1、考研数学一-435 (1)及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 A 是 33 矩阵, 1, 2, 3是互不相同的 3 维列向量,且都不是方程组 AX=0 的解,记B= 1, 2, 3,且满足 r(AB)r(分数:4.00)A.,r(AB)rB.则 r(AB)等C.2D.32.设 f(t)为连续函数,a 是常数,下述命题正确的是 ( )(分数:4.00)A.若 f(t)为奇函数,则B.若 f(t)为偶函数,则C.若 f(t)为奇函数,则D.若 f(t)为偶函数,则3.设向量组() ;向量组() ,记 A= 1, 2, 3,B= 1
2、, 2, 3则 ( )(分数:4.00)A.B.C.D.4.设随机变量 XN( 1, )和 YN( 2, (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 D=(x,y)|x 2+y20,l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线,则必有 ( )(分数:4.00)A.B.C.D.6.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域内有定义,并且当 x0 时 f(x)与 g(x)都为 x 的同阶无穷小,则当x0 时 ( )(分数:4.00)A.f(x)-g(x)必是 x 的同阶无穷小B.f(x)-g(x)必是 x 的高阶无穷小C.f(g(x)必是 x 的同阶无穷小D.f(g(x)必是 x 的高阶无穷
3、小7.设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x),则随机变量|X|的概率密度函数为 ( )(分数:4.00)A.B.f1(x)=f(x)+f(-x)C.D.8.设 在 x=2 处条件收敛,则 (分数:4.00)_二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.已知平行四边形有两对角线向量为 , ,其中 , , 与 的交角(分数:4.00)填空项 1:_10.设 y(x)是微分方程 y“+(x+1)y+x2y=ex的满足 y(0)=0,y(0)=1 的解,并设 (分数:4.00)填空项 1:_11.设 (分数:4.00)填空项 1:_12.设 是 f(x)的以 2 为周期傅里叶级数则 (分数:4.
4、00)填空项 1:_13.设 A 是三阶实对称矩阵,=5 是 A 的二重特征值对应的特征向量为 1=1,-1,2, 2=1,2,1T,则二次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX 在 X0=1,5,0 T的值 f(1,5,0)= (分数:4.00)填空项 1:_14.从数 1,2,3,4 中有放回地任取两次每次一个数,得两个数 X1,X 2,记 X=min(X1,X 2),则 P(X=2)=_(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.已知 (分数:10.00)_16.计算 (分数:10.00)_17.设 f(u)为奇函数,且具有一阶连续导数,S 是由锥面
5、 ,两球面 x2+y2+z2=1 与 x2+y2+z2=2(z0)所围立体的全表面,向外求(分数:10.00)_18.求数项级数 (分数:10.00)_19.适当选取函数 (x),作变量变换 y=(x)u,将 y 关于 x 的微分方程 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 ,求 (x)及常数 ,并求原方程满足 y(0)=1,y(0)=0 的特解(分数:10.00)_20.设 f(A) =(E-A)(E+A)-1,求:()E+f(A) -1;()f(f(A) )及B+f(A) -1,其中 (分数:11.00)_21.设 A,B,C 均是三阶矩阵,满足 AB=-2B,CA T=2C其中
6、 (分数:11.00)_22.已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=Aex(B-x),(-x+),且有 E(X)=2D(X),试求:()常数 A,B 的值;()E(X 2+eX)的值;() (分数:11.00)_23.设二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y),已知条件概率密度(分数:11.00)_考研数学一-435 (1)答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 A 是 33 矩阵, 1, 2, 3是互不相同的 3 维列向量,且都不是方程组 AX=0 的解,记B= 1, 2, 3,且满足 r(AB)r(分数:4.
7、00)A.,r(AB)rB.则 r(AB)等 C.2D.3解析:分析 已知 i(i=1,2,3)都不是 AX=0 的解,即 AB0,r(AB)1 又 r(AB)r(A),则矩阵 B 不可逆(若 B 可逆,则 r(AB)=r(A),这和 r(AB)r(A)矛盾),r(B)2,从而 r(AB)r(B)2,即 r(AB)1,从而有 r(AB)=1注 B 可逆*r(AB)=r(A)但反之,r(AB)=r(A)*B 可逆,不一定成立如 A=0,则有 r(AB)=r(A),B可任意2.设 f(t)为连续函数,a 是常数,下述命题正确的是 ( )(分数:4.00)A.若 f(t)为奇函数,则B.若 f(t)
8、为偶函数,则C.若 f(t)为奇函数,则 D.若 f(t)为偶函数,则解析:分析 设 F(t)是 f(t)的一个原函数,由于 f(t)是奇函数,所以 f(t)的任一原函数是偶函数,所以 F(t)是偶函数*因 F(x)为偶函数,故 xF(x)为 x 的奇函数,*也是 x 的奇函数,所以*为 x 的奇函数(C)正确至于(A),(B),(D)为什么不正确,请读者自己论证之3.设向量组() ;向量组() ,记 A= 1, 2, 3,B= 1, 2, 3则 ( )(分数:4.00)A. B.C.D.解析:分析 因 *故 A*B(或 r(A)=r(B)=3*A*B)但 1不能由 1, 2, 3线性表出,故
9、()*()(或 1不能由 1, 2, 3线性表出),故应选(A)注意 什么是两矩阵等价,其充分必要条件是什么,什么是两向量组等价,应搞清基本概念4.设随机变量 XN( 1, )和 YN( 2, (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:分析 要检验的是 X 的均值大于 Y 的均值,即 1 2假设检验要求原假设中含等号,以便在原假设成立时,统计量有一个确定的分布现(A)和(C)中的 H0不带符号,故不能选作假设选项(B)也不能选,因为它是 1 2或 1 2,而现在要检验的是 1 2,这正是(D)假设的5.设 D=(x,y)|x 2+y20,l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线,则必有
10、( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 对于(A)和(B),命*,*,通过具体计算,易知*(当(x,y)(0,0)所以当 l不包围 0 在其内部时, l=0,(B)不正确若取 l 为 x=cost,y=sint,t 从 0 到 2,则(A)*所以(A)不正确对于(C)和(D),命*,通过具体计算,也有*(当(x,y)(0,0)当 l 不包围 0 在其内部时, L=0,(D)不正确,若取 l 为 x=cost,y=sint,不妨认为 t 从- 到 ,则(C)*所以对于 D 内任意 l, l=0(C)正确6.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域内有定义,并且当 x0 时
11、f(x)与 g(x)都为 x 的同阶无穷小,则当x0 时 ( )(分数:4.00)A.f(x)-g(x)必是 x 的同阶无穷小B.f(x)-g(x)必是 x 的高阶无穷小C.f(g(x)必是 x 的同阶无穷小 D.f(g(x)必是 x 的高阶无穷小解析:分析 因为*,b0,所以*,且存在 x=0 的去心邻域*,当 x*时 g(x)与 bx 同号,从而知 g(x)0于是知,存在去心邻域*,当*时 f(g(x)有定义,且*其中,由题设*从而 *,应选(C)(A)的反例:f(x)=x+x 2,g(x)=x,当 x0 时,均与 x 为同阶无穷小,而 f(x)-g(x)=x2,当 x0 时为 x 的高阶
12、无穷小,不选(A)(B)的反例:f(x)=2x,g(x)=x,x0 时均与 x 为同阶无穷小,而 f(x)-g(x)=x,当 x0 时为 x 的同阶无穷小,不选(B)选了(C)当然不选(D)7.设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x),则随机变量|X|的概率密度函数为 ( )(分数:4.00)A.B.f1(x)=f(x)+f(-x)C.D. 解析:分析 设|X|的分布函数为 F1(x),则当 x0 时,F 1(x)=P(|X|x)=0,即 f1(x)=0当 x0 时,F 1(x)=P(|X|x)=P(-xXx)*此时 f1(x)=f(x)+f(-x)我们更可用排除法,因为|X|0,故必有 f
13、1(x)=0,x0所以(A),(B)显然不符合条件而(C)不符合*事实上*8.设 在 x=2 处条件收敛,则 (分数:4.00)_解析:分析 *在 x=2 处条件收敛,故它的收敛半径为 2而*可由前一级数平移求积分得到,收敛半径不变,仍为 2,而 x=-1 位于后一级数收敛开区间的端点处其敛散性要由具体的a n二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.已知平行四边形有两对角线向量为 , ,其中 , , 与 的交角(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:5)解析:分析 该平行四边形的面积 S 等于以*、*为邻边的平行四边形面积的*由矢性积的几何意义知,*10.设 y(x)是微分方程 y
14、“+(x+1)y+x2y=ex的满足 y(0)=0,y(0)=1 的解,并设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:4,*)解析:分析 由 y(0)=0 知,所求极限为“*型”*由初始条件 y(0)=1,若 k=1,则上述极限为 0,不符,故 k2*但 y“(0)=ex-(x+1)y-x2yx=0=0,若 k=2,则上式极限为 0,不符故 k3*但 y“(0)=(ex-(x+1)y-x2y)x=0=ex-y-(x+1)y“-2xy-x2yx=0=0,若 k=3,则上式极限为 0,不符,故k4* 但 y(4)(0)=ex-y“-y“-(x+1)y“-2y-4xy-x2y“x=0=1,故知
15、当 k=4 时,*11.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:f (2n+1)(0)=(-1)n(2n)!)解析:分析 *由泰勒级数的唯一性,对于 n=0,1,有*12.设 是 f(x)的以 2 为周期傅里叶级数则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 傅里叶系数*又由狄里克莱定理,*13.设 A 是三阶实对称矩阵,=5 是 A 的二重特征值对应的特征向量为 1=1,-1,2, 2=1,2,1T,则二次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX 在 X0=1,5,0 T的值 f(1,5,0)= (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:130)解析:分析
16、已知 A 1=5 1,A 2=5 2,故二次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX 在特征向量处的值为*为求二次型在 X0处的值,可将 X0用 1, 2线性表出,设 X0=x1 1+x2 2,得方程组*解得 x1=-1,x 2=2,即 X0=- 1+2 2*14.从数 1,2,3,4 中有放回地任取两次每次一个数,得两个数 X1,X 2,记 X=min(X1,X 2),则 P(X=2)=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 X=2,即两个数中小的数为 2,另一个数可以为 2,也可能是 3 或 4P(X=2)=P(X1=2,X 2=2)+P(X1=2,X 2=3)+P
17、(X1=2,X 2=4)+P(X1=3,X 2=2)+P(X1=4,X 2=2)=P(X1=2)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=3)+P(X1=2)P(X2=4)+P(X1=3)P(X2=2)+P(X1=4)P(X2=2)*三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.已知 (分数:10.00)_正确答案:(由*,有 u(x,y)=x 2+xy+x+(y)再由*,有 x+(y)=x+2y+3,得 (y)=2y+3,所以(y)=y 2+3y+c于是U(x,y)=x 2+xy+x+y2+3y+C再由 U(0,0)=1 得 C=1从而U(x,y)=x 2+xy+y2+x+3y+1再由*解*
18、得驻点*,且*,所以*为极小值)解析:16.计算 (分数:10.00)_正确答案:(化成球面坐标*)解析:17.设 f(u)为奇函数,且具有一阶连续导数,S 是由锥面 ,两球面 x2+y2+z2=1 与 x2+y2+z2=2(z0)所围立体的全表面,向外求(分数:10.00)_正确答案:(由条件知,可以用高斯公式,记 S 所包围的有界区域为 ,于是*因为 f 是变元的奇函数,所以 f(xy)是 x 的偶函数,xf(xy)是 x 的奇函数,所以*同理*从而*)解析:18.求数项级数 (分数:10.00)_正确答案:(由*的形状,考察幂级数:*容易求得它的收敛半径为 R=1,记*逐项积分,得*再逐
19、项积分,得*所以*再以*代入,得*)解析:19.适当选取函数 (x),作变量变换 y=(x)u,将 y 关于 x 的微分方程 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 ,求 (x)及常数 ,并求原方程满足 y(0)=1,y(0)=0 的特解(分数:10.00)_正确答案:(*于是原方程化为*命x(x)+2(x)=0,解之,取*于是经计算,*原方程化为*u=C1+C2x于是得原方程的通解为*再由初始条件 y(0)=1,y(0)=0 得 C1=1,C 2=0,故得特解*)解析:20.设 f(A) =(E-A)(E+A)-1,求:()E+f(A) -1;()f(f(A) )及B+f(A) -
20、1,其中 (分数:11.00)_正确答案:()E+f(A) -1=E+(E-A)(E+A)-1-1=(E+A)(E+A)-1+(E-A)(E+A)-1-1=(2E(E+A)-1)-1=*(E+A)*()利用(),先求 f(f(A)=E-f(A)E+f(A)-1*故*)解析:21.设 A,B,C 均是三阶矩阵,满足 AB=-2B,CA T=2C其中 (分数:11.00)_正确答案:()由题设条件AB=-2B,将 B 按列分块,设 B= 1, 2, 3,则有 A 1, 2, 3=-2 1, 2, 3,即 A i=-2 i,i=1,2,3,故 i(i=1,2,3)是 A 的对应于 =-2 的特征向量
21、,又因 1, 2线性无关, 3= 1+ 2,故 1, 2是 A 的属于 =-2 的线性无关特征向量CA T=2C,两边转置得 ACT=2CT,将 CT按列分块,设 CT= 1, 2, 3,则有 A 1, 2, 3=2 1, 2, 3,A i=2 i,i=1,2,3 i(i=1,2,3)是 A 的属于 =2 的特征向量,因 1, 2, 2互成比例,故 1是 A 的属于 =2 的线性无关特征向量取 P= 1, 2, 1,则 P 可逆,且*A=PAP-1,其中*P-1计算如下:*()因 A i=-2 i,(i=1,2),故 A100 i=(-2)100 i=2100 i,(i=1,2),A 1=2
22、1,故 A100 1=2100 1对任意的三维向量 1,因 1, 2, 1线性无关, 可由 1, 2, 1线性表出,且表出法唯一,设= 1 1+ 2 2+ 3 1,则 A100=A 100( 1 1+ 2 2+ 3 1)= 1A100 1+ 2A100 2+ 3A100 1= 12100 1+ 22100 2+ 32100 1=2100( 1 1+ 2 2+ 3 1)=2100得证 A100 和 成比例,A 100 和 线性相关)解析:22.已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=Aex(B-x),(-x+),且有 E(X)=2D(X),试求:()常数 A,B 的值;()E(X 2+eX
23、)的值;() (分数:11.00)_正确答案:()XN*且 E(X)=2D(X),得到*,即 B=2而*,就有*总之*()E(X 2+eX)=E(X2)+E(eX)*所以 *()XN*,故(X-1)N*,*(X-1)N(0,1),当 y0 时,*其中 (y)为标准正态分布的分布函数当 y0 时,F(y)=0)解析:分析 *可以将 f(x)看成正态分布*的概率密度函数23.设二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y),已知条件概率密度(分数:11.00)_正确答案:()令*,即*解得*由对称性得*()*故*,显然*即*()*)解析:分析 ()由性质*可以定出常数 A,也可以更简单地把*看成形式*,-x+由*求出 ,然后求出*()*故*,从而将 x,y 的函数分离()f(x,y)=f X|Y(x|y)fY(y)