1、考研数学一-436 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点D.一个可去间断点，一个无穷间断点2.若 f“(x)在(0，2)上连续， （分数：4.00）A.点(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(1)是函数 y=f(x)的极小值C.f(1)是函数 y=f(x)的极大值D.点(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值3.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.
2、设正项级数 发散，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则下列结论正确的是_ A 一定收敛 B 一定发散 C 可能收敛也可能发散 D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A为 m阶可逆矩阵，B 为 n阶可逆矩阵，|A|=a，|B|=b，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0的一个基础解系为(1，0，-4，0) T ，则方程组 A * X=0的基础解系为_（分数：4.00）A.1，2，3B.1，3，1+3C.1，3，4D.1+2，2+24，47.设
3、 XN(1，4)，YN(3，16)，PY=aX+b=1，且 XY =-1，则_（分数：4.00）A.a=2，b=5B.a=-2，b=-5C.a=-2，b=5D.a=2，b=-58.设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布下列结论正确的是_（分数：4.00）A.X+YE(2)B.X-YE(2)C.minX，YE(2)D.maxX，YE(2)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)连续，且 f(0)=0，f“(0)=2，则 （分数：4.00）10.过点 A(3，2，1)且平行于 （分数：4.00）11.设 D：(x 2 +y 2 )4(x 2 -y 2 )，则 （分数：4
4、.00）12.平面 ：Ax+By+z+D=0 被柱面 x 2 +4y 2 =4所截得的面积为 1 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y的简单随机样本，令 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)在0,1上连续在(0，1)内可导，且 （分数：9.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=0；（分数：3.00）_(2).存在 (0，1)，使得 f“()=f()；（分数：3.00）_(3).存在 (0，1)，使得 f“()-3f“()+2f
5、()=0（分数：3.00）_15.计算 （分数：9.00）_16.设方程 （分数：11.00）_17.将函数 展开成 x-1的幂级数，并求 （分数：10.00）_18.设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l 1 ，点 P处的切线与 Y轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l 2 ，又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ，求曲线 y=y(x) （分数：11.00）_19.设 （分数：10.00）_设二次型 通过正交变换化为标准形 （分数：12.00）(1).求常数 a，b；（分数：4.00）_(2).求正
6、交变换矩阵；（分数：4.00）_(3).当|X|=1 时，求二次型的最大值（分数：4.00）_设随机变量 X与 Y相互独立同分布，其中 PX=i= （分数：11.01）(1).求(U，V)的联合分布；（分数：3.67）_(2).求 P(U=V)；（分数：3.67）_(3).判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数（分数：3.67）_设 X的密度为 （分数：11.00）(1).求参数 的最大似然估计量 （分数：5.50）_(2).是否是参数 的无偏估计量? （分数：5.50）_考研数学一-436 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8
7、，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点 D.一个可去间断点，一个无穷间断点解析：解析 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点 由 f(0+0)=f(0-0)=0，得 x=0为 f(x)的可去间断点； 2.若 f“(x)在(0，2)上连续， （分数：4.00）A.点(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(1)是函数 y=f(x)的极小值C.f(1)是函数 y=f(x)的极大值 D.点(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值解析：解析 得 f“(1)=0，且存在 0，
8、当 0|x-1| 时， 当 x(1-，1)时，f“(x)0；当 x(1，1+)时，f“(x)0，从而 x=1为 f(x)的极大值点； 存在 0，当 0|x-1| 时， 3.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 且 =11，所以 发散； 因为 且 =11，所以 发散； 对任意的 0， 得 4.设正项级数 发散，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则下列结论正确的是_ A 一定收敛 B 一定发散 C 可能收敛也可能发散 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 a n =1，显然 发散， 发散，A 不对；令 a n =n
9、，显然 发散， 收敛，B 不对；因为正项级数 发散，所以S n 单调增加且 由交错级数审敛法知， 5.设 A为 m阶可逆矩阵，B 为 n阶可逆矩阵，|A|=a，|B|=b，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 而 所以 6.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0的一个基础解系为(1，0，-4，0) T ，则方程组 A * X=0的基础解系为_（分数：4.00）A.1，2，3B.1，3，1+3C.1，3，4D.1+2，2+24，4 解析：解析 由 r(A)=3得 r(A * )=1，则
10、A * X=0的基础解系由三个线性无关的解向量构成 由 1 -4 3 =0得 1 ， 3 成比例，显然 A、B、C 不对，应选 D7.设 XN(1，4)，YN(3，16)，PY=aX+b=1，且 XY =-1，则_（分数：4.00）A.a=2，b=5B.a=-2，b=-5C.a=-2，b=5 D.a=2，b=-5解析：解析 由 E(Y)=aE(X)+b得 a+b=3， 再由 D(Y)=a 2 D(X)得 4a 2 =16， 因为 XY =-1，所以 a0，于是 a=-2，b=5，应选 C8.设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布下列结论正确的是_（分数：4.00）A.X+YE(2)B
11、.X-YE(2)C.minX，YE(2) D.maxX，YE(2)解析：解析 因为 XE()，YE()，所以 令 Z=minX，Y，则 F Z (z)=PZz=1-PZz=1-PXz，Yz =1-PXzPYz=1-1-PXz1-PYz =1-1-F X (z)1-F y (z) 当 z0 时，F Z (z)=0；当 z0 时，F Z (z)=1-e -2z 于是 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)连续，且 f(0)=0，f“(0)=2，则 （分数：4.00）解析： 解析 10.过点 A(3，2，1)且平行于 （分数：4.00）解析：x-2y-5z+6=0 解析 s 1
12、=1，-2，1，s 2 =2，1，0，则所求平面方程的法向量为 s 1 s 2 =-1，2，5 所求平面方程为 ：-(x-3)+2(y-2)+5(z-1)=0，即 ：x-2y-5z+6=011.设 D：(x 2 +y 2 )4(x 2 -y 2 )，则 （分数：4.00）解析： 解析 由对称性得 令 则 D=(r，)|0 0r 于是 12.平面 ：Ax+By+z+D=0 被柱面 x 2 +4y 2 =4所截得的面积为 1 （分数：4.00）解析： 解析 平面 为 z=-Ax-By-D，由 于是平面 被柱面所截得的面积为 13.设 （分数：4.00）解析：1 解析 |E-A|=(-1) 2 (-
13、2)=0 得 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 =2， 因为 A可相似对角化，所以 r(E-A)=1， 由 14.设 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y的简单随机样本，令 （分数：4.00）解析：2(m+n-2) 解析 令 因为 X与 Y相互独立，所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)在0,1上连续在(0，1)内可导，且 （分数：9.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=0；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 (2).存在 (0，1)，使得 f“()=f()；（分数：3.00
14、）_正确答案：()解析：证明 令 h(x)=e x f(x)，因为 f(0)=f(c)=f(1)=0，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0， 由罗尔定理，存在 1 (O，c)， 2 (c，1)，使得 h“( 1 )=h“( 2 )=0，而 h“(x)=e x f(x)+f“(x) 且 e x 0，所以 f( 1 )+f“( 1 )=0，f( 2 )+f“( 2 )=0 令 (x)=e -x f(x)+f“(x)，因为 ( 1 )=( 2 )=0，所以存在 ( 1 ， 2 ) (3).存在 (0，1)，使得 f“()-3f“()+2f()=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 h
15、(x)=e -x f(x)，因为 f(0)=f(c)=f(1)=0，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0 由罗尔定理，存在 1 (0，c)， 2 (c，1)，使得 h“( 1 )-h“( 2 )=0，而 h(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x 0， 所以 f“( 1 )-f( 1 )=0，f“( 2 )-f( 2 )=0 令 (x)=e -2x f“(x)-f(x)，因为 ( 1 )=( 2 )=0，所以存在 ( 1 ， 2 ) 15.计算 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 令 1 ：x 2 +y 2 1，取上侧， 由高斯公式得 16.设方程 （分数：11.00）_正
16、确答案：()解析：解 从而 17.将函数 展开成 x-1的幂级数，并求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 两边对 x求导，得 18.设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l 1 ，点 P处的切线与 Y轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l 2 ，又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ，求曲线 y=y(x) （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由已知条件得 y(0)=0，y“(0)=0， P(x，y)处的切线为 Y-y=y“(X-x)， 令 X=0，则 Y=y-xy“，A 的坐标为(
17、0，y-xy“)， 由 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 得 两边对 x求导整理得 1+y“ 2 =2(x+1)y“y“ 令 y“=p， 代入得 1+p 2 =2(x+1)p 变量分离得 积分得 ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC 1 ，即 1+p 2 =C 1 (x+1)， 由初始条件得 C 1 =1，即 从而 再由 y(0)=0得 C 2 =0，故所求的曲线为 19.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 情形一：a0 当 a0 且 a-b+10 时，方程组有唯一解； 当 a0 且 a-b+1=0时，方程组有无数个解， 方程组的通解为 情形二：a=0 当 b1
18、时，方程组无解； 当 b=1时，方程组有无数个解， 方程组的通解为 设二次型 通过正交变换化为标准形 （分数：12.00）(1).求常数 a，b；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 因为二次型经过正交变换化为 所以矩阵 A的特征值为 1 = 2 =2， 3 =b，由特征值的性质得 (2).求正交变换矩阵；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 1 = 2 =2时，由(2E-A)X=0，得 当 3 =-1时，由(-E-A)X=0，得 令 1 = 1 = 单位化得 (3).当|X|=1 时，求二次型的最大值（分数：4.00）
19、_正确答案：()解析：解 因为 Q为正交矩阵。所以|X|=1 时，|Y|=1，当|Y|=1 时，二次型的最大值为 2设随机变量 X与 Y相互独立同分布，其中 PX=i= （分数：11.01）(1).求(U，V)的联合分布；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 U，V 的可能取值为 1，2，3，显然 P(UV)=0， PU=1，V=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= PU=2，V=1=PX=2，Y=1+PX=1，Y=2=2PX=2PY=1= PU=2，V=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= pU=3，V=1=PX=3，Y=1+PX=1，Y=3=2PX=3PY=1= PU=3，V
20、=2=PX=3，Y=2+PX=2，Y=3=2PX=3PY=2= PU=3，V=3=PX=3，Y=3=PX=3PY=3= 于是(U，V)的联合分布律为 (2).求 P(U=V)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 PU=V=PU=1，V=1+PU=2，V=2+PU=3，V=3=(3).判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 PU=1= PV=3= PU=1，V=3=0， 因为 PU=1，V=3PU=1PV=3，所以 U，V 不独立 U，V 的分布律为 Cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V)= 于是 设 X的密度为 （分数：11.00）(1).求参数 的最大似然估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 似然函数为 x i 0，i=1，2，n)， 由 得参数 的最大似然估计量为 (2).是否是参数 的无偏估计量? （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 所以
