1、考研数学一-437 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.不能判断连续性的点2.曲线 （分数：4.00）A.1条B.2条C.3条D.4条3.设 则f(x)dx=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设幂级数 在 x=-4处条件收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定5.设 A为三阶矩阵，令 将 A的第一、二两行对调，再将 A的第三列是 2倍加到第二列成矩阵 B，则B等于_ AP 1 AP 2 B CP 2
2、AP 1 D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A为 3阶矩阵，B=( 1 ， 2 ， 3 )， 1 为 AX=0的解， 2 不是 AX=0的解，又 r(AB)minr(a)，r(B)，则 r(AB)=_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.37.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机变量， 是样本均值，记 则服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=-1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 = 由切比雪夫
3、不等式得 P|X+Y-1|10_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)为方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 的满足初始条件 的解，则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）12.微分方程 yy“=y 2 y“+y“ 2 满足 y(0)=1，y“(0)=2 的特解为 1 （分数：4.00）13.设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1 =-1， 2 =1为矩阵 A的两个特征值，又|B -1 |= 则 （分数：4.00）14.设总体 XN(0，1)，X 1
4、，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体的简单随机样本，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u n (x)满足 u“ n (x)=u n (x)+x n-1 e x (n=1，2，)，且 求级数 （分数：9.00）_16.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0试证明存在 (a，b)使 （分数：9.00）_17.设 L： （分数：11.00）_18.设 u=f(x,y)满足 du=y 2 dx+(2xy+1)dy，且 f(0，0)=1，计算 其中是 （分数：10.00）_飞机以匀速 v
5、沿 y轴正向飞行，当飞行到原点时被发现，随即从 x轴上点(x 0 ，y 0 )处发射导弹向飞机击去，其中 x 0 0若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2v（分数：11.00）(1).求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：5.50）_(2).求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T（分数：5.50）_设 为矩阵 （分数：10.00）(1).求常数 a，b 的值及 1 所对应的特征值；（分数：5.00）_(2).矩阵 A可否相似对角化?若 A可对角化，对 A进行相似对角化；若 A不可对角化，说明理由（分数：5.00）_19.当常数 a取何值时，方程组 （分数
6、：12.00）_设随机变量 X在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 Y的条件密度函数为 （分数：11.01）(1).求 Y的密度函数；（分数：3.67）_(2).求 X，Y 的相关系数；（分数：3.67）_(3).令 Z=X-Y，求 Z的密度函数（分数：3.67）_设总体 X的密度函数为 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，令 （分数：11.00）(1).求 Y的分布函数；（分数：5.50）_(2).讨论 （分数：5.50）_考研数学一-437 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （
7、分数：4.00）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.不能判断连续性的点解析：解析 当 x0 时， 当 x=0时， 当 x0 时，f(x)=x因为 f(0+0)=1，2.曲线 （分数：4.00）A.1条B.2条C.3条 D.4条解析：解析 因为 所以曲线没有水平渐近线；由 得曲线有两条铅直渐近线；3.设 则f(x)dx=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 x-1 时，f(x)=x+C 1 ； 当 x1 时，f(x)=x+C 2 ； 当-1x1 时， 由 C 1 -1=C- 及 C 2 +1=C+ 得 C 1 =C+ C 2 =C- 4.设幂级数 在
8、 x=-4处条件收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定解析：解析 因为 在 x=-4处条件收敛，所以收敛半径为 R= 当 x=-3时，因为|-3+1|=2R=3，所以当 x=-3时，级数 5.设 A为三阶矩阵，令 将 A的第一、二两行对调，再将 A的第三列是 2倍加到第二列成矩阵 B，则B等于_ AP 1 AP 2 B CP 2 AP 1 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然 注意到 即 6.设 A为 3阶矩阵，B=( 1 ， 2 ， 3 )， 1 为 AX=0的解， 2 不是 AX=0的解，又 r(AB)minr(a)，r(B)
9、，则 r(AB)=_（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 因为 2 不是 AX=0的解，所以 AB0，从而 r(AB)1； 显然 1 ， 2 不成比例，则 r(B)2， 由 r(AB)minr(A)，r(B)得 r(AB)r(A)， 从而 B不可逆，于是 r(B)3，故 r(B)=2 再由 r(AB)r(B)得 r(AB)=1，选 B7.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机变量， 是样本均值，记 则服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 相互独立， 则 8.设
10、X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=-1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 = 由切比雪夫不等式得 P|X+Y-1|10_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1， D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13， 则 P|X+Y-1|10=P|Z-E(Z)|10 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)为方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 的满足初始条件 的解，则 （分数：4.00）解析：1 解析 由 得 y(0)=0，
11、y“(0)=1 因为 y=y(x)满足 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x ，所以 y“(0)=2， 于是 10. （分数：4.00）解析：2ln2解析 11.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）解析： 解析 由 取 x=0代入得 解得 y=1 两边对 x求导得 两边再对 x求导得 从而 12.微分方程 yy“=y 2 y“+y“ 2 满足 y(0)=1，y“(0)=2 的特解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 令 y“=p， 则有 因为 y0，所以 即 解得 p=y 2 +C 1 y，由 y(0)=1，y“(0)=2，得 C 1 =1，即 得 再由 y(0)=1，得 C
12、 2 =-ln2,于是所求的解为 13.设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1 =-1， 2 =1为矩阵 A的两个特征值，又|B -1 |= 则 （分数：4.00）解析： 解析 因为|B -1 |= 所以|B|=3，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A的另一个特征值为 3 ，由|A|=|B|= 1 2 3 ，得 3 =-3，因为 A-3E的特征值为-4，-2，-6，所以|A-3E|=-48 因为 所以 14.设总体 XN(0，1)，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体的简单随机样本，则 （分数：4.00）解析：t(1) 解析 由 X 1 +X 2 N(0，2)得 由 X
13、3 +X 4 N(0，2)得 且 独立，由 t分布的定义得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u n (x)满足 u“ n (x)=u n (x)+x n-1 e x (n=1，2，)，且 求级数 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 由 u“ n (x)=u n (x)+x n-1 e x ，即 u“ n (x)-u n (x)=x n-1 e x 得 由 得 C=0，于是 故 16.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0试证明存在 (a，b)使 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明 令
14、 显然函数 (x)在区间a，b上连续，函数 (x)在区间(a，b)内可导，且 另外，又有 (a)=(b)=0 所以根据罗尔定理可知存在 (a，b)使 “()=0，即 由于 g(b)=0及 g“(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0，从而就有 于是有 17.设 L： （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 首先求切线与坐标轴围成的面积 设 M(x，y)L，过点 M的 L的切线方程为 令 Y=0，得 切线与 x轴的交点为 令 X=0，得 切线与 y轴交点为 切线与椭圆围成的图形面积为 其次求最优解 方法一： 由 得 =-1(=1 舍去)， 代入，得 再代入，得 于是最小面积为 方法二
15、：由，得 x=-2y， 两式相除，得 代入，得 于是最小面积为 方法三：令 L： 当 时所围成的面积最小，且最小值为 18.设 u=f(x,y)满足 du=y 2 dx+(2xy+1)dy，且 f(0，0)=1，计算 其中是 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 du=y 2 dx+(2xy+1)dy=y 2 dx+2xydy+dy=d(xy 2 +y)得 f(x，y)=xy 2 +y+C， 由 f(0，0)=1 得 C=1，从而 f(x，y)=xy 2 +y+1 飞机以匀速 v沿 y轴正向飞行，当飞行到原点时被发现，随即从 x轴上点(x 0 ，y 0 )处发射导弹向飞机击去，其中
16、 x 0 0若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2v（分数：11.00）(1).求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设导弹在 t时刻的坐标为 A(x(t)，y(t)，其运行轨迹方程为 y=y(x)在某时刻 t0，飞机的位置为 B(0，vt)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在 t时刻，导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB的斜率相等，于是有 两边对 x求导数，得 因为导弹的速度大小为 2v，所以 把上式代入(*)，可得 (2).求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令
17、 则上式可变为 解得导弹运行的轨迹方程为 当导弹击中飞机时 x=0，代入上式，得 令 vT-y(0)=0 设 为矩阵 （分数：10.00）(1).求常数 a，b 的值及 1 所对应的特征值；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 根据特征值、特征向量的定义，有 A 1 = 1 ，即 ，于是有 解得a=1，b=1，=3，则 (2).矩阵 A可否相似对角化?若 A可对角化，对 A进行相似对角化；若 A不可对角化，说明理由（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由|E-A|=0，得 1 = 2 =2， 3 =3 19.当常数 a取何值时，方程组 （分数：12.00）_正确答案：()解析：解
18、若 a=1，则 原方程组的通解为 X=k(-1，0，1) T +(2，-1，0) T (k为任意常数)； 若 a1，则 当 a=2时，方程组无解； 当 a=-2时， 设随机变量 X在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 Y的条件密度函数为 （分数：11.01）(1).求 Y的密度函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 随机变量 X的边缘密度函数为 则(X，Y)的联合密度函数为 则 Y的边缘密度函数为 当 y0 或 y4 时，f Y (y)=0；当 0y1 时， 当 1y4 时， 所以 (2).求 X，Y 的相关系数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 D
19、(X)=E(X 2 )-E(X) 2 = D(Y)=E(Y 2 )-E(Y) 2 = 则 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 于是 (3).令 Z=X-Y，求 Z的密度函数（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 z0 时，F Z (z)=0；当 0z1 时， 当 1z4 时， 当 z4 时，F Z (z)=1所以 设总体 X的密度函数为 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，令 （分数：11.00）(1).求 Y的分布函数；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 总体 X的分布函数为 Y的密度函数为 (2).讨论 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 所以
