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    【考研类试卷】考研数学一-437及答案解析.doc

    • 资源ID:1393763       资源大小:310KB        全文页数:12页
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    【考研类试卷】考研数学一-437及答案解析.doc

    1、考研数学一-437 及答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 (分数:4.00)A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.不能判断连续性的点2.曲线 (分数:4.00)A.1条B.2条C.3条D.4条3.设 则f(x)dx=_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.4.设幂级数 在 x=-4处条件收敛,则级数 (分数:4.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定5.设 A为三阶矩阵,令 将 A的第一、二两行对调,再将 A的第三列是 2倍加到第二列成矩阵 B,则B等于_ AP 1 AP 2 B CP 2

    2、AP 1 D (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A为 3阶矩阵,B=( 1 , 2 , 3 ), 1 为 AX=0的解, 2 不是 AX=0的解,又 r(AB)minr(a),r(B),则 r(AB)=_(分数:4.00)A.0B.1C.2D.37.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X n 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机变量, 是样本均值,记 则服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量为_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.8.设 X,Y 为两个随机变量,其中 E(X)=2,E(Y)=-1,D(X)=9,D(Y)=16,且 X,Y 的相关系数为 = 由切比雪夫

    3、不等式得 P|X+Y-1|10_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 y=y(x)为方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 的满足初始条件 的解,则 (分数:4.00)10. (分数:4.00)11.设 y=y(x)由 确定,则 (分数:4.00)12.微分方程 yy“=y 2 y“+y“ 2 满足 y(0)=1,y“(0)=2 的特解为 1 (分数:4.00)13.设 A,B 为三阶矩阵,AB, 1 =-1, 2 =1为矩阵 A的两个特征值,又|B -1 |= 则 (分数:4.00)14.设总体 XN(0,1),X 1

    4、,X 2 ,X 3 ,X 4 为来自总体的简单随机样本,则 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 u n (x)满足 u“ n (x)=u n (x)+x n-1 e x (n=1,2,),且 求级数 (分数:9.00)_16.设函数 f(x)和 g(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,且 f(a)=g(b)=0,g“(x)0试证明存在 (a,b)使 (分数:9.00)_17.设 L: (分数:11.00)_18.设 u=f(x,y)满足 du=y 2 dx+(2xy+1)dy,且 f(0,0)=1,计算 其中是 (分数:10.00)_飞机以匀速 v

    5、沿 y轴正向飞行,当飞行到原点时被发现,随即从 x轴上点(x 0 ,y 0 )处发射导弹向飞机击去,其中 x 0 0若导弹的速度方向始终指向飞机,其速度大小为常数 2v(分数:11.00)(1).求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件;(分数:5.50)_(2).求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T(分数:5.50)_设 为矩阵 (分数:10.00)(1).求常数 a,b 的值及 1 所对应的特征值;(分数:5.00)_(2).矩阵 A可否相似对角化?若 A可对角化,对 A进行相似对角化;若 A不可对角化,说明理由(分数:5.00)_19.当常数 a取何值时,方程组 (分数

    6、:12.00)_设随机变量 X在(1,4)上服从均匀分布,当 X=x(1x4)时,随机变量 Y的条件密度函数为 (分数:11.01)(1).求 Y的密度函数;(分数:3.67)_(2).求 X,Y 的相关系数;(分数:3.67)_(3).令 Z=X-Y,求 Z的密度函数(分数:3.67)_设总体 X的密度函数为 X 1 ,X 2 ,X n 为来自总体 X的简单随机样本,令 (分数:11.00)(1).求 Y的分布函数;(分数:5.50)_(2).讨论 (分数:5.50)_考研数学一-437 答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 (

    7、分数:4.00)A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.不能判断连续性的点解析:解析 当 x0 时, 当 x=0时, 当 x0 时,f(x)=x因为 f(0+0)=1,2.曲线 (分数:4.00)A.1条B.2条C.3条 D.4条解析:解析 因为 所以曲线没有水平渐近线;由 得曲线有两条铅直渐近线;3.设 则f(x)dx=_ A B C D (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 当 x-1 时,f(x)=x+C 1 ; 当 x1 时,f(x)=x+C 2 ; 当-1x1 时, 由 C 1 -1=C- 及 C 2 +1=C+ 得 C 1 =C+ C 2 =C- 4.设幂级数 在

    8、 x=-4处条件收敛,则级数 (分数:4.00)A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定解析:解析 因为 在 x=-4处条件收敛,所以收敛半径为 R= 当 x=-3时,因为|-3+1|=2R=3,所以当 x=-3时,级数 5.设 A为三阶矩阵,令 将 A的第一、二两行对调,再将 A的第三列是 2倍加到第二列成矩阵 B,则B等于_ AP 1 AP 2 B CP 2 AP 1 D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 显然 注意到 即 6.设 A为 3阶矩阵,B=( 1 , 2 , 3 ), 1 为 AX=0的解, 2 不是 AX=0的解,又 r(AB)minr(a),r(B)

    9、,则 r(AB)=_(分数:4.00)A.0B.1 C.2D.3解析:解析 因为 2 不是 AX=0的解,所以 AB0,从而 r(AB)1; 显然 1 , 2 不成比例,则 r(B)2, 由 r(AB)minr(A),r(B)得 r(AB)r(A), 从而 B不可逆,于是 r(B)3,故 r(B)=2 再由 r(AB)r(B)得 r(AB)=1,选 B7.设 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X n 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机变量, 是样本均值,记 则服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量为_ A B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 相互独立, 则 8.设

    10、X,Y 为两个随机变量,其中 E(X)=2,E(Y)=-1,D(X)=9,D(Y)=16,且 X,Y 的相关系数为 = 由切比雪夫不等式得 P|X+Y-1|10_ A B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 令 Z=X+Y,则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1, D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=13, 则 P|X+Y-1|10=P|Z-E(Z)|10 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 y=y(x)为方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 的满足初始条件 的解,则 (分数:4.00)解析:1 解析 由 得 y(0)=0,

    11、y“(0)=1 因为 y=y(x)满足 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x ,所以 y“(0)=2, 于是 10. (分数:4.00)解析:2ln2解析 11.设 y=y(x)由 确定,则 (分数:4.00)解析: 解析 由 取 x=0代入得 解得 y=1 两边对 x求导得 两边再对 x求导得 从而 12.微分方程 yy“=y 2 y“+y“ 2 满足 y(0)=1,y“(0)=2 的特解为 1 (分数:4.00)解析: 解析 令 y“=p, 则有 因为 y0,所以 即 解得 p=y 2 +C 1 y,由 y(0)=1,y“(0)=2,得 C 1 =1,即 得 再由 y(0)=1,得 C

    12、 2 =-ln2,于是所求的解为 13.设 A,B 为三阶矩阵,AB, 1 =-1, 2 =1为矩阵 A的两个特征值,又|B -1 |= 则 (分数:4.00)解析: 解析 因为|B -1 |= 所以|B|=3,又因为 AB,所以 A,B 有相同的特征值,设 A的另一个特征值为 3 ,由|A|=|B|= 1 2 3 ,得 3 =-3,因为 A-3E的特征值为-4,-2,-6,所以|A-3E|=-48 因为 所以 14.设总体 XN(0,1),X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 为来自总体的简单随机样本,则 (分数:4.00)解析:t(1) 解析 由 X 1 +X 2 N(0,2)得 由 X

    13、3 +X 4 N(0,2)得 且 独立,由 t分布的定义得 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 u n (x)满足 u“ n (x)=u n (x)+x n-1 e x (n=1,2,),且 求级数 (分数:9.00)_正确答案:()解析:解 由 u“ n (x)=u n (x)+x n-1 e x ,即 u“ n (x)-u n (x)=x n-1 e x 得 由 得 C=0,于是 故 16.设函数 f(x)和 g(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,且 f(a)=g(b)=0,g“(x)0试证明存在 (a,b)使 (分数:9.00)_正确答案:()解析:证明 令

    14、 显然函数 (x)在区间a,b上连续,函数 (x)在区间(a,b)内可导,且 另外,又有 (a)=(b)=0 所以根据罗尔定理可知存在 (a,b)使 “()=0,即 由于 g(b)=0及 g“(x)0,所以区间(a,b)内必有 g(x)0,从而就有 于是有 17.设 L: (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 首先求切线与坐标轴围成的面积 设 M(x,y)L,过点 M的 L的切线方程为 令 Y=0,得 切线与 x轴的交点为 令 X=0,得 切线与 y轴交点为 切线与椭圆围成的图形面积为 其次求最优解 方法一: 由 得 =-1(=1 舍去), 代入,得 再代入,得 于是最小面积为 方法二

    15、:由,得 x=-2y, 两式相除,得 代入,得 于是最小面积为 方法三:令 L: 当 时所围成的面积最小,且最小值为 18.设 u=f(x,y)满足 du=y 2 dx+(2xy+1)dy,且 f(0,0)=1,计算 其中是 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 由 du=y 2 dx+(2xy+1)dy=y 2 dx+2xydy+dy=d(xy 2 +y)得 f(x,y)=xy 2 +y+C, 由 f(0,0)=1 得 C=1,从而 f(x,y)=xy 2 +y+1 飞机以匀速 v沿 y轴正向飞行,当飞行到原点时被发现,随即从 x轴上点(x 0 ,y 0 )处发射导弹向飞机击去,其中

    16、 x 0 0若导弹的速度方向始终指向飞机,其速度大小为常数 2v(分数:11.00)(1).求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 设导弹在 t时刻的坐标为 A(x(t),y(t),其运行轨迹方程为 y=y(x)在某时刻 t0,飞机的位置为 B(0,vt),因为导弹的速度方向始终指向飞机,从而在 t时刻,导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB的斜率相等,于是有 两边对 x求导数,得 因为导弹的速度大小为 2v,所以 把上式代入(*),可得 (2).求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 令

    17、 则上式可变为 解得导弹运行的轨迹方程为 当导弹击中飞机时 x=0,代入上式,得 令 vT-y(0)=0 设 为矩阵 (分数:10.00)(1).求常数 a,b 的值及 1 所对应的特征值;(分数:5.00)_正确答案:()解析:解 根据特征值、特征向量的定义,有 A 1 = 1 ,即 ,于是有 解得a=1,b=1,=3,则 (2).矩阵 A可否相似对角化?若 A可对角化,对 A进行相似对角化;若 A不可对角化,说明理由(分数:5.00)_正确答案:()解析:解 由|E-A|=0,得 1 = 2 =2, 3 =3 19.当常数 a取何值时,方程组 (分数:12.00)_正确答案:()解析:解

    18、若 a=1,则 原方程组的通解为 X=k(-1,0,1) T +(2,-1,0) T (k为任意常数); 若 a1,则 当 a=2时,方程组无解; 当 a=-2时, 设随机变量 X在(1,4)上服从均匀分布,当 X=x(1x4)时,随机变量 Y的条件密度函数为 (分数:11.01)(1).求 Y的密度函数;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 随机变量 X的边缘密度函数为 则(X,Y)的联合密度函数为 则 Y的边缘密度函数为 当 y0 或 y4 时,f Y (y)=0;当 0y1 时, 当 1y4 时, 所以 (2).求 X,Y 的相关系数;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 D

    19、(X)=E(X 2 )-E(X) 2 = D(Y)=E(Y 2 )-E(Y) 2 = 则 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 于是 (3).令 Z=X-Y,求 Z的密度函数(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 当 z0 时,F Z (z)=0;当 0z1 时, 当 1z4 时, 当 z4 时,F Z (z)=1所以 设总体 X的密度函数为 X 1 ,X 2 ,X n 为来自总体 X的简单随机样本,令 (分数:11.00)(1).求 Y的分布函数;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 总体 X的分布函数为 Y的密度函数为 (2).讨论 (分数:5.50)_正确答案:()解析:解 因为 所以


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