1、考研数学一-435 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3是互不相同的 3 维列向量，且都不是方程组 AX=0 的解，记B= 1， 2， 3，且满足 r(AB)r（分数：4.00）A.，r(AB)rB.则 r(AB)等C.2D.32.设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是 ( )（分数：4.00）A.若 f(t)为奇函数，则B.若 f(t)为偶函数，则C.若 f(t)为奇函数，则D.若 f(t)为偶函数，则3.设向量组() ；向量组() ，记 A= 1， 2， 3，B= 1
2、， 2， 3则 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设随机变量 XN( 1， )和 YN( 2， （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 D=(x，y)|x 2+y20，l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则必有 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域内有定义，并且当 x0 时 f(x)与 g(x)都为 x 的同阶无穷小，则当x0 时 ( )（分数：4.00）A.f(x)-g(x)必是 x 的同阶无穷小B.f(x)-g(x)必是 x 的高阶无穷小C.f(g(x)必是 x 的同阶无穷小D.f(g(x)必是 x 的高阶无穷
3、小7.设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度函数为 ( )（分数：4.00）A.B.f1(x)=f(x)+f(-x)C.D.8.设 在 x=2 处条件收敛，则 （分数：4.00）_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知平行四边形有两对角线向量为 ， ，其中 ， ， 与 的交角（分数：4.00）填空项 1:_10.设 y(x)是微分方程 y“+(x+1)y+x2y=ex的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，并设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 是 f(x)的以 2 为周期傅里叶级数则 （分数：4.
4、00）填空项 1:_13.设 A 是三阶实对称矩阵，=5 是 A 的二重特征值对应的特征向量为 1=1，-1，2， 2=1，2，1T，则二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在 X0=1，5，0 T的值 f(1，5，0)= （分数：4.00）填空项 1:_14.从数 1，2，3，4 中有放回地任取两次每次一个数，得两个数 X1，X 2，记 X=min(X1，X 2)，则 P(X=2)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 （分数：10.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.设 f(u)为奇函数，且具有一阶连续导数，S 是由锥面
5、 ，两球面 x2+y2+z2=1 与 x2+y2+z2=2(z0)所围立体的全表面，向外求（分数：10.00）_18.求数项级数 （分数：10.00）_19.适当选取函数 (x)，作变量变换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 ，求 (x)及常数 ，并求原方程满足 y(0)=1，y(0)=0 的特解（分数：10.00）_20.设 f(A) =(E-A)(E+A)-1，求：()E+f(A) -1；()f(f(A) )及B+f(A) -1，其中 （分数：11.00）_21.设 A，B，C 均是三阶矩阵，满足 AB=-2B，CA T=2C其中
6、 （分数：11.00）_22.已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=Aex(B-x)，(-x+)，且有 E(X)=2D(X)，试求：()常数 A，B 的值；()E(X 2+eX)的值；() （分数：11.00）_23.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，已知条件概率密度（分数：11.00）_考研数学一-435 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3是互不相同的 3 维列向量，且都不是方程组 AX=0 的解，记B= 1， 2， 3，且满足 r(AB)r（分数：4.
7、00）A.，r(AB)rB.则 r(AB)等 C.2D.3解析：分析 已知 i(i=1，2，3)都不是 AX=0 的解，即 AB0，r(AB)1 又 r(AB)r(A)，则矩阵 B 不可逆(若 B 可逆，则 r(AB)=r(A)，这和 r(AB)r(A)矛盾)，r(B)2，从而 r(AB)r(B)2，即 r(AB)1，从而有 r(AB)=1注 B 可逆*r(AB)=r(A)但反之，r(AB)=r(A)*B 可逆，不一定成立如 A=0，则有 r(AB)=r(A)，B可任意2.设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是 ( )（分数：4.00）A.若 f(t)为奇函数，则B.若 f(t)
8、为偶函数，则C.若 f(t)为奇函数，则 D.若 f(t)为偶函数，则解析：分析 设 F(t)是 f(t)的一个原函数，由于 f(t)是奇函数，所以 f(t)的任一原函数是偶函数，所以 F(t)是偶函数*因 F(x)为偶函数，故 xF(x)为 x 的奇函数，*也是 x 的奇函数，所以*为 x 的奇函数(C)正确至于(A)，(B)，(D)为什么不正确，请读者自己论证之3.设向量组() ；向量组() ，记 A= 1， 2， 3，B= 1， 2， 3则 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 因 *故 A*B(或 r(A)=r(B)=3*A*B)但 1不能由 1， 2， 3线性表出，故
9、()*()(或 1不能由 1， 2， 3线性表出)，故应选(A)注意 什么是两矩阵等价，其充分必要条件是什么，什么是两向量组等价，应搞清基本概念4.设随机变量 XN( 1， )和 YN( 2， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 要检验的是 X 的均值大于 Y 的均值，即 1 2假设检验要求原假设中含等号，以便在原假设成立时，统计量有一个确定的分布现(A)和(C)中的 H0不带符号，故不能选作假设选项(B)也不能选，因为它是 1 2或 1 2，而现在要检验的是 1 2，这正是(D)假设的5.设 D=(x，y)|x 2+y20，l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则必有
10、( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 对于(A)和(B)，命*，*，通过具体计算，易知*(当(x，y)(0，0)所以当 l不包围 0 在其内部时， l=0，(B)不正确若取 l 为 x=cost，y=sint，t 从 0 到 2，则(A)*所以(A)不正确对于(C)和(D)，命*，通过具体计算，也有*(当(x，y)(0，0)当 l 不包围 0 在其内部时， L=0，(D)不正确，若取 l 为 x=cost，y=sint，不妨认为 t 从- 到 ，则(C)*所以对于 D 内任意 l， l=0(C)正确6.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域内有定义，并且当 x0 时
11、f(x)与 g(x)都为 x 的同阶无穷小，则当x0 时 ( )（分数：4.00）A.f(x)-g(x)必是 x 的同阶无穷小B.f(x)-g(x)必是 x 的高阶无穷小C.f(g(x)必是 x 的同阶无穷小 D.f(g(x)必是 x 的高阶无穷小解析：分析 因为*，b0，所以*，且存在 x=0 的去心邻域*，当 x*时 g(x)与 bx 同号，从而知 g(x)0于是知，存在去心邻域*，当*时 f(g(x)有定义，且*其中，由题设*从而 *，应选(C)(A)的反例：f(x)=x+x 2，g(x)=x，当 x0 时，均与 x 为同阶无穷小，而 f(x)-g(x)=x2，当 x0 时为 x 的高阶
12、无穷小，不选(A)(B)的反例：f(x)=2x，g(x)=x，x0 时均与 x 为同阶无穷小，而 f(x)-g(x)=x，当 x0 时为 x 的同阶无穷小，不选(B)选了(C)当然不选(D)7.设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度函数为 ( )（分数：4.00）A.B.f1(x)=f(x)+f(-x)C.D. 解析：分析 设|X|的分布函数为 F1(x)，则当 x0 时，F 1(x)=P(|X|x)=0，即 f1(x)=0当 x0 时，F 1(x)=P(|X|x)=P(-xXx)*此时 f1(x)=f(x)+f(-x)我们更可用排除法，因为|X|0，故必有 f
13、1(x)=0，x0所以(A)，(B)显然不符合条件而(C)不符合*事实上*8.设 在 x=2 处条件收敛，则 （分数：4.00）_解析：分析 *在 x=2 处条件收敛，故它的收敛半径为 2而*可由前一级数平移求积分得到，收敛半径不变，仍为 2，而 x=-1 位于后一级数收敛开区间的端点处其敛散性要由具体的a n二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知平行四边形有两对角线向量为 ， ，其中 ， ， 与 的交角（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：分析 该平行四边形的面积 S 等于以*、*为邻边的平行四边形面积的*由矢性积的几何意义知，*10.设 y(x)是微分方程 y
14、“+(x+1)y+x2y=ex的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，并设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4，*）解析：分析 由 y(0)=0 知，所求极限为“*型”*由初始条件 y(0)=1，若 k=1，则上述极限为 0，不符，故 k2*但 y“(0)=ex-(x+1)y-x2yx=0=0，若 k=2，则上式极限为 0，不符故 k3*但 y“(0)=(ex-(x+1)y-x2y)x=0=ex-y-(x+1)y“-2xy-x2yx=0=0，若 k=3，则上式极限为 0，不符，故k4* 但 y(4)(0)=ex-y“-y“-(x+1)y“-2y-4xy-x2y“x=0=1，故知
15、当 k=4 时，*11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f (2n+1)(0)=(-1)n(2n)!）解析：分析 *由泰勒级数的唯一性，对于 n=0，1，有*12.设 是 f(x)的以 2 为周期傅里叶级数则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 傅里叶系数*又由狄里克莱定理，*13.设 A 是三阶实对称矩阵，=5 是 A 的二重特征值对应的特征向量为 1=1，-1，2， 2=1，2，1T，则二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在 X0=1，5，0 T的值 f(1，5，0)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：130）解析：分析
16、已知 A 1=5 1，A 2=5 2，故二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在特征向量处的值为*为求二次型在 X0处的值，可将 X0用 1， 2线性表出，设 X0=x1 1+x2 2，得方程组*解得 x1=-1，x 2=2，即 X0=- 1+2 2*14.从数 1，2，3，4 中有放回地任取两次每次一个数，得两个数 X1，X 2，记 X=min(X1，X 2)，则 P(X=2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 X=2，即两个数中小的数为 2，另一个数可以为 2，也可能是 3 或 4P(X=2)=P(X1=2，X 2=2)+P(X1=2，X 2=3)+P
17、(X1=2，X 2=4)+P(X1=3，X 2=2)+P(X1=4，X 2=2)=P(X1=2)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=3)+P(X1=2)P(X2=4)+P(X1=3)P(X2=2)+P(X1=4)P(X2=2)*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 （分数：10.00）_正确答案：(由*，有 u(x，y)=x 2+xy+x+(y)再由*，有 x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，所以(y)=y 2+3y+c于是U(x，y)=x 2+xy+x+y2+3y+C再由 U(0，0)=1 得 C=1从而U(x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1再由*解*
18、得驻点*，且*，所以*为极小值)解析：16.计算 （分数：10.00）_正确答案：(化成球面坐标*)解析：17.设 f(u)为奇函数，且具有一阶连续导数，S 是由锥面 ，两球面 x2+y2+z2=1 与 x2+y2+z2=2(z0)所围立体的全表面，向外求（分数：10.00）_正确答案：(由条件知，可以用高斯公式，记 S 所包围的有界区域为 ，于是*因为 f 是变元的奇函数，所以 f(xy)是 x 的偶函数，xf(xy)是 x 的奇函数，所以*同理*从而*)解析：18.求数项级数 （分数：10.00）_正确答案：(由*的形状，考察幂级数：*容易求得它的收敛半径为 R=1，记*逐项积分，得*再逐
19、项积分，得*所以*再以*代入，得*)解析：19.适当选取函数 (x)，作变量变换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 ，求 (x)及常数 ，并求原方程满足 y(0)=1，y(0)=0 的特解（分数：10.00）_正确答案：(*于是原方程化为*命x(x)+2(x)=0，解之，取*于是经计算，*原方程化为*u=C1+C2x于是得原方程的通解为*再由初始条件 y(0)=1，y(0)=0 得 C1=1，C 2=0，故得特解*)解析：20.设 f(A) =(E-A)(E+A)-1，求：()E+f(A) -1；()f(f(A) )及B+f(A) -
20、1，其中 （分数：11.00）_正确答案：()E+f(A) -1=E+(E-A)(E+A)-1-1=(E+A)(E+A)-1+(E-A)(E+A)-1-1=(2E(E+A)-1)-1=*(E+A)*()利用()，先求 f(f(A)=E-f(A)E+f(A)-1*故*)解析：21.设 A，B，C 均是三阶矩阵，满足 AB=-2B，CA T=2C其中 （分数：11.00）_正确答案：()由题设条件AB=-2B，将 B 按列分块，设 B= 1， 2， 3，则有 A 1， 2， 3=-2 1， 2， 3，即 A i=-2 i，i=1，2，3，故 i(i=1，2，3)是 A 的对应于 =-2 的特征向量
21、，又因 1， 2线性无关， 3= 1+ 2，故 1， 2是 A 的属于 =-2 的线性无关特征向量CA T=2C，两边转置得 ACT=2CT，将 CT按列分块，设 CT= 1， 2， 3，则有 A 1， 2， 3=2 1， 2， 3，A i=2 i，i=1，2，3 i(i=1，2，3)是 A 的属于 =2 的特征向量，因 1， 2， 2互成比例，故 1是 A 的属于 =2 的线性无关特征向量取 P= 1， 2， 1，则 P 可逆，且*A=PAP-1，其中*P-1计算如下：*()因 A i=-2 i，(i=1，2)，故 A100 i=(-2)100 i=2100 i，(i=1，2)，A 1=2
22、1，故 A100 1=2100 1对任意的三维向量 1，因 1， 2， 1线性无关， 可由 1， 2， 1线性表出，且表出法唯一，设= 1 1+ 2 2+ 3 1，则 A100=A 100( 1 1+ 2 2+ 3 1)= 1A100 1+ 2A100 2+ 3A100 1= 12100 1+ 22100 2+ 32100 1=2100( 1 1+ 2 2+ 3 1)=2100得证 A100 和 成比例，A 100 和 线性相关)解析：22.已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=Aex(B-x)，(-x+)，且有 E(X)=2D(X)，试求：()常数 A，B 的值；()E(X 2+eX
23、)的值；() （分数：11.00）_正确答案：()XN*且 E(X)=2D(X)，得到*，即 B=2而*，就有*总之*()E(X 2+eX)=E(X2)+E(eX)*所以 *()XN*，故(X-1)N*，*(X-1)N(0，1)，当 y0 时，*其中 (y)为标准正态分布的分布函数当 y0 时，F(y)=0)解析：分析 *可以将 f(x)看成正态分布*的概率密度函数23.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，已知条件概率密度（分数：11.00）_正确答案：()令*，即*解得*由对称性得*()*故*，显然*即*()*)解析：分析 ()由性质*可以定出常数 A，也可以更简单地把*看成形式*，-x+由*求出 ，然后求出*()*故*，从而将 x，y 的函数分离()f(x，y)=f X|Y(x|y)fY(y)
