1、考研数学一-433 (1)及答案解析(总分：103.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：36，分数：103.00)设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f(x)|a，|f(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：3.00）(1).写出 f(x)在 x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（分数：1.50）_(2).证明： （分数：1.50）_设 f(x)在-a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：3.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（分数：1.50）_(2).证明：存在 1 ， 2 -a，a，使得 （分数：1.50）_1
2、.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且|f (4) (x)|M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点 x，有 （分数：3.00）_2.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ - (b)0， 且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：3.00）_3.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f“ + (a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()0 （分数：3.00）_4.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明
3、：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b) （分数：3.00）_5.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 +(1-)x 2 f(x 1 )+(1-)f(x 2 ) （分数：3.00）_6.设 f(x)二阶可导， （分数：3.00）_7.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f“(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0) （分数：3.00）_8.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k
4、n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n ) （分数：3.00）_9.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 （分数：3.00）_10.当 x0 时，证明： （分数：3.00）_11.设 0ab，证明： （分数：3.00）_12.求由方程 x 2 +y 3 -xy=0确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值 （分数：3.00）_13.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0证明：方程 f“(x)-f(x)=0在(0，1)内
5、有根 （分数：3.00）_14.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，问 A至少为多少时，f(x)20 （分数：3.00）_15.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2，f“(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根 （分数：3.00）_设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2)（分数：3.00）(1).证明方程 f n (x)=1有唯一的正根 x n ；（分数：1.50）_(2).求 （分数：1.50）_16.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数 （分数：3.00）_17.就 k的不同取值情况，确定方程 x
6、3 -3x+k=0根的个数 （分数：3.00）_18.设 k为常数，方程 （分数：3.00）_19.设 f(x)在-1，1上可导，f(x)在 x=0处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4求 （分数：3.00）_20.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 z轴上的截距为 u，求 （分数：3.00）_设函数 （分数：3.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0处连续；（分数：1.00）_(2).求 f“(x)；（分数：1.00）_(3).讨论 f“(x)在 x=0处的连续性（分数：1
7、.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0证明：存在 (a，b)，使得f“()=0 （分数：3.00）_22.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f“(1)=0， （分数：3.00）_23.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b) 证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：3.00）_24.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y) （分数：3.00）_25.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在
8、x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：3.00）_26.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()= （分数：2.00）_27.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， （分数：4.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；（分数：1.00）_(2).存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f“( i )+f( i )=0(
9、i=1，2)；（分数：1.00）_(3).存在 (a，b)，使得 f“()=f()；（分数：1.00）_(4).存在 (a，b)，使得 f“()-3f“()+2f()=0（分数：1.00）_28.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_29.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f“(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_设平面曲线 L上一点 M处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，
10、AM 为 L在点 M处的法线，法线上的两点 P，Q分别位于 L的两侧，其中 P在 AM上，Q 在 AM的延长线 AN上，若 P，Q 满足|AP|AQ|= 2 ，称 P，Q 关于 L对称设 ，P 点的坐标为 （分数：2.00）(1).求点 M，使得 L在 M点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程；（分数：1.00）_(2).求点 P关于 L的对称点 Q的坐标（分数：1.00）_30.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 （分数：2.00）_考研数学一-433 (1)答案解析(总分：103.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：36，分数：103.0
11、0)设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f(x)|a，|f(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：3.00）(1).写出 f(x)在 x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 f(x)=f(c)+f“(c)(x-c)+(2).证明： （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 分别令 x=0，x=1，得 两式相减，得 ，利用已知条件，得 因为 c 2 +(1-c) 2 1，所以 设 f(x)在-a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：3.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（分数：1.5
12、0）_正确答案：()解析：解 由 存在，得 f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=0， 则 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式为 (2).证明：存在 1 ， 2 -a，a，使得 （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 上式两边积分得1.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且|f (4) (x)|M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点 x，有 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )+ ， 两式相加得 f(x)+f(x“)-2f(x 0 )=f“(x 0 )(x-x 0 ) 2 + f (4) (
13、1 )+f (4) ( 2 )(x-x 0 ) 4 ， 于是 再由|f (4) (x)|M，得 2.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ - (b)0， 且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 设 f“ + (a)0，f“ - (b)0， 由 f“ + (a)0，存在 x 1 (a，b)，使得 f(x 1 )f(a)=0； 由 f“ - (b)0，存在 x 2 (a，b)，使得 f(x 2 )f(b)=0， 因为 f(x 1 )f(x 2
14、 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0 令 ，显然 h(x)在a，b上连续，由 h(a)=h(c)=h(b)=0， 存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“( 1 )=h“( 2 )=0， 而 ，所以 令 (x)=f“(x)g(x)-f(x)g“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=f“(x)g(x)-f(x)g“(x)，所以 3.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f“ + (a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()0 （分数：
15、3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 ，所以存在 0，当 0x-a 时，有 ，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0 由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 4.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b) （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)，使得 5.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)
16、0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 +(1-)x 2 f(x 1 )+(1-)f(x 2 ) （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 x 0 =x 1 +(1-)x 2 ，则 x 0 a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )+ ，其中 介于 x 0 与 x之间， 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )， 于是 6.设 f(x)二阶可导， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 7.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f“(x)f(x)(x0)证明：f(
17、x)e x (x0) （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -x f(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，“(x)=e -x f“(x)-f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以 有 f(x)e x (x0)8.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n ) （分数：3.00）_正确答案：(
18、)解析：证明 令 x 0 =k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n ，显然 x 0 a，b 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )， 分别取 x=x i (i=1，2，n)，得 由 k i 0(i=1，2，n)，上述各式分别乘以 k i (i=1，2，n)，得 9.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2 ，(1)=0 “(x)=2xlnx-x+2= ，“(1)=0“(x)=2lnx+1+ ，“(1)=20 则 故 x=1为
19、“(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 “(1)=20，故“(x)0(x0) 由 10.当 x0 时，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 f(x)=( +1)ln(1+x)-2arctanx，f(0)=0 对 ，因为 ， 所以 ，从而 f“(x)0(x0) 由 得 f(x)f(0)=0(x0)，即 方法二 令 f(x)=arctanx，F(x)=ln(1+x)， ， 显然 f(0)=0，F(0)=0 由柯西中值定理，存在 (0，x)，使得 令 ，由 ，得 当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0，则 为 (x)在(0，+)内的最大值点，最大值
20、为 ， 所以 11.设 0ab，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 首先证明 因为 ，所以令 ， 由 ，而 ba，所以 (b)0，即 再证 方法一 因为 ，所以令 f(x)=(x 2 +a 2 )(lnx-lna)-2a(x-a)，f(a)=0， 由 ，因为 ba，所以 f(b)f(a)=0， 即 方法二 令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 ，其中 0ab，则 12.求由方程 x 2 +y 3 -xy=0确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 根据隐函数求导数法，得 令 ，得 y=2x，再将 y=2x代入
21、原方程得 ，函数值为 ，将 ，y“=0 代入 y“得 ，所以 为函数的极大值点，且极大值为 13.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0证明：方程 f“(x)-f(x)=0在(0，1)内有根 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -x f(x)+f“(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 “(c)=0， 而 “(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x x，所以方程 f“(c)-f(c)=0在(0，1)内有根14.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，问 A至少
22、为多少时，f(x)20 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x)20 等价于 A20x 3 -3x 5 ， 令 (x)=20x 3 -3x 5 ，由 “(x)=60x 2 -15x 4 =0，得 x=2， “(x)=120x-60x 3 ，因为 “(2)=-2400，所以 x=2为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A至少取 64时，有 f(x)2015.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2，f“(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调不减
23、，当 x0 时，f“(x)f“(0)=1 当 x0 时，f(x)-f(0)=f“()x，从而 f(x)f(0)+x，因为 ， 所以 由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)=-20， 设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2)（分数：3.00）(1).证明方程 f n (x)=1有唯一的正根 x n ；（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 n(x)=fn(x)=1，因为 n(0)=-10， n(1)=n-10，所以 n(x)在(0，1)(2).求 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由 f n (x n )-f n+1 (x n+1 )=0，得 ，从而 x n x
24、 n+1 ，所以 单调减少，又 x n 0(n=1，2，)，故 存在，设 ，显然 Ax n x 1 =1，由 ，得 ，两边求极限得 ，解得 16.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ae x =x 2 等价于 x 2 e -x -a=0 令 f(x)=x 2 e -x -a，由 f“(x)=(2x-x 2 )e -x =0得 x=0，x=2 当 x0 时，f“(x)0；当 0x2 时，f“(x)0；当 x2 时，f“(x)0， 于是 x=0为极小点，极小值为 f(0)=-a0；x=2 为极大点，极大值为 ， 又 (1)当 ，方程有三个根
25、； (2)当 ，方程有两个根 (3)当 17.就 k的不同取值情况，确定方程 x 3 -3x+k=0根的个数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 f(x)=x 3 -3x+k， 18.设 k为常数，方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 (1)若 k0，由 ，又 ，所以原方程在(0，+)内恰有一个实根； (2)若 k=0， ，又 ，所以原方程也恰有一个实根； (3)若 k0， ，令 ，又 ，所以 为 f(x)的最大值，令 ，得 ，所以k的取值范围是 19.设 f(x)在-1，1上可导，f(x)在 x=0处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4求 （分数：3.00
26、）_正确答案：()解析：解 对 x0，有 ，同理 20.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 z轴上的截距为 u，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f“(x)(X-x)， 令 Y=0得 ，由泰勒公式得 ，其中 1 介于 0与 u之间， ，其中 2 介于 0与 x之间， 于是 设函数 （分数：3.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0处连续；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 (2).求 f“(x)；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 而 所以 (3).讨论 f“(x)在 x=0处的连续性（分数：1.00）_
