示，但表示法不唯一C.4 能由 1，2，3 线性表示，且表示法唯一 D.4 能否由 1，2，3 线性表示不能确定解析：解析 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，所以 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，又 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经过有限次初等行变换化为B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3
16、3 = 4 与 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 是同解方程组，因为方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，即 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，选C3.设 A=( 1 ， 2 ， m )，若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则_ Amn Bm=n C存在 m 阶可逆阵 P，使得 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2
17、 2 +k m m 0，所以向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选D4.下列命题正确的是_（分数：1.00）A.若向量 1，2，n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A1，A2，An 线性无关B.若向量 1，2，n 线性相关，则 1，2，n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1，2，n 线性无关，则 1+2，2+3，n+1 一定线性无关D.设 1，2，n 是”个 n 维向量且线性无关，A 为 7z 阶非零矩阵，且 A1，A2，An线性无关，则 A 一定可逆 解析：解析 (A 1 ，A 2 ，A n )=A( 1 ， 2
18、， n )，因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以矩阵( 1 ， 2 ， n )可逆，于是 r(A 1 ，A 2 ，A n )=r(A)，而A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选 D5.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：1.00）A.1，2，m 中任意两个向量不成比例B.1，2，m 是两两正交的非零向量组C.设 A=(1，2，m)，方程组 AX=0 只有零解 D.1，2，m 中向量的个数小于向量的维数解析：解析 向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，则 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故 A 不对；若
19、1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组，则 1 ， 2 ， m 一定线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不一定两两正交，B 不对； 1 ， 2 ， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，D 不对，选 C6.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是_ A.A 的行向量组一定线性无关 B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解 C.ATA 一定可逆 D.ATA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 A T A 可逆，则 r(A T A)=n，因为 r(A T A)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，
20、因为 r(A T A)=r(A)，所以 A T A 可逆，选 D7.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有_（分数：1.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A，B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 A8.设 1 ，
21、 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则_（分数：1.00）A.两个向量组等价B.r(1，2，m，1，2，s)=rC.若向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，s 线性表示，则两向量组等价 D.两向量组构成的矩阵等价解析：解析 不妨设向量组 1 ， 2 ， m 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， s 线性表示，则 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 线性表示，若 1 ， 2
22、 ， r 不可由 1 ， 2 ， r 线性表示，则 1 ， 2 ， s 也不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选 C9.设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是_（分数：1.00）A.r(A)=s B.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n解析：解析 设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组 BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选 A10.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵
23、 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是_ AAX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 B 1 + 2 为 AX=b 的解 C方程组 AX=0 的通解为 k( 1 - 2 ) DAXb 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为 A * 0，所以 r(A)=n-1， 2 - 1 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选 C11.设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题： (1)若 AX
24、=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解 (3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是_（分数：1.00）A.(1)(2)B.(1)(3) C.(2)(4)D.(3)(4)解析：解析 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 n-r(A)n-r(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选 B12.
25、设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则_（分数：1.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解 B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解解析：解析 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选 A13.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是_（分数：1.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A
26、为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：解析 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选 D二、解答题(总题数：30，分数：87.00)14.设 A 为 n 阶矩阵，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 AA * =A * A=|A|E 当 r(A)=n 时，|A|0，因为|A * |=|A| n-1 ，所以|A * |0，从而 r(A * )=n； 当 r(A)=n-1 时，由于 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零，所以存在一个
27、 M ij 0，进而 A ij 0，于是 A * O，故 r(A * )1，又因为|A|=0，所以 AA * =|A|E=O，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A * )n，而 r(A)=n-1，于是得 r(A * )1，故 r(A * )=1；当 r(A)n-1 时，由于 A 的所有 n-1 阶子式都为零，所以 A * =O，故 r(A * )=015.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例， 令 于是 令 = = 16.
28、设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)=n-1，所以 r(A * )=1，于是 其中 ，其中 17.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =|A| n-2 A （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 (A * ) * A * =|A * |E=|A| n-1 E，当 r(A)=n 时，r(A * )=n，A * =|A|A -1 ，则 (A * ) * A * =(A * ) * |A|A -1 =|A| n-1 E，故(A * ) * =|A| n-2
29、A当 r(A)=n-1 时，|A|=0，r(A * )=1，r(A * ) * =0，即(A * ) * =O，原式显然成立当 r(A)n-1 时，|A|=0，r(A * )=0，(A * ) * =O，原式也成立18.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 B=( 1 ， 2 ， s )，因为 AB=O，所以 B 的列向量组 1 ， 2 ， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n-r(A)，所以向量组 1 ， 2 ， s 的秩不超过 n-r
30、(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)n-r(A)，即 r(A)+r(B)n19.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 的秩为 4 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为向量组()的秩为 3，所以 1 ， 2 ， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示 因为向量组()的秩为 4，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性无关，即向量
31、 5 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，故向量 5 - 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 线性无关，于是向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 的秩为 420.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 B=( 1 ， 2 ， n )，因为 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以r(B)=n(A 1 ，A 2 ，A n )=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以
32、 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆21.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 A=( 1 ， 2 ， n )， r(A)=r(A T A)，向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(A T A)=n 或|A T A|0，从而 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 22.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 由 1 ， 2 ， t 线性无关 ， 1 ， 2 ， t 线性无关， 令 k+k 1 (+ 1 )+k 2 (+ 2 )+k t (+ t )=0， 即(k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， ， 1 ， 2 ，
