1、考研数学一-431 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设有以下结论： （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.f(0)=1 且 f“-(0)存在B.f(0)=0 且 f“-(0)存在C.f(0)=1 且 f“+(0)存在D.f(0)=0 且 f“+(0)存在3.二次积分 可以写成 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 k 的取值有关5.设 1 ， 2 ， 3 是线性方程组 Ax=0 的
2、基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为（分数：4.00）A.1+2，2+3，1+3B.1-2，2-3，3-1C.1，2，3 的一个等价的向量组D.1，2，3 的一个等秩的向量组6.设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 （分数：4.00）A.(1，2，1+3)B.(2，3，1)C.(1，2，33)D.(1+2，2+3，1+3)7.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 N(， 2 )(0)的简单随机样本， 为样本均值若 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 ，Y 的概率密度为 记 Z=X+2Y，则 A B C D （分数：
3、4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 n 是曲面 2x 2 +y 2 +2z 2 =5 在点 A(1，1，1)处的指向外侧的法向量，则函数 u=xy 2 z 3 在点 A处的沿方向 n 的方向导数为 1 （分数：4.00）12.设曲面为锥面 在柱体 x 2 +y 2 =1 内的部分，曲面的面密度 =1，则的质心的竖坐标 （分数：4.00）13.行列式 （分数：4.00）14.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之积小于 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求曲线 （分
4、数：10.00）_16.计算曲线积分 （分数：10.00）_17.设 4x 2 +4y 2 +3z 2 =32，证明 2xy+3yz16 （分数：10.00）_18.将函数 （分数：10.00）_19.已知函数 y=y(x)(0x1)满足微分方程 yy“=(y“) 2 ，且 y(0)=1已知曲线 y=y(x)与直线x=0，x=1，y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 e-1，求 D 绕 y 轴旋转所得的旋转体体积 （分数：10.00）_设线性方程组 （分数：11.00）(1).试讨论当 a，b 为何值时，线性方程组无解，以及有无穷多解；（分数：5.50）_(2).当线性方程组有无穷多解时，求
5、出其通解（分数：5.50）_设二次型 ，已知该二次型的矩阵 A=(a ij )的主对角线元素之和 ，且 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_(2).求二次型 f 的标准形（分数：5.50）_设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同， （分数：11.00）(1).求 PXY=2；（分数：5.50）_(2).求 X 与 Y 的相关系数 XY （分数：5.50）_设总体 X 的分布函数为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计值；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计值（分数：5.50）_考研数学一-431 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一
6、、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设有以下结论： （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先看结论 结论说的是定积分 (注意：很多同学都认为 是反常积分，其实不然，因为 存在)等于 0 现在来验证一下 请看如下定理： 设 是一个定积分，如果 f(x)在区间-a，a上连续且 f(x)在区间-a，a上是一个奇函数，则定积分 有同学认为 虽为奇函数，但在区间-1，1上并不连续，因此不能使用上述定理的确， 在区间-1，1上并不连续但由于定积分的被积函数在某一点处的函数值的大小是完全不重要的，所以可以把结论中所说的 改写为 这样一来，f(x)在区间-1，1上连续，且为奇函数，根据以上定
7、理可知，结论正确 再看结论 在 x=1，x=-1 处没有定义现在算一下 ，这两个极限只要有一个是就说明 是反常积分通过计算可知 和 这两个极限都是，所以 是反常积分，而不是定积分 结论说的是反常积分 等于 0 请看以下定理： 设 是一个反常积分，如果 f(x)在除 x=c 外的区间-a，a上连续，其中 c 为-a，a上的点，且f(x)在除c 外的区间-a，a上是一个奇函数，且 的值是一个常数，则反常积分 根据以上定理来验证一下 首先， 在区间-1，1上除了 x=1 外连续(也就是说 在区间(-1，1)内连续)，这是毫无疑问的 其次，说 在区间(-1，1)内是一个奇函数也对 最后来看 2.设函数
8、 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.f(0)=1 且 f“-(0)存在B.f(0)=0 且 f“-(0)存在C.f(0)=1 且 f“+(0)存在D.f(0)=0 且 f“+(0)存在 解析：解析 由于 ，又 ，所以 由于 f(x)在 x=0 处连续，所以 由于 ，所以 f(0)=0 由于 f(0)=0，所以 可以改写为 3.二次积分 可以写成 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意，积分区域在直角坐标系表示为 即是由 与 y 轴围成的图形(如下图)它在极坐标系中表示为 4.级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.收敛性
9、与 k 的取值有关解析：解析 显然， 收敛 因为 ，而 发散，故 5.设 1 ， 2 ， 3 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为（分数：4.00）A.1+2，2+3，1+3 B.1-2，2-3，3-1C.1，2，3 的一个等价的向量组D.1，2，3 的一个等秩的向量组解析：解析 设矩阵 A 有 n 列，其秩为 r，则线性方程组 Ax=0 的基础解析中的向量必须满足三个条件：是解、线性无关、个数为 n-r首先排除 C、D，因为第一个条件不一定满足A、B 均满足第一个条件和第三个条件，而 B 不满足第二个条件，故本题选择选项 A6.设 A 为 3 阶矩阵，P 为
10、3 阶可逆矩阵，且 （分数：4.00）A.(1，2，1+3)B.(2，3，1)C.(1，2，33) D.(1+2，2+3，1+3)解析：解析 题中说 7.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 N(， 2 )(0)的简单随机样本， 为样本均值若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 可知 8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 ，Y 的概率密度为 记 Z=X+2Y，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：e 2 解析 10. （分数：4.00）解析：1-ln2解
11、析 原式11.设 n 是曲面 2x 2 +y 2 +2z 2 =5 在点 A(1，1，1)处的指向外侧的法向量，则函数 u=xy 2 z 3 在点 A处的沿方向 n 的方向导数为 1 （分数：4.00）解析： 解析 记 F(x，y，z)=2x 2 +y 2 +2z 2 -5，则 F x (1，1，1)=4x| (1，1，1) =4， F y (1，1，1)=2y| (1，1，1) =2， F z (1，1，1)=4z| (1，1，1) =4， 故 n=(4，2，4)由于 又由于对于 n=(4，2，4)，有 因此所求方向导数为 12.设曲面为锥面 在柱体 x 2 +y 2 =1 内的部分，曲面的
12、面密度 =1，则的质心的竖坐标 （分数：4.00）解析： 解析 对于 ，有 ，则 故 13.行列式 （分数：4.00）解析：-12 解析 由范德蒙行列式直接可得 14.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之积小于 （分数：4.00）解析： 解析 用 X 和 Y 分别表示随机抽取的两个数，则 0X1，0Y1，X，Y 取值的所有可能结果对应的集合为以 1 为边长的正方形 ，其面积为 1事件“两个数之积小于 对应下图中的阴影部分 A，A 的面积为 故所求概率为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 y“=2x 3 e -3x2
13、，y“=6x 2 e -3x2 -12x 4 e -3x2 =6x 2 (1-2x 2 )e -3x2 令 y“=0，得 由于该函数为偶函数，故可先研究其在(0，+)内的凹凸性 x y“ + 0 - y 凹 拐点 凸 所以，曲线在 内是凹的，在 内是凸的 类似地，曲线在 内是凹的，在 内是凸的 当 时， 16.计算曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设有向线段 L 1 的方程为 y=0，起点为(1，0)，终点为(-1，0)，D 为由 L 和 L 1 围成的平面区域 于是 根据格林公式， 又 故 17.设 4x 2 +4y 2 +3z 2 =32，证明 2xy+3yz16 （
14、分数：10.00）_正确答案：()解析：证 记 f(x，y，z)=2xy+3yz，引入辅助函数 L(x，y，z，)=f(x，y，z)+(4x 2 +4y 2 +3z 2 -32) 列方程组 解之得可能的极值点(1，2，2)，(-1，2，-2)，(1，-2，2)，(-1，-2，-2)， 由 f(1，2，2)=16，f(-1，2，-2)=-16，f(1，-2，2)=-16，f(-1，-2，-2)=16， 18.将函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为 又 所以 由 19.已知函数 y=y(x)(0x1)满足微分方程 yy“=(y“) 2 ，且 y(0)=1已知曲线 y=y(x)与
15、直线x=0，x=1，y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 e-1，求 D 绕 y 轴旋转所得的旋转体体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=p(y)，则 ，于是 分离变量得 两端积分得 ln|p|=ln|y|+ln|C 1 |， 从而 p=y“=C 1 y， 即 分离变量得 两端积分得 ln|y|=C 1 x+ln|C 2 |， 即 y=C 2 e C1x 由 y(0)=1 得 C 2 =1，故 y=e C1x 由题意， ，解得 C 1 =1，因此 y=e x 故所求体积为 设线性方程组 （分数：11.00）(1).试讨论当 a，b 为何值时，线性方程组无解，以及有无穷
16、多解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 a=0 时，矩阵 变为 而 在 a=0 的前提下，若 b=2，则矩阵变为 由于 r(A)=r(A，b)n，所以当 a=0 且 b=2 时，方程组有无穷多解 在 a=0 的前提下，若 b2，则矩阵变为 ，而 由于 r(A)=2，r(A，b)=3，所以当 a=0 且 b2 时，该方程组无解 当 a0 时，矩阵 变为 ，而 (2).当线性方程组有无穷多解时，求出其通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 a=0 且 b=2 时，易求得方程组的通解为 其中 设二次型 ，已知该二次型的矩阵 A=(a ij )的主对角线元素之和 ，且 （分数
17、：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 二次型的对应矩阵为 由 可知 由 (2).求二次型 f 的标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 把第一小问求得的 a=1，b=2 代入到二次型的对应矩阵 A 中，得 易求得正交矩阵为 标准形为 设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同， （分数：11.00）(1).求 PXY=2；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 PX 2 +Y 2 =5=1 可知(X，Y)的概率分布为 (2).求 X 与 Y 的相关系数 XY （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由(X，Y)的概率分布可知 Z=
18、XY 的概率分布为 Z 2 12 P 由于 ，故 C OV (X，Y)=E(XY)-EXEY=-1 又由于 ，故 设总体 X 的分布函数为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 X 的概率密度为 令 ，解得 故 的矩估计值为 (2).求 的最大似然估计值（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 记 x 1 ，x 2 ，x n 为样本 X 1 ，X 2 ，X n 的观测值，则似然函数为 当 maxx 1 ，x 2 ，x n 时，L()0，取对数，得 由于 ，故当 =maxx 1 ，x 2 ，x n 时，L()达到最大，从而 的最大似然估计值为
