1、考研数学一-432 (1)及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:17,分数:42.50)1.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与-2y=-1+xy 3 在点(-1,1)处相切,则 a= 1,b= 2 (分数:2.50)2.设函数 满足 ,则 (分数:2.50)3.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导,且 f“(1)=-2,则 (分数:2.50)4.设 (分数:2.50)5.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2),f(0)=0,又在(-1,1)内 f“(x)=|x|,则 (分数:2.50)6.若 f(x)=2nx(1-x) n ,记 ,则 (分数:2.50
2、)7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f“(a)0,则 (分数:2.50)8.设 (分数:2.50)9.设 (分数:2.50)10.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx-1=0 确定,求 dy| x=0 = 1 (分数:2.50)11.设 确定函数 y=y(x),则 (分数:2.50)12.设函数 y=y(x)由 (分数:2.50)13.设 (分数:2.50)14.设 (分数:2.50)15.设 f(x)在(-,+)上可导, ,又 (分数:2.50)16.设 f(x,y)可微,f(1,2)=2,f“ x (1,2)=3,f“ y (1,2)=4,(x)=fx,f(x,2x)
3、,则 “(1)= 1 (分数:2.50)17.曲线 (分数:2.50)二、选择题(总题数:23,分数:57.50)18.设 f(x)在 x=a 处可导,且 f(a)0,则|f(x)|在 x=a 处_(分数:2.50)A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续19.设 为 f(x)=arctanx 在0,a上使用微分中值定理的中值,则 为_ A1 B C D (分数:2.50)A.B.C.D.20.设 f(x)在 x=a 处二阶可导,则 等于_ A-f“(a) Bf“(a) C2f“(a) D (分数:2.50)A.B.C.D.21.设 f(x)在 x=0 处二阶可导,f(0)=0 且 (分数:
4、2.50)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点22.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在,则 f(x)在 x=a 处 _ (分数:2.50)A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续23.f(x)g(x)在 x 0 处可导,则下列说法正确的是_(分数:2.50)A.f(x),g(x)在 x0 处都可导B.f(x)在 x0 处可导,g(x)在 x0 处不可导C.f(x)在 x0 处不可导,g(x)在 x0 处可导D.f(x),g(x)在
5、 x0 处都可能不可导24.f(x)在 x 0 处可导,则|f(x)|在 x 0 处_(分数:2.50)A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续25.设 f(x)为二阶可导的奇函数,且 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,则当 x0 时有_(分数:2.50)A.f“(x)0,f“(x)0B.f“(x)0,f“(x)0C.f“(x)0,f“(x)0D.f“(x)0,f“(x)026.设 f(x)为单调可微函数,g(x)与 f(x)互为反函数,且 f(2)=4,f“(2)= ,f“(4)=6,则 g“(4)等于_ A B C (分数:2.50)A.B.C.D.27.设 f(x)在 x=
6、a 的邻域内有定义,且 f“ + (a)与 f“ - (a)都存在,则_(分数:2.50)A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导28.下列命题成立的是_ A若 f(x)在 x 0 处连续,则存在 0,使得 f(x)在|x-x 0 | 内连续 B若 f(x)在 x 0 处可导,则存在 0,使得 f(x)在|x-x 0 | 内可导 C若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导,在 x 0 处连续且 存在,则 f(x)在 x 0 处可导,且 f(x 0 )= D若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导,在 x 0
7、处连续且 (分数:2.50)A.B.C.D.29.则 f(x)在 x=0 处_ (分数:2.50)A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续30.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是_ A B C D (分数:2.50)A.B.C.D.31.设 f(x)连续可导,g(x)连续,且 ,又 (分数:2.50)A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0,0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 既不是 f(x)极值点,(0,0)也不是 y=f(x)的拐点32.下列说法正确的是_ Af(x)在(a,b
8、)内可导,若 Bf(x)在(a,b)内可导,若 Cf(x)在(-,+)内可导,若 Df(x)在(-,+)内可导,若 (分数:2.50)A.B.C.D.33.下列说法中正确的是_(分数:2.50)A.若 f“(x0)0,则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0 取极大值,则当 x(x0-,x0)时,f(x)单调增加,当 x(x0,x0+)时,f(x)单调减少C.f(x)在 x0 取极值,则 f(x)在 x0 连续D.f(x)为偶函数,f“(0)0,则 f(x)在 x=0 处一定取到极值34.设 f(x)二阶连续可导, (分数:2.50)A.f(2)是 f(x)的极小值B.f
9、(2)是 f(x)的极大值C.(2,f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值,(2,f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点35.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且 ,又 (分数:2.50)A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点36.设 f(x)二阶连续可导,且 (分数:2.50)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0,f(0)是曲线 y
10、=f(x)的拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点37.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x,且 f“(0)=0,则_(分数:2.50)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0,f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0,f(0)不是 y=f(x)的拐点38.下列说法正确的是_(分数:2.50)A.设 f(x)在 x0 二阶可导,则 f(x)在 x=x0 处连续B.f(x)在a,b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a,b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(x)在(a,b)内有唯一的
11、极值点,则该极值点一定为最值点39.设 f(x)在a,+)上二阶可导,f(a)0,f“(a)=0,且 f“(x)k(k0),则 f(x)在(a,+)内的零点个数为_(分数:2.50)A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个40.设 k0,则函数 (分数:2.50)A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个考研数学一-432 (1)答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:17,分数:42.50)1.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与-2y=-1+xy 3 在点(-1,1)处相切,则 a= 1,b= 2 (分数:2.50)解析:3 3 解析 因为两曲线过点(-1,1
12、),所以 b-a=0,又由 y=x 2 +ax+b 得 ,再由-2y=-1+xy 3 得 2.设函数 满足 ,则 (分数:2.50)解析: 解析 由 得 于是 3.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导,且 f“(1)=-2,则 (分数:2.50)解析:1 解析 由 得 4.设 (分数:2.50)解析:2x(1+4x)e 8x 解析 由 5.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2),f(0)=0,又在(-1,1)内 f“(x)=|x|,则 (分数:2.50)解析: 解析 因为在(-1,1)内 f“(x)=|x|, 所以在(-1,1)内 由 f(0)=0 得 故 6.若 f(x)=2nx(1-x
13、) n ,记 ,则 (分数:2.50)解析: 解析 由 f“(x)=2n(1-x) n -2n 2 x(1-x) n-1 =0 得 ,当 时, f“(x)0;当 时,f“(x)0,则 为最大点, 故 7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f“(a)0,则 (分数:2.50)解析:解析 8.设 (分数:2.50)解析:0 解析 当 x=0 时,t=0;当 t=0 时,由 y+e y =1,得 y=0 ,方程 y+e y =ln(e+t2)两边对 t 求导数,得 ,则 9.设 (分数:2.50)解析:解析 10.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx-1=0 确定,求 dy| x=
14、0 = 1 (分数:2.50)解析:-2dx 解析 当 x=0 时,y=1,将 ye xy +xcosx-1=0 两边对 x 求导得 将 x=0,y=1 代入上式得 11.设 确定函数 y=y(x),则 (分数:2.50)解析: 解析 两边对 x 求导得 12.设函数 y=y(x)由 (分数:2.50)解析: 解析 当 x=ln2 时,t=1;当 t=1 时,y=0 (1)当 t=-1 时, 由 两边对 t 求导数得 则 则法线方程为 ; (2)当 t=1 时, 由 两边对 t 求导得 则 ,法线方程为 , 即法线方程为 13.设 (分数:2.50)解析:2 -1 解析 因为 f(x)在 x=
15、1 处可微,所以 f(x)在 x=1 处连续, 于是 f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b,即 a+b=1 又 14.设 (分数:2.50)解析: 解析 因为当 x0 时,F“(x)x 2 ,所以 , 而 故 15.设 f(x)在(-,+)上可导, ,又 (分数:2.50)解析:1 解析 ,由 f(x)-f(x-1)=f“(),其中 介于 x-1 与 x 之间,令 x,由 ,得 16.设 f(x,y)可微,f(1,2)=2,f“ x (1,2)=3,f“ y (1,2)=4,(x)=fx,f(x,2x),则 “(1)= 1 (分数:2.50)解析:47 解析 因为 “(x)=f“
16、x x,f(x,2x)+f“ y x,f(x,2x)f“ x (x,2x)+2f“ y (x,2x),所以 “(1)=厂 f“ x 1,f(1,2)3+f“ y 1,f(1,2)f“ x (1,2)+2f“ y (1,2)=3+4(3+8)=4717.曲线 (分数:2.50)解析:y=2x-4 解析 曲线 二、选择题(总题数:23,分数:57.50)18.设 f(x)在 x=a 处可导,且 f(a)0,则|f(x)|在 x=a 处_(分数:2.50)A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析:解析 不妨设 f(a)0,因为 f(x)在 x=a 处可导,所以 f(x)在 x=a 处连续,于
17、是存在 0,当|x-a| 时,有 f(x)0,于是19.设 为 f(x)=arctanx 在0,a上使用微分中值定理的中值,则 为_ A1 B C D (分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 令 f(a)-f(0)=f“()a,即 ,或者 , 20.设 f(x)在 x=a 处二阶可导,则 等于_ A-f“(a) Bf“(a) C2f“(a) D (分数:2.50)A.B.C.D. 解析:解析 21.设 f(x)在 x=0 处二阶可导,f(0)=0 且 (分数:2.50)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(
18、0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析 由 ,得 f(0)+f“(0)=0,于是 f“(0)=0 再由 22.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在,则 f(x)在 x=a 处 _ (分数:2.50)A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析:解析 因为 f(x)在 x=a 处右可导,所以 存在,于是 23.f(x)g(x)在 x 0 处可导,则下列说法正确的是_(分数:2.50)A.f(x),g(x)在 x0 处都可导B.f(x)在 x0 处可导,g(x)在 x0 处不可导C.f(x)在 x0 处不可导,g(x)在 x0 处可导D.f
19、(x),g(x)在 x0 处都可能不可导 解析:解析 令24.f(x)在 x 0 处可导,则|f(x)|在 x 0 处_(分数:2.50)A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析:解析 由 f(x)在 x 0 处可导得|f(x)|在 x 0 处连续,但|f(x)|在 x 0 处不一定可导,如 f(x)=x在 x=0 处可导,但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导,选 C25.设 f(x)为二阶可导的奇函数,且 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,则当 x0 时有_(分数:2.50)A.f“(x)0,f“(x)0 B.f“(x)0,f“(x)0C.f“(x)0,f“(x)0
20、D.f“(x)0,f“(x)0解析:解析 因为 f(x)为二阶可导的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),f“(-x)=f“(x),f“(-x)=-f“(x),即f“(x)为偶函数,f“(x)为奇函数,故由 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,得当 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,选 A26.设 f(x)为单调可微函数,g(x)与 f(x)互为反函数,且 f(2)=4,f“(2)= ,f“(4)=6,则 g“(4)等于_ A B C (分数:2.50)A.B. C.D.解析:解析 因为27.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义,且 f“ + (a)与 f“ - (a)都存在,则_
21、(分数:2.50)A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续 C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导解析:解析 因为 f“ + (a)存在,所以 存在,于是 28.下列命题成立的是_ A若 f(x)在 x 0 处连续,则存在 0,使得 f(x)在|x-x 0 | 内连续 B若 f(x)在 x 0 处可导,则存在 0,使得 f(x)在|x-x 0 | 内可导 C若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导,在 x 0 处连续且 存在,则 f(x)在 x 0 处可导,且 f(x 0 )= D若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导,在 x 0 处连续且 (
22、分数:2.50)A.B.C. D.解析:解析 设 显然 f(x)在 x=0 处连续,对任意的 x 0 0,因为 不存在,所以 f(x)在 x 0 处不连续,A 不对; 同理 f(x)在 x=0 处可导,对任意的 x 0 0,因为 f(x)在 x 0 处不连续,所以 f(x)在 x 0 处也不可导,B 不对; 因为 ,其中 介于 x 0 与 x 之间,且 存在,所以 也存在,即 f(x)在 x 0 处可导且 ,选 C; 令 显然 而 29.则 f(x)在 x=0 处_ (分数:2.50)A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续 解
23、析:解析 显然 f(x)在 x=0 处连续,因为 ,所以 f(x)在 x=0 处可导,当 x0 时, ,当x0 时, ,因为30.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是_ A B C D (分数:2.50)A.B.C.D. 解析:解析 A 不对,如 显然 存在,但 f(x)在 x=1 处不连续,所以也不可导; B 不对,因为 存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在; C 不对,因为 , 而 ,所以 不一定存在,于是 f(x)在 x=1 处不一定右可导,也不一定可导; 由 31.设 f(x)连续可导,g(x)连续,且 ,又 (分数:2.50)A.x=0 为 f(x)的极大点B.
24、x=0 为 f(x)的极小点C.(0,0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 既不是 f(x)极值点,(0,0)也不是 y=f(x)的拐点解析:解析 由 得 ,f“(x)=-4x+g(x), 因为 , 所以存在 0,当 0|x| 时, 32.下列说法正确的是_ Af(x)在(a,b)内可导,若 Bf(x)在(a,b)内可导,若 Cf(x)在(-,+)内可导,若 Df(x)在(-,+)内可导,若 (分数:2.50)A.B.C.D. 解析:解析 设 ,当 时,f“(x)=0,其中 kZ,则 ,A 不对; 设 ,但 ,B 不对; 设 f(x)=x, ,但 f“(x)=1, 33.下列说法中正确的是_
25、(分数:2.50)A.若 f“(x0)0,则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0 取极大值,则当 x(x0-,x0)时,f(x)单调增加,当 x(x0,x0+)时,f(x)单调减少C.f(x)在 x0 取极值,则 f(x)在 x0 连续D.f(x)为偶函数,f“(0)0,则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析:解析 f“(0)=-10, , 当 时,f“(x)0 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少,A 不对; f(x)在 x=0 处取得极大值,但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调,B 不对; 34.设 f(x)二阶连续可导, (分数:2.50)A.f(2
26、)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2,f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值,(2,f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析 由 ,得 f“(2)=0,又由 ,则存在 0,当 0|x-2| 时,有35.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导,g(x)在 x=0 的邻域内连续,且 ,又 (分数:2.50)A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析 由 得 g(0)=g
27、“(0)=0,f“(0)=0, f“(x)=-4x+g(x),f“(0)=0,f“(x)=-4+g“(x),f“(0)=-40, 因为 ,所以存在 0,当 0|x| 时, 36.设 f(x)二阶连续可导,且 (分数:2.50)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析:解析 因为 f(x)二阶连续可导,且 ,所以 ,即 f“(0)=0又 ,由极限的保号性,存在 0,当 0|x| 时,有37.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x,且 f“(0)=0,则_(分数:
28、2.50)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0,f(0)是 y=f(x)的拐点 D.(0,f(0)不是 y=f(x)的拐点解析:解析 由 f“(0)=0 得 f“(0)=0,f“(x)=1-2f“(x)f“(x),f“(0)-10,由极限保号性,存在0,当 0|x| 时,f“(x)0,再由 f“(0)=0,得38.下列说法正确的是_(分数:2.50)A.设 f(x)在 x0 二阶可导,则 f(x)在 x=x0 处连续B.f(x)在a,b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a,b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,
29、且 f(x)在(a,b)内有唯一的极值点,则该极值点一定为最值点 解析:解析 令 f“(0)=0,但39.设 f(x)在a,+)上二阶可导,f(a)0,f“(a)=0,且 f“(x)k(k0),则 f(x)在(a,+)内的零点个数为_(分数:2.50)A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析:解析 因为 f“(a)=0,且 f“(x)k(k0),所以 f(x)=f(a)+f“(a)(x-a)+ ,其中 介于 a与 x 之间而 =+,故40.设 k0,则函数 (分数:2.50)A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析:解析 函数 f(x)的定义域为(0,+),由 得 x=e,当 0xe 时,f“(x)0;当 xe 时,f“(x)0,由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点,最大值为 f(e)=k0,又