1、考研数学一-434 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.3B.4C.5D.62.圆 （分数：4.00）A.16B.8C.4D.23.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0满足初始条件 y(0)=1的解，则 为_ A-ln3 Bln3 C ln3 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)在(0，0)处连续， 则_ Af(x，y)在(0，0)处不可偏导 Bf(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微 C 且 f(x，y)在(0，0)处可微分 D （分数：4.00）A.B
2、.C.D.5.设 A为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 （分数：4.00）A.当 t2 时，r(A)=1B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2时，r(A)=1D.当 t=2时，r(A)=26.设 A，B 为三阶矩阵且 A不可逆，又 AB+2B=O且 r(B)=2，则|A+4E|=_（分数：4.00）A.8B.16C.2D.07.设随机变量 X的分布函数为 F(x)=02F 1 (x)+0.8F 1 (2x)，其中 F 1 (y)是服从参数为 1的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为_（分数：4.00）A.0.36B.0.44C.0.64D.18.学生考试成绩服从正态分布 N(，3
3、2 )，任取 36个学生的成绩，平均成绩 =60，则 的置信度为 0.95的置信区间为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设由 e -y +x(y-x)=1+x确定 y=y(x)，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）10.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +(z-1) 2 1，x0，y0， （分数：4.00）11.设 t0，D t =(x，y)|0xy，ty1， （分数：4.00）12.微分方程 y“-3y“+2y=2e x 满足 （分数：4.00）13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分
4、别为 3，-3，0，则|B -1 +2E|= 1 （分数：4.00）14.设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX，Y，则 PZE(Z)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一个解，且 （分数：9.00）(1).求 y(x)，并求 y=y(x)到 x轴的最大距离（分数：4.50）_(2).计算 （分数：4.50）_15.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f“(0)=f“(1)证明：存在 (0，1)，使得 （分数：10.00）_设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且
5、 f(x)0，令 （分数：11.01）(1).证明：F“(x)单调增加（分数：3.67）_(2).当 x取何值时，F(x)取最小值?（分数：3.67）_(3).当 F(x)的最小值为 f(a)-a 2 -1时，求函数 f(x)（分数：3.67）_设 f(x)连续可微，f(1)=1，G 为不包含原点的连通区域，任取 M，NG，在 G内曲线积分 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).求 其中 为 （分数：5.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 （分数：11.00）_设 a=(1，1，-1) T 是 （分数：11.00
6、）(1).确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；（分数：5.50）_(2).问 A是否可以对角化?说明理由（分数：5.50）_设 X的概率密度为 且 PX1= （分数：11.01）(1).求 a，b 的值；（分数：3.67）_(2).求随机变量 X的分布函数；（分数：3.67）_(3).求 Y=X 3 的密度函数（分数：3.67）_设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，且总体 X的密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).求 的极大似然估计量（分数：5.50）_考研数学一-434 答案解析(总分：150.02，做题时间：
7、90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.3B.4C.5 D.6解析：解析 2.圆 （分数：4.00）A.16 B.8C.4D.2解析：解析 x 2 +y 2 +z 2 -4x-2y+2z19 化为 x-2) 2 +(y-1) 2 +(z+1) 2 25， 球的半径为 R=5，球心(2，1，-1)到平面 2x+2y-z+2=0的距离为 截口圆的半径为 3.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0满足初始条件 y(0)=1的解，则 为_ A-ln3 Bln3 C ln3 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 P(
8、x，y)=2xy，Q(x，y)=x 2 -1， 因为 所以 2xydx+(x 2 -1)dy=0为全微分方程 由 2xydx+(x 2 -1)dy=0，得 2xydx+x 2 dy-dy=0， 整理得 d(x 2 y-y)=0，通解为 x 2 y-y=C 由初始条件 y(0)=1得 C=-1，从而特解为 于是 4.设 f(x，y)在(0，0)处连续， 则_ Af(x，y)在(0，0)处不可偏导 Bf(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微 C 且 f(x，y)在(0，0)处可微分 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 得 f(0，0)=1，因为 所以 从而 其中 a为当(x，y
9、)(0，0)时的无穷小，于是 f=f(x，y)-f(0，0)=0x+0y+ ，故 f(x，y)在(0，0)处可微，且5.设 A为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 （分数：4.00）A.当 t2 时，r(A)=1 B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2时，r(A)=1D.当 t=2时，r(A)=2解析：解析 方法一 当 t2 时， 为 AX=0的两个线性无关的解， 从而 3-r(A)2，r(A)1，又由 AO 得 r(A)1，即 r(A)=1，应选 A 方法二： 令 由已知条件得 6.设 A，B 为三阶矩阵且 A不可逆，又 AB+2B=O且 r(B)=2，则|A+4E|=_（分数：4.00）
10、A.8B.16 C.2D.0解析：解析 令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，由 AB+2B=O得 A i =-2 i (i=1，2，3)， 由 r(B)=2得 =-2 至少为 A的二重特征值， 又由 r(A)3 得 3 =0，故 1 = 2 =-2， 3 =0， A+4E的特征值为 1 = 2 =2， 3 =4，故|A+4E|=16，应选 B7.设随机变量 X的分布函数为 F(x)=02F 1 (x)+0.8F 1 (2x)，其中 F 1 (y)是服从参数为 1的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为_（分数：4.00）A.0.36B.0.44 C.0.64D.1解析：解析 设 X 1
11、E(1)，其密度函数为 其分布函数为 且 E(X 1 )=D(X 1 )=1，则 8.学生考试成绩服从正态分布 N(，3 2 )，任取 36个学生的成绩，平均成绩 =60，则 的置信度为 0.95的置信区间为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 得 的置信度为 0.95的置信区间为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设由 e -y +x(y-x)=1+x确定 y=y(x)，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）解析：-3 解析 当 x=0时，y=0， e -y +x(y-x)=1+x两边对 x求导得 -e -y y“+y-x+x(y“-1)=1，代入
12、得 y“(0)=-1； -e -y y“+y-x+x(y“-1)=1两边再对 x求导得 e -y (y“) 2 -e -y y“+2y“-2+xy“=0，代入得 y“(0)=-310.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +(z-1) 2 1，x0，y0， （分数：4.00）解析： 解析 令 其中 0 ，0 ，0r2cos， 则 11.设 t0，D t =(x，y)|0xy，ty1， （分数：4.00）解析：解析 12.微分方程 y“-3y“+2y=2e x 满足 （分数：4.00）解析：y=-3e x +3e 2x -2xe x 解析 特征方程为 2 -3+2=0，特征值为 1 =1， 2
13、 =2，y“-3y“+2y=0的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe x ，代入原方程为 A=-2，原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x -2xe x 13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1 +2E|= 1 （分数：4.00）解析：-8 解析 因为 A的特征值为 3，-3，0，所以 A-E的特征值为 2，-4，-1，从而 A-E可逆，由E+B=AB得(A-E)B=E，即 B与 A-E互为逆阵，则 B的特征值为 14.设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，
14、Z=minX，Y，则 PZE(Z)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 服从参数为 的指数分布的随机变量的分布函数为 Z的分布函数为 F Z (z)=PZz=1-PZz=1-PXz，Yz =1-PXzPYz=1-1-F(z)1-F(z) 即 ZE(2)，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一个解，且 （分数：9.00）(1).求 y(x)，并求 y=y(x)到 x轴的最大距离（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的特征方程为 2 2 +-1=0，特征值为 1
15、=-1， 2 = 2y“+y“-y=0的通解为 令 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的特解为 y 0 =(ax 2 +bx)e -x ，代入得 a=1，b=0， 原方程的通解为 由 (2).计算 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 15.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f“(0)=f“(1)证明：存在 (0，1)，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 F(x)三阶连续可导且 F“(x)=f(x)，由泰勒公式得 两式相减得 因为 f“(x)C 1 ， 2 ，所以 f“(x)在 1 ， 2 上取到最大值 M和最小值 m， 于是 2mf“( 1 )+f
16、“( 2 )2M 或 由介值定理，存在 1 ， 2 (0，1)，使得 故有 设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 （分数：11.01）(1).证明：F“(x)单调增加（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 (2).当 x取何值时，F(x)取最小值?（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因为 为偶函数，所以 F“(0)=0，又因为 F“(0)0， 所以 x=0为 F(x)的唯一极小点，也为最小点 故最小值为 (3).当 F(x)的最小值为 f(a)-a 2 -1时，求函数 f(x)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 两边求导得 2af(a)=f“(a)-
17、2a， 于是 f“(x)-2xf(x)=2x， 解得 f(x)=2xe -2xdx dx+Ce -2xdx =Ce x2 -1， 在 设 f(x)连续可微，f(1)=1，G 为不包含原点的连通区域，任取 M，NG，在 G内曲线积分 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为曲线积分与路径无关，所以 从而 解得 (2).求 其中 为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 取 L 0 ：2x 2 +y 2 =r 2 (r0，L 0 在 内，L 0 取逆时针方向)， 与 L 0 所围成的区域为 D 1 ，L 0 所围成的区域为 D 2 由格林公式
18、得 16.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 1 ：z=x+2(x 2 +y 2 1)在 xOy坐标平面上投影区域为 D 1 ：x 2 +y 2 1 2 ：x 2 +y 2 =1(0zx+2)在 xOz坐标平面上投影区域为 D 2 ：x|1，0zx+2又 2 关于 xOz坐标平面左右对称，被积函数关于 y是偶函数， 21 (右半部分)： dS= 所以 3 ：z=0(x 2 +y 2 1)， 17.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 1)当 a-1，a6 时，方程组只有唯一解； 2)当 a=-1时， 当 a=-1时，b36 时，方程
19、组无解； 当 a=-1，b=36 时，方程组有无数个解， 方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意取值时， 因为 r(A)= =34，所以方程组有无数个解，通解为 设 a=(1，1，-1) T 是 （分数：11.00）(1).确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 A=，(2).问 A是否可以对角化?说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由|E-A|=(+1) 3 =0，得 =-1 是三重特征值 因为 r(-E-A)=2，所以 =-1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A不可以对角化设 X的概率密度为 且 PX1= （
20、分数：11.01）(1).求 a，b 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 又由 解得 (2).求随机变量 X的分布函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 x-2 时，F(x)=0当-2x-1 时， 当-1x0 时， 当 x0 时， 于是 (3).求 Y=X 3 的密度函数（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=PX 3 y， 当 y-8 时，F Y (y)=0； 当-8y-1 时， 当-1y0 时， 当 y0 时， 于是 设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，且总体 X的密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 则 的矩估计量为(2).求 的极大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 L()=f(x 1 )f(x 2 )f(x n )= 2n x 1 x 2 x n e -(x 1+x2+xn) ， 得 的极大似然估计值为 的极大似然估计量为
