1、考研数学一-437 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：35，分数：100.00)1. （分数：2.00）_2.设 f(x)连续， ，求 （分数：2.00）_设 （分数：2.00）(1).证明：当 n x(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：1.00）_(2).求 （分数：1.00）_3.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_4.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2（分数：3.0
2、0）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 （分数：1.50）_(2).求 （分数：1.50）_5.设 ，证明： （分数：3.00）_6.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(-，+)有|f(x)+f“(x)|1证明：|f(x)|1 （分数：3.00）_7.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|x-y|证明： （分数：3.00）_8.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：3.00）_9.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： （分数：3.00）_10.设 f(x)在(0，+)内
3、连续且单调减少证明： （分数：3.00）_11.设 f(a)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， （分数：3.00）_12.设 f“(x)在0，1上连续且|f“(x)|M证明： （分数：3.00）_13.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 证明： （分数：3.00）_14.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1证明： （分数：3.00）_15.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： （分数：3.00）_16.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： （分数：3.00）_17.设 f(x)在a，b上连续可导，证
4、明： （分数：3.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： （分数：3.00）_19.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：3.00）_20.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式： （分数：3.00）_设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：3.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：1.50）_(2).求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：1.50）_21.求曲线 y
5、=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：3.00）_22.求椭圆 与椭圆 （分数：3.00）_设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：3.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：1.50）_(2).求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：1.50）_23.计算 （分数：3.00）_24.计算 （分数：3.00）_25.计算定积分 （分数：3.00）_26.证明： （分数：3.00）_27.证明：当 x0 时， 的最大值不超过 （分数：3.00）_28.设 f(x)在a
6、，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1-t)x 2 )tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ) 证明： （分数：3.00）_29.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 证明： （分数：3.00）_30.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：3.00）_31.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3m/s，在提升过程中，污泥以 20N/s 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从
7、井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：3.00）_考研数学一-437 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：35，分数：100.00)1. （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 ，当 0x1 时， ，当 1x2 时， ，则2.设 f(x)连续， ，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ， 两边求导得 设 （分数：2.00）(1).证明：当 n x(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 当 nx(n+1) 时， ， (2).求 （分数：1.00）_正确答案：()解析：解 由
8、 nx(n+1)，得 从而 ，根据夹逼定理得 3.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T， 因为 f(x)0，所以 ， 即 ，由 ，得 注意到当 x+时，n+，且 由夹逼定理得 4.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又(0)=0， ，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0，而 ，所以 设 f(x)
9、在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2（分数：3.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 ，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)-F(0)=F“(x)x，即 (2).求 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 令 ，由 ，得 于是 5.设 ，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 同理 因为 tan n x，tan n+2 在 上连续，tan n xtan n+2 x，且 tan n x，tan n+2 x 不恒等，所以 ，即 a n a n+
10、2 ， 于是 ，即 ，同理可证 6.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(-，+)有|f(x)+f“(x)|1证明：|f(x)|1 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e x f(x)，则 “(x)=e x f(x)+f“(x)， 由|f(x)+f“(x)|1 得|“(x)|e x ，又由 f(x)有界得 (-)=0，则 (x)=(x)-(-)= ，两边取绝对值得 7.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|x-y|证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 ， 所以 8.设 f(x)在0，1上连
11、续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 0mf(x)M，所以 f(x)-m0，f(x)-M0，从而 ，于是 ，两边积分得 因为 所以 ，于是 9.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 ， 因为 f(x)在a，b上单调增加，所以 ， 而 故 方法二 令 ，显然 (a)=0 由 得 (b)(a)=0，所以 10.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 ， 当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 ， 同理 ，相加
12、得 ； 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 ， 同理 ， 相加得 ，于是 11.设 f(a)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 其中 1 0，k， 2 k，1因为 0k1 且 f(x)单调减少， 所以 ，故 方法二 ，当 x0，1时，因为 0k1，所以 kxx， 又因为 f(x)单调减少，所以 f(kx)f(x)，两边积分得 ， 故 ，即 12.设 f“(x)在0，1上连续且|f“(x)|M证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 同理 于是 13.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令
13、 证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f“()x，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以|f(x)|=|f“()x|Mx，x0，a， 从而 14.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 ， 得 ，即 15.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 f(a)=0，得 f(x)-f(a)=f(x)= ，由柯西不等式得 积分得 16.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0
14、证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 且 f(a)=f(b)=0，所以 两式相加得 17.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在a，b上连续，所以|f(x)|在a，b上连续，令 根据积分中值定理， ，其中 a，b 由积分基本定理， ，取绝对值得 ，即 18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式，得 ，其中 介于 与 t 之间，从而 ，积分得19.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：3.00）_正确答案：(
15、)解析：证明 由泰勒公式得 ，其中 介于 x 与 之间，因为 f“(x)0，所以有 ，两边积分得 令 ，且 (a)=0， 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调不减，于是 “(x)0(axb)， 由 得 (b)0，于是 故 20.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 g(t)=lnt(t0)， ，再令 ，则有 g(t)g(x 0 )+g“(x 0 )(t-x 0 ) gf(x)g(x 0 )+g“(x 0 )f(x)-x 0 ，两边积分，得 设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1
16、所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：3.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) 当 0a1 时， ， 令 得 ，因为 ，所以 时，S 1 +S 2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时， ， 因为 ，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S 1 +S 2 取最小值，而 S(0)= ，因为 ，所以当 (2).求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 旋转体的体积为21.求曲线
17、 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积 当 x0 时， 对x，x+dx 0，1， dV 1 =3 2 -3-(x 2 +2) 2 dx=(2x 2 -x 4 +8)dx， dV 2 =3 2 -3-(4-x 2 ) 2 dx=(2x 2 -x 4 +8)dx， 22.求椭圆 与椭圆 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积 令 则 的极坐标形式为 的极坐标形式
18、为 令 则第一象限围成的面积为 而 所以 ，所求面积为 设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：3.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 ，直线 AB 的方程为 设对任意的 M(x，y，z)S，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，T(0，0，z)，由|MT|=|M 0 T|，得 ， 因为 M 0 在直线 AB 上，所以有 ， 从而 代入 (2).求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：1.50）_正确答案：()解析
19、：解 对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(2z 2 -2z+1) 于是 23.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，令-sinx=u，则 24.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 25.计算定积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 则 方法二 令 x=tant，则 26.证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以 27.证明：当 x0 时， 的最大值不超过 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 当 x0 时，令 f“(x)=(x-x 2 )sin 2n x=0 得
20、x=1，x=k(k=1，2，)， 当 0x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f“(x)0)， 于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx， 所以当 x0，1时，(x-x 2 )sin 2n x(x-x 2 )x 2n =x 2n+1 -x 2n+2 ， 于是 28.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1-t)x 2 )tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ) 证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以
21、又 所以 29.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 ) 取 ，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ，于是有 把 代入f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f“(x 0 )x(x)-x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 30.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：3.00）_正确答案
22、：()解析：解 因为x+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=x-x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 而 ，同理 ， 所以 ，得 显然当 x+时，n+，由夹逼定理得 31.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3m/s，在提升过程中，污泥以 20N/s 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设拉力对空斗所做的功为 W 1 ，则 W 1 =40030=12000(J)设拉力对绳所做的功为 W 2 ，任取x，x+dx 0，30，dW 2 =50(30-x)dx， 则 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，t+dt 0，10，dW 3 =(2000-20t)3dt， 则
