1、考研数学一-435 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足： （分数：4.00）A.f(x,y)在 D 内取到最小值和最大值B.f(x,y)在 D 内取到最小值但取不到最大值C.f(x,y)在 D 内取到最大值但取不到最小值D.f(x,y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值2.当 x0 时， 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是_ A Btanx-x C(1+tanx) ln(1+2x)
2、-1 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P=(-1，1，-2)处的法线方程为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 - 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 =_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，则下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若矩阵 A，B 等价，则向量组 1，2，
3、n 与向量组 1，2，n 等价B.若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价C.若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价D.若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解7.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数_（分数：4.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数8.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本， 若 则 a=_ A2 B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 其中 为曲线 从 z 轴的正向看，
4、 （分数：4.00）10.设 连续， （分数：4.00）11.设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 x-，时， f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则S( （分数：4.00）12.微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=x+4 的通解为 1 （分数：4.00）13.设矩阵 （分数：4.00）14.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 g(x)二阶可导， （分数：9.00）(1).求常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：4.
5、50）_(2).求 f“(x)，并讨论 f“(x)在 x=0 处的连续性（分数：4.50）_15.设 a 为实数，问方程 e x =ax 2 有几个实根? （分数：9.00）_16.计算曲线积分 其中 （分数：11.00）_17.设 f(x)为连续函数，=(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，z0，为 的表面，D xy 为 在xOy 平面上的投影区域，L 为 D xy 的边界曲线，当 t0 时有 （分数：11.00）_18.设 u n (x)满足 求 （分数：10.00）_19.设 （分数：11.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 （分数：11.00）(
6、1).求正交矩阵 Q；（分数：5.50）_(2).求矩阵 A（分数：5.50）_设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 （分数：11.01）(1).PX+Y=0；（分数：3.67）_(2).随机变量 Y 的分布函数；（分数：3.67）_(3).E(Y)（分数：3.67）_20.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i (i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X n 设 E(X i )=(i=1，2，n)，问 k 1 ，k 2 ，k n 应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 D( （分数：11.00）_考
7、研数学一-435 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足： （分数：4.00）A.f(x,y)在 D 内取到最小值和最大值B.f(x,y)在 D 内取到最小值但取不到最大值C.f(x,y)在 D 内取到最大值但取不到最小值D.f(x,y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值 解析：解析 对区域 D 内任意一点(x，y)， 因为 2.当 x0 时， 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 3.当 x0 时，无穷小的阶数最高
8、的是_ A Btanx-x C(1+tanx) ln(1+2x) -1 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 为 4 阶无穷小； 由 得 tanx-x 即 tanx-x 为 3 阶无穷小； 由(1+tanx) ln(1+2x) -1=e ln(1+2x)ln(1+tanx)-1 ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得 1+tanx) ln(1+2x) 为 2 阶无穷小； 4.设为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P=(-1，1，-2)处的法线方程为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 M(x，y，z)为曲面上的任意一点，过 M
9、点且垂直于 x 轴的圆交直线于点 M 0 (x，y 0 ，z 0 )，圆心为 T(x，0，0)，由|MT|=|M 0 T|得 因为 所以 y 0 =-x，z 0 =2x，故曲面的方程为 5x 2 -y 2 -z 2 =0 曲面上点 P(-1，1，-2)处的法向量为 n=10x，-2y，-2z P =-10，-2，4， 法线为 5.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 - 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 =_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A * 的特征值为 2，
10、2，1，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ， 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )， 6.设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，则下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若矩阵 A，B 等价，则向量组 1，2，n 与向量组 1，2，n 等价B.若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价C.若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价 D.若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解解析：解析 由 A，B 等价得 r(A)=r(B)，从而向量组 1 ， 2 ， n 与向量组 1 ， 2 ， n 的秩相等，但两向量
11、组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选 A 若 A，B 特征值相同，r(A)与 r(B)不一定相等，从而 A，B 不一定等价， 7.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数_（分数：4.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析 F Y (y)=PYy=PminX，2y=1-PminX，2y =1-PXy，2y=1-PXyP2y， 当 y2 时，F Y (y)=1； 当 y2 时，F Y (y)=1-PXy=PXy= 则 8.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自总体 N(1，4)
12、的简单随机样本， 若 则 a=_ A2 B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 即 F(1，3)，故 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 其中 为曲线 从 z 轴的正向看， （分数：4.00）解析：8 解析 设曲线 所在的截口平面为，取上侧，其法向量为 n=0,-3,1， 法向量的方向余弦为 cos=0， 由斯托克斯公式得 曲面：z=3y+1，其在 xOy 平面内的投影区域为 D xy ：x 2 +y 2 4y， 于是 10.设 连续， （分数：4.00）解析：(y)-(x)-2(x+y) 解析 x 2 +y 2 +z 2 = 两边对 x 求偏导得 x 2 +y 2
13、 +z 2 = 两边对 y 求偏导得 11.设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 x-，时， f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则S( （分数：4.00）解析： 解析 当 x 为 f(x)的连续点时，f(x)=S(x)； 当 x 为 f(x)的间断点时， 于是 12.微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=x+4 的通解为 1 （分数：4.00）解析：C 1 x+C 2 x 2 -xlnx+2 解析 令 x=e t ， xy=Dy= x 2 y“=D(D-1)y= 则原方程化为 的通解为 y=C 1 e t +C 2 e 2t ； 的特解为 y 1 (t)=ate t ，代入得 a=
14、-1，即 y 1 (t)=-te t ； 的特解为 y 2 (t)=2， 13.设矩阵 （分数：4.00）解析：0 或 4 解析 由|E-A|= =(-a)(-4)=0 得 1 =0， 2 =a， 3 =4 因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0 或 a=4 当 a=0 时，由 r(0E-A)=r(A)=2 得 1 = 2 =0 只有一个线性无关的特征向量， 则 A 不可对角化，a=0 符合题意； 当 a=4 时，4E-A= 14.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为 1 （分数：4.
15、00）解析： 解析 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 g(x)二阶可导， （分数：9.00）(1).求常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1， (2).求 f“(x)，并讨论 f“(x)在 x=0 处的连续性（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 当 x=0 时， 15.设 a 为实数，问方程 e x =ax 2 有几个实根? （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 当 a=0 时，方程无解； 当
16、a0 时，令 (x)=x 2 e -x - 由 “(x)=2xe -x -x 2 e -x =x(2-x)e -x =0 得 x=0 或 x=2 当 x0 时，“(x)0；当 0x2 时，“(x)0；当 x2 时，“(x)0， 于是 (0)=- 为极小值， 为极大值，又 1)当 a0 时，方程无解； 2) 时，方程有两个根，分别位于(-，0)内及 x=2； 3)当 时，方程有三个根，分别位于(-，0)，(0，2)，(2，+)内； 4)当 16.计算曲线积分 其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 方法一： 设为 x 2 +y 2 +z 2 =6y 位于交线上方的部分，取上侧，由斯托
17、克斯公式得 的法向量为 =2x，y-3，z，方向余弦为 而在 xOy 平面上的投影为 D：x 2 +y 2 4y，于是 方法二： 曲线的参数方程为 17.设 f(x)为连续函数，=(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，z0，为 的表面，D xy 为 在xOy 平面上的投影区域，L 为 D xy 的边界曲线，当 t0 时有 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 1 ：x 2 +y 2 +z 2 =t 2 (z0)， 2 ：z=0(x 2 +y 2 t 2 )，则 所以有 两边求导得 2tf(t 2 )+2t 3 f“(t 2 )+4t 3 =tf(t 2 )，令 t
18、2 =x 得 解得 18.设 u n (x)满足 求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 u“ n (x)=u n (x)+ 得 u“ n (x)-u n (x)= ，于是 因为 所以 C=0，故 令 显然 的收敛域为-1，1)，即 的收敛域为-2，2) 19.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 1)当 a-6，a+2b-40 时，因为 r(A) ，所以 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示； 2)当 a-6，a+2b-4=0 时， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，表达式为 =2 1 - 2 +0 3 ； 当 a=-6 时， 当 a=-6，b5 时， 可由
19、1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，表达式为 =6 1 +1 2 +2 3 ； 当 a=-6，b=5 时， 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 （分数：11.00）(1).求正交矩阵 Q；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 显然 A 的特征值为 1 = 2 =-1， 3 =2，A * 的特征值为 1 = 2 =-2， 3 =1 因为 为 A * 的属于特征值 3 =1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3 =2 的特征向量，令= 3 令 A 的属于特征值 1 = 2 =-1 的特征向量为 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以-x 1 -x 2 +x 3
20、=0，则 A 的属于特征值 1 = 2 =-1 的线性无关的特征向量为 (2).求矩阵 A（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 （分数：11.01）(1).PX+Y=0；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 PX+Y=0=PY=-X=P|X|1 =1-PX1=1-(1-e - )=e - (2).随机变量 Y 的分布函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=PYy=PYy，0X1+PYy，X1 =PXy，0X1十 PX-y，X1 当 y-1 时，F Y (y)=PX-y=1-PX-y=e y ； 当-1y0 时，F
21、 Y (y)=PX1=e - ； 当 0y1 时，F Y (y)=P0Xy+PX1=1-e -y +e - ； 当 y1 时，F Y (y)=P0X1+PX1=1 于是 (3).E(Y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因为 所以 20.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i (i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X n 设 E(X i )=(i=1，2，n)，问 k 1 ，k 2 ，k n 应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 D( （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 因为 E(X i )=(i=1，2，n)，所以 的无偏性要求是 这就是约束条件，而目标函数为 由拉格朗日乘数法，作函数 f(k 1 ，k 2 ，k n )= 解得 所以当取 (i=1，2，n)时，
