1、考研数学一-438 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：20，分数：20.00)1.设直线 （分数：1.00）2.点 M(3，-1，2)到直线 （分数：1.00）3.两异面直线 （分数：1.00）4.设点 M 1 (1，-1，-2)，M 2 (1，0，3)，M 3 (2，1，2)，则点 M3 到向量 （分数：1.00）5.直线 （分数：1.00）6.设直线 l 过点 M(1，-2，0)且与两条直线 （分数：1.00）7.设直线 （分数：1.00）8.曲线 （分数：1.00）9.设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y+1)
2、=1+2x+3y+o()，其中 （分数：1.00）10.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：1.00）11.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f“ x (1，2)=1，f“ y (1，2)=4，则 f(1，2)= 1 （分数：1.00）12.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：1.00）13.设(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2 （分数：1.00）14.函数 u=x 2 -2yz 在点(1，-
3、2，2)处的方向导数最大值为 1 （分数：1.00）15.设 f(u)连续，则 （分数：1.00）16.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：1.00）17.设 f(x)连续，则 （分数：1.00）18.设 a0， 而 D 表示整个平面，则 （分数：1.00）19.设 D 为 xOy 面，则 （分数：1.00）20.设连续函数 f(x)，f(0)=0， ， t ：x 2 +y 2 t 2 ，0z1，则 （分数：1.00）二、选择题(总题数：8，分数：16.00)21.平面 与 1 ：x-2y+z-2=0 和 2 ：x-2y+z-6=0 的
4、距离之比为 1:3，则平面 的方程为_（分数：2.00）A.x-2y+z=0B.x-2y+z-3=0C.x-2y+z=0 或 x-2y+z-3=0D.x-2y+z-4=022.设 （分数：2.00）A.L1/L3B.L1/L2C.L2L3D.L1L223.设 （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导24.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是_（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x
5、，y)一定可微D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微25.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上26.累次积分 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.设 D=(x，y)|0x，0y，则 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设 ，其
6、中 D：x 2 +y 2 a 2 ，则 a 为_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：7，分数：64.00)设曲面 （分数：9.00）(1).求曲面上与 平行的切平面芳程；（分数：4.50）_(2).求曲面与平面 的最短和最长距离（分数：4.50）_设直线 （分数：9.00）(1).求直线 L 在平面 上的投影直线 L 0 ，（分数：4.50）_(2).求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程（分数：4.50）_设直线 （分数：9.00）(1).证明：直线 L 1 ，L 2 为异面直线；（分数：4.50）_(2).求平行于 L 1 ，L 2 且与它们等距离
7、的平面（分数：4.50）_29.求过直线 （分数：9.00）_设直线 （分数：9.00）(1).求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面；（分数：4.50）_(2).求该旋转曲面介于 z=0 与 z=1 之间的几何体的体积（分数：4.50）_30.已知点 P(1，0，-1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x-2y+z=12 上求一点 M，使得|PM|+|MQ|最小 （分数：9.00）_31.设 A(-1，0，4)，：3x-4y+z+10=0， （分数：10.00）_考研数学一-438 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：20，分数：20.00)1.设直线 （
8、分数：1.00）解析：x-3y+z+2=0解析 所求平面的法向量为 n=1，0，-1)2，1，1)=1，-3，1)，又平面过点(1，2，3)，则所求平面方程为 ：(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0，即 ：x-3y+z+2=02.点 M(3，-1，2)到直线 （分数：1.00）解析： 解析 直线的方向向量为 s=1，1，-12，-1，1)=0，-3，-3)，显然直线经过点 M 0 (1，-1，1)， ，则点 M(3，-1，2)到直线 的距离为 3.两异面直线 （分数：1.00）解析：7 解析 s 1 =4，-3，1)，s 2 =-2，9，2)，n=4，-3，1)-2，9，2)=-15，-1
9、0，30，过直线 L 2 且与 L 1 平行的平面方程为 ：-15x-10(y+7)+30(z-2)=0，即 ：3x+2y-6z+26=0， 4.设点 M 1 (1，-1，-2)，M 2 (1，0，3)，M 3 (2，1，2)，则点 M3 到向量 （分数：1.00）解析： 解析 ，由点 M 1 ，M 2 ，M 3 构成的三角形的面积为 ，设所求距离为 d，又 ，所以有 ，故 5.直线 （分数：1.00）解析：x 2 +y 2 -z 2 =1 解析 设 M(x，y，z)为旋转曲面上的任意一点，该点所在的圆对应与直线 L上的点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，圆心为 T(0，0，z)，由 ，
10、得 因为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)L，所以 6.设直线 l 过点 M(1，-2，0)且与两条直线 （分数：1.00）解析： 解析 直线 l 1 的方向向量为 s 1 =2，0，11，-1，3=1，-5，-2，直线 l 2 的方向向量为 s 2 =1，-4，0，则直线 l 的方向向量为 s=s 1 s 2 =-8，-2，1，直线 l 的方程为 ，参数方程为 7.设直线 （分数：1.00）解析： 解析 过直线 的平面束为(x+2y-z-2)+k(2x-y+z-3)=0，即(1+2k)x+(2-k)y+(k-1)z-2-3k=0，由1+2k，2-k，k-11，1，1=0，得 k=-1，则投
11、影直线为 s=1，1，1)1，-3，2)=5，-1，-4)，对称式方程为 令 M 0 ，M 1 的坐标分别为(-1，0，1)，(1，2，1)， ，则 8.曲线 （分数：1.00）解析： 解析 由 消去 z 得 x 2 +y 2 =2x，所以曲线 在 xOy 平面上的投影曲线为 9.设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()，其中 （分数：1.00）解析：2x+3y-z-2=0 解析 由 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()得 f(x，y)在点(0，1)处可微，且 而曲面：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为 10.设 z=xf
12、(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：1.00）解析：f“+xf“+x y-1 g“ 1 +yx y-1 lnxg“ 1 +yx 2y-1 lnxg“ 11 +2y 2 x y-1 g“ 12 +2x y+1 lnxg“ 21 +4xyg“ 22 解析 由 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，得 =f(x+y)+xf“(x+y)+yx y-1 g“ 1 (x y ，x 2 +y 2 )+2xg“ 2 (x y ，x 2 +y 2 ) 11.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，
13、y)，且 f“ x (1，2)=1，f“ y (1，2)=4，则 f(1，2)= 1 （分数：1.00）解析：3 解析 f(tx，ty)=t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf“ x (tx，ty)+yf“ y (tx，ty)=3t 2 f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 f“ x (1，2)+2f“ y (1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=312.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：1.00）解析：y 2 +xy+1 解析 由 得 ，因为 f“ y (x，0)=x，所以 (x)=x，即 13.设(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为
14、某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2 （分数：1.00）解析：4 -2 解析 令 P(x，y)=ay-2xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+3， 因为(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分， 所以 14.函数 u=x 2 -2yz 在点(1，-2，2)处的方向导数最大值为 1 （分数：1.00）解析：6 解析 函数 u=x 2 -2yz 在点(1，-2，2)处的方向导数的最大值即为函数 u=x 2 -2yz 在点(1，-2，2)处的梯度的模，而 gradu| (1，-2，2) =2x，-2z，-2y| (2，-2，2) =2，-4，
15、4，方向导数的最大值为 15.设 f(u)连续，则 （分数：1.00）解析：-xf(x 2 -1) 解析 则 16.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：1.00）解析：8 解析 由 t0 时，t-ln(1+t)= ， 由积分中值定理 ，其中(，)D， 于是 17.设 f(x)连续，则 （分数：1.00）解析： 解析 原式 18.设 a0， 而 D 表示整个平面，则 （分数：1.00）解析：a 2 解析 由 得 19.设 D 为 xOy 面，则 （分数：1.00）解析： 解析 在 D 1 =(x，y)|-x+，0y1上，f(y)=y， 在
16、 D 2 ：0x+y1 上，f(x+y)=x+y， 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)|-yx1-y，0y1上，f(y)f(x+y)=y(x+y)， 所 20.设连续函数 f(x)，f(0)=0， ， t ：x 2 +y 2 t 2 ，0z1，则 （分数：1.00）解析：解析 二、选择题(总题数：8，分数：16.00)21.平面 与 1 ：x-2y+z-2=0 和 2 ：x-2y+z-6=0 的距离之比为 1:3，则平面 的方程为_（分数：2.00）A.x-2y+z=0B.x-2y+z-3=0C.x-2y+z=0 或 x-2y+z-3=0 D.x-2y+z-4=0解析：解析 设所求平
17、面为 ：x-2y+z+D=0，在平面 ：x-2y+z+D=0 上取一点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，22.设 （分数：2.00）A.L1/L3B.L1/L2C.L2L3D.L1L2 解析：解析 三条直线的方向向量为 s 1 =-2，-5，3，s 2 =3，3，7，s 3 =1，3，-12，1，-1=-2，-1，-5， 因为 s 1 s 2 =0，所以 L 1 L 2 ，选 D23.设 （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析 因为 ，所以 f(x，y)在(0，0)处连续； 因为 所以 f“ x (0，0)=0，根据对称性，f“
18、y (0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导； 由 得 f(x，y)在(0，0)处可微； 当(x，y)(0，0)时， ， 则 因为 24.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是_（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微 D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微解析：解析 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y
19、)偏导数不连续不一定不可微，选 C25.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 ，因为 M 0 为最大值点，所以AC-B 2 非负，而在 D 内有 26.累次积分 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分
20、所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y27.设 D=(x，y)|0x，0y，则 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 根据对称性，令 D 1 =(x，y)|0x，0yx， 28.设 ，其中 D：x 2 +y 2 a 2 ，则 a 为_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 三、解答题(总题数：7，分数：64.00)设曲面 （分数：9.00）(1).求曲面上与 平行的切平面芳程；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 设切点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，令 ， 则切平面的法向量为 ， 因为切平面与平面
21、 平行，所以 ， 得 x 0 =2t，y 0 =t，z 0 =2t，将其代入曲面方程，得 ，所以切点为 及 ，平行于平面 的切平面为 (2).求曲面与平面 的最短和最长距离（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 则曲面与平面 的最短和最长距离分别为 设直线 （分数：9.00）(1).求直线 L 在平面 上的投影直线 L 0 ，（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 方法一 令 ，即 x=1+t，y=t，z=1-t，将 x=1+t，y=t，z=1-t 代入平面 x-y+2z-1=0，解得 t=1，从而直线 L 与平面 的交点为 M 1 (2，1，0) 过直线 L 且垂直于平面 的平面法向
22、量为 s 1 =1，1，-11，-1，2=1，-3，-2，平面方程为 1 ：1(x-2)-3(y-1)-2z=0，即 1 ：x-3y-2z+1=0 从而直线 L 在平面 上的投影直线一般式方程为 方法二 直线 L 转化成一般式方程为 过直线 L 的平面束为(x-y-1)+(y+z-1)=0，即 x+(-1)y+z-(+1)=0 当1，-1，-11，-1，2，即 =-2 时，过直线 L 的平面与平面 垂直，把 =-2 代入平面束方程，则与 垂直的平面方程为 1 ：x-3y-2z+1=0，直线 L 在平面 上的投影直线为 方法三 设过直线 L 且与平面 垂直的平面方程为 1 ：A(x-1)+By+
23、C(z-1)=0，则有A，B，C1，-1，2，A，B，C1，1，-1)，即 解得 ，平面 即 1：x-3y-2z+1=0从而 L 在平面 的投影直线为 (2).求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 设 M(x，y，z)为所求旋转曲面上任意一点，过该点作垂直于 y 轴的平面，该平面与相交于一个圆，且该平面与直线 L 及 y 轴的交点分别为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )及 T(0，y，0)，由|M 0 T|=|MT|，得 ，注意到 M 0 (x 0 ，y，z 0 )L，即 ，于是 设直线 （分数：9.00）(1).证明：直线 L 1 ，L
24、2 为异面直线；（分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 M 1 (1，0，-1)L 1 ，M 2 (-2，1，2)L 2 ， ，s 1 =-1，2，1，s 2 =0，1，-2，s 1 s 2 =-5，-2，-1 因为(s 1 s 2 ) (2).求平行于 L 1 ，L 2 且与它们等距离的平面（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 与 L 1 ，L 2 同时平行的平面的法向量为 n=s 1 s 2 =-5，-2，-1，设与 L 1 ，L 2 等距离的平面方程为 ：5x+2y+z+D=0， 则有 29.求过直线 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 过直线 的平面束方程为 (3x
25、-2y+2)+(x-2y-z+6)=0，或 ：(3+)x-2(1+)y-x+2+6=0，点(1，2，1)到平面 的距离为 设直线 （分数：9.00）(1).求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 记直线 L 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面为，设 M(x，y，z)为曲面上的一点，过点 M 作与 z 轴垂直的平面，交直线 L 及 z 轴于点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)及 T(0，0，z)， 由|M 0 T|=|MT|得 ， 注意到 M 0 L，则 即 将 (2).求该旋转曲面介于 z=0 与 z=1 之间的几何体的体积（分数：4.50）_正确答案：()
26、解析：解 方法一 对任意的 z0，1，截口面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(5z 2 +8z+5)， 则 方法二 令 则 当 z=0 时，t=0；当 z=1 时，t=1 设 M(1+2t，2+t，t)为曲面上任意一点，则截口面积为 S(t)=r 2 =(1+2t) 2 +(2+t) 2 =(5t 2 +8t+5)， 则体积为 30.已知点 P(1，0，-1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x-2y+z=12 上求一点 M，使得|PM|+|MQ|最小 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 把点 P 及点 Q 的坐标代入 x-2y+z-12 得 1-1-12=-12 及 3-2+2
27、-12=-9，则点 P 及 Q 位于平面 的同侧过点 P 且垂直于平面 的直线方程为 令 ，得 x=1+t，y=-2t，z=t-1， 把 x=1+t，y=-2t，z=t-1 代入平面 得 t=2，所以直线 L 1 与平面 的交点坐标为 T(3，-4，1)令点P 关于平面 的对称点为 P“(x 0 ，y 0 ，z 0 )， 则有 解得对称点的坐标为 P“(5，-8，3) ，过点 P“及点 Q 的直线为 ， 令 ，得 x=3+2t，y=1-9t，z=2+t， 把 x=3+2t，y=1-9t，z=2+t 代入平面 得 ， 所求点 M 的坐标为 31.设 A(-1，0，4)，：3x-4y+z+10=0， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 过 A(-1，0，4)且与平面 ：3x-4y+z+10=0 平行的平面方程为 1 ：3(x+1)-4y+(z-4)=0，即 1 ：3x-4y+z-1=0 令 则 代入 1 ：3x-4y+z-1=0，得 t=16， 则直线 L 与 1 的交点为 M 0 (15，19，32)，所求直线的方向向量为 s=16，19，28， 所求直线为
