1、考研数学一-432 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小2.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微D.可微3.点 M(2，1，-1)到直线 L： 的距离为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设幂级数 在 x=-1处收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定5.设 A，B 为 n阶矩阵，则下列结论正确的是_ A.若 A2B 2，则 AB B.矩阵 A的秩与
2、A的非零特征值的个数相等 C.若 A，B 的特征值相同，则 AB D.若 AB，且 A可相似对角化，则 B可相似对角化（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 n阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，令向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则_（分数：4.00）A.向量组()与向量组()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()至少有一个线性相关7.设 P(A|B)=P(B|A)= ， ，则_ A事件 A，B 独立且
3、 P(A+B)= B事件 A，B 独立且 P(A+B)= C事件 A，B 不独立且 P(A+B)= D事件 A，B 不独立且 P(A+B)= （分数：4.00）A.B.C.D.8.设连续型随机变量 X的概率密度 f(x)为偶函数，且 （分数：4.00）A.2-2F(a)B.1-F(a)C.2F(a)D.2F(a)-1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设函数 y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）11.设由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz(e，0)= 1. （分数：4.00）12.y“-2y“-3y=e -x 的通解为 1. （分数
4、：4.00）13.设 A为三阶实对称矩阵， 1 =(m，-m，1) T 是方程组 AX=0的解， 2 =(m，1，1-m) T 是方程组(A+E)X=0的解，则 m= 1. （分数：4.00）14.设总体 XN(0， 2 )，且 X 1 ，X 2 ，X 15 为来自总体 X的简单随机样本，则统计量 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)连续， （分数：9.00）_16.求二重积分 （分数：9.00）_17.求 x=cost(0t)将方程(1-x 2 )y“-xy“+y=0化为 y关于 t的微分方程，并求满足 y| x=0 =1，y“| x=0 =2的解
5、（分数：10.00）_18.计算曲面积分 其中是弧段 (1x3)绕 x轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x轴正向夹角大于 （分数：11.00）_19.设 f(x)在0，1上连续可导，f(1)=0， （分数：11.00）_设 A为 mn矩阵，且 r(A)= =rn，其中 （分数：12.00）(1).证明方程组 AX=b有且仅有 n-r+1个线性无关解；（分数：6.00）_(2).有三个线性无关解，求 a，b 及方程组的通解 （分数：6.00）_设二次型 的矩阵合同于 （分数：10.00）(1).求常数 a；（分数：5.00）_(2).用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x
6、3 )为标准形（分数：5.00）_20.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y的密度函数 f Z (z) （分数：11.00）_设总体 X的密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计量（分数：5.50）_考研数学一-432 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析 因为2.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可偏导C.可偏导但不可微 D
7、.可微解析：解析 当(x，y)(0，0)时， 由迫敛定理得 从而 f(x，y)在(0，0)处连续，A 不对； 由 得 f“ x (0，0)=0， 由 得 f“ y (0，0)=0，B 不对； 令 因为 3.点 M(2，1，-1)到直线 L： 的距离为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然 M 0 (1，0，1)为直线 L上一点，直线 L的方向向量为 =1，-1，01，2，-1=1，1，3， 点 M到直线 L的距离为 4.设幂级数 在 x=-1处收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定解析：解析 令 3x+1=t，则级
8、数 当 t=-2时收敛，故级数 的收敛半径 R2， 因为 1R，所以当 t=1时，级数 绝对收敛，即级数 5.设 A，B 为 n阶矩阵，则下列结论正确的是_ A.若 A2B 2，则 AB B.矩阵 A的秩与 A的非零特征值的个数相等 C.若 A，B 的特征值相同，则 AB D.若 AB，且 A可相似对角化，则 B可相似对角化（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1 ， 2 ， n ， 且存在可逆矩阵 P 1 ，使得 因为 A可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 2 ，使得 6.设 n阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ，
9、 n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，令向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则_（分数：4.00）A.向量组()与向量组()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()至少有一个线性相关 解析：解析 当向量组()线性相关时，r(A)n，由 r(AB)r(A)得 r(AB)n，即向量组()线性相关；同理，当向量组()线性相关时，r(B)n，由 r(AB)r(B)得 r(AB)n，即向量组()线性相关，应选D7.设 P(A|B)=P(B|A)= ， ，则_ A事件 A，B 独立且
10、P(A+B)= B事件 A，B 独立且 P(A+B)= C事件 A，B 不独立且 P(A+B)= D事件 A，B 不独立且 P(A+B)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 P(A|B)=P(B|A)= ，得 P(A)=P(B)，再由 得 P(A)=P(B)= ，且 因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立 故 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 8.设连续型随机变量 X的概率密度 f(x)为偶函数，且 （分数：4.00）A.2-2F(a) B.1-F(a)C.2F(a)D.2F(a)-1解析：解析 P|X|a=1-P|X|a=1-P-aXa=1-F
11、(a)+F(-a)，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 方法一： 方法二： 10.设函数 y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）解析：-2 解析 x=0 代入，得 y=0 两边对 x求导， 将 x=0，y=0 代入， 两边对 x求导， 将 x=0，y=0， 11.设由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz(e，0)= 1. （分数：4.00）解析： 解析 将 x=e，y=0 代入得 z=1 方法一： x=ze y+z 两边求微分得 dx=ze y+z dy+(z+1)e y+z dz， 将 x=e，y=0，z=1 代入得 方法二：
12、 x=ze y+z 两边对 x求偏导得 x=ze y+z 两边对 y求偏导得 故 12.y“-2y“-3y=e -x 的通解为 1. （分数：4.00）解析：y=C 1 e -x +C 2 e 3x - e -x 解析 特征方程为 2 -2-3=0，特征值为 1 =-1， 2 =3，则方程 y“-2y“-3y=0的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe -x ，代入原方程得 ，于是原方程的通解为 13.设 A为三阶实对称矩阵， 1 =(m，-m，1) T 是方程组 AX=0的解， 2 =(m，1，1-m) T 是方程组(A+E)X=0的解，则
13、 m= 1. （分数：4.00）解析：1 解析 由 AX=0有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A的特征值， 1 =(m，-m，1) T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，|A+E|=0，=-1 为 A的另一个特征值，其对应的特征向量为 2 =(m，1，1-m) T ，因为 A为实对称矩阵，所以 A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114.设总体 XN(0， 2 )，且 X 1 ，X 2 ，X 15 为来自总体 X的简单随机样本，则统计量 （分数：4.00）解析：t(5) 解析 因为 X i N(0， 2 )(i=1，2，10)， 又 X i
14、N(0， 2 )(i=11，12，15)， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)连续， （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(0)=0，f“(0)=1. 16.求二重积分 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 方法一： 如图(1)，在区域 D内作圆 x 2 +y 2 =x，将区域 D分为 D 1 ，D 2 ，则 第一卦限的角平分线将 D 1 分为 D 11 及 D 12 ， 方法二： 如图(2)，在区域 D内作圆 x 2 +y 2 =x，将区域 D分为 D 1 ，D 2 ，则 17.求 x=cost(0t)将方程(1-x 2 )y“-xy“+y=
15、0化为 y关于 t的微分方程，并求满足 y| x=0 =1，y“| x=0 =2的解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 该方程的通解为 y=C 1 cost+C 2 sint， 原方程的通解为 将初始条件 y| x=0 =1，y“| x=0 =2代入得 C 1 =2，C 2 =1.故特解为 18.计算曲面积分 其中是弧段 (1x3)绕 x轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x轴正向夹角大于 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 曲面：x=y 2 +z 2 +1(1x3)， 补充曲面 0 ：x=3(y 2 +z 2 2)， 由高斯公式得 由对称性得 19.设 f(x
16、)在0，1上连续可导，f(1)=0， （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 由分部积分，得 由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)-f(1)=f“()(x-1)，其中 (x，1)， f(x)=f“()(x-1)两边对 x从 0到 1积分，得 因为 f“(x)在0，1上连续，所以 f“(x)在0，1上取到最小值 m和最大值 M， 由 M(x-1)f“()(x-1)m(x-1)两边对 x从 0到 1积分， 得 设 A为 mn矩阵，且 r(A)= =rn，其中 （分数：12.00）(1).证明方程组 AX=b有且仅有 n-r+1个线性无关解；（分数：6.00）_正确答案：()解析：解
17、令 1 ， 2 ， n-r 为 AX=0的基础解系， 0 为 AX=b的特解，显然 0 = 0 ， 1 = 1 + 0 ， n-r = n-r + 0 为 AX=b的一组解，令 k 0 0 +k 1 1 +k n-r n-r =0，即 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +(k 0 +k 1 +k n-r ) 0 =0. 上式左乘 A得(k 0 +k 1 +k n-r )b=0，因为 b0 时，k 0 +k 1 +k n-r =0，于是 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =0，因为 1 ， 2 ， n-r 为 AX=0的基础解系，所以 k 1 =k 2 =k n-r
18、=0，于是 k 0 =0，故 0 ， 1 ， n-r 线性无关 若 0 ， 1 ， n-r+1 为 AX=b的线性无关解，则 1 = 1 - 0 ， n-r+1 = n-r+1 - 0 为 AX=0的解，令 k 1 1 +k 2 2 +k n-r+1 n-r+1 =0，则 k 1 1 +k 2 2 +k n-r+1 n-r+1 -(k 1 +k 2 +k n-r+1 ) 0 =0. 因为 0 ， 1 ， n-r+1 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k n-r+1 =0，即 1 ， 2 ， n-r+1 为 AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组 AX=b恰有 n-r+1个线性无关解(2).有三
19、个线性无关解，求 a，b 及方程组的通解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 化为 AX=因为 AX= 有三个非零解，所以 AX=0有两个非零解，故 4-r(A)2，r(A)2，又因为 r(A)2，所以 r(A)= =2 则 a=-3，b=-1 得原方程组的通解为 X= 设二次型 的矩阵合同于 （分数：10.00）(1).求常数 a；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 因为 A与 合同，所以 r(A)=23，故|A|=0 由|A|= =3(2a-10)=0，得 a=5， (2).用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，
20、x 3 )为标准形（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由|E-A|= =(-4)(-9)=0，得 1 =0， 2 =4， 3 =9. 由(0E-A)X=0 得 由(4E-A)X=0 得 由(9E-A)X=0 得 单位化得 20.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y的密度函数 f Z (z) （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 X，Y 的边缘密度分别为 因为 X，Y 独立，所以(X，Y)的联合密度函数为 F Z (z)=PZz=PX+Yz= 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 0z1 时， =z-e -z (e z -1)=z+e -z -1； 当 z1 时， =1-e -z (e-1)=1+e -z -e 1-z ， 设总体 X的密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 得参数的矩估计量为(2).求 的最大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：记样本观察值为 x 1 ，x 2 ，x n ，似然函数为 得参数的最大似然估计值为 则最大似然估计量为
