1、考研数学一-431 (1)及答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：97.00)1.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续 （分数：3.00）_2.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：3.00）_3. （分数：3.00）_4.求 （分数：3.00）_5.设 （分数：3.00）_6.求函数 （分数：3.00）_7.求极限 （分数：3.00）_8.求极限 （分数：3.00）_9.证明： （分数：3.00）_10.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln
2、(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x 有|f(x)|e x -1|证明：|a 1 +2a 2 +na n |1 （分数：3.00）_11.求极 （分数：3.00）_12.设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：3.00）_13.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：3.00）_14.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k
3、 n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f() （分数：3.00）_15.求 （分数：3.00）_16.设 （分数：3.00）_17.设 x=x(t)由 确定，求 （分数：3.00）_18.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点 （分数：3.00）_19.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)=e x2+x+1 ，f(0)=3，求 “(3) （分数：3.00）_20.设 f(x)连续， ，且 （分数：3.00）_21.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)-2e x |(x-1)
4、 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性 （分数：3.00）_22.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：3.00）_23.设 （分数：3.00）_设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， （分数：3.00）(1).存在 （分数：1.50）_(2).对任意的 k(-，+)，存在 (0，)，使得 f“()-kf()-=1（分数：1.50）_24.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 ，又 f(2)= （分数：3.00）_25.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0， （分数：3.00）_26.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内
5、可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2- =(e a +e b )f“()+f() （分数：3.00）_27.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：3.00）_28.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4 （分数：3.00）_29.设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f“(x)|1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： （分数：2.00）_设 f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：（分数：2.00）(1).内任
6、一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x；（分数：1.00）_(2). （分数：1.00）_30.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_31.f(x)在-1，1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：存在 (-1，1)，使得f“()=3 （分数：2.00）_32.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_考研数学一-431 (1)答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、解答题
7、(总题数：34，分数：97.00)1.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x)e x0-x f(x 0 )， 令 ，由夹逼定理得 f(x 0 -0)=f(x 0 )； 当 xx 0 时，有 故 e x0-x f(x 0 )f(x)f(x 0 )， 令 2.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：3.00）_正确答案：()
8、解析：证明 令 ，取 ，因为 ，所以存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 ，从而 3. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 x=k(k=0，-1，-2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点； 由 得 x=-2 为可去间断点； 当 x=k(k=-1，-3，-4，)时， 由 得 x=k(k=-1，-3，-4，)为第二类间断点； 由 4.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x)的间断点为 x=0，-1，-2，及 x=1 当 x=0 时， ，则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=-1 时，
9、，则 x=-1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=-2，-3，)时， ，则 x=k(k=-2，-3，)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1 时，因为 5.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 首先 ， 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 6.求函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 因为 所以函数 为奇函数，于是 解得 即函数 7.求极限 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 8.求极限 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，且 当 x0 时， 则 9.证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证
10、明 当 x1，2时有 ，则 ， 当 x2，3时有 ，则 ， 当 xn，n+1时有 ，则 ， 从而有 又当 x1，2时， ， 当 x2，3时， ， 当 xn-1，n时， ， 从而有 ， 故 ，于是 ， 由夹逼定理得 10.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x 有|f(x)|e x -1|证明：|a 1 +2a 2 +na n |1 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 当 x0 时，由|f(x)|e x -1|得 ， 而 且 11.求极 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由
11、 ，得 而 由夹逼定理得 12.设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 x n+1 -x n =f(x n )-f(x n-1 )=f“( n )(x n -x n-1 )，因为 f“(x)0，所以 x n+1 -x n 与 x n -x n-1 同号，故x n 单调 即x n 有界，于是 存在， 根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n+1 =f(x n )两边令 n，得 13.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 设 1
12、4.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f() （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)， 所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1
13、f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， 即 由介值定理，存在 a，b，使得 15.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 由 得 ，令 f“(x)=0 得 x=e 当 x(0，e)时，f“(x)0；当 x(e，+)时，f“(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大点， 于是 的最大项为 ， 因为 ，所以最大项为 16.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当|x|1 时， ； 当 x1 时，y“=1；当 x-1 时，y“=-1； 由 得 y 在 x=-1 处不连续，故 y“(-1)不存在； 由 得 ， 由 得
14、y“ + (1)=1， 因为 y“ - (1)y“ + (1)，所以 y 在 x=1 处不可导， 故 17.设 x=x(t)由 确定，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 t=0 代入 ， 再由 e -u2 0 得 x=1， 两边对 t 求导得 ，从而 ， 两边再对 t 求导得 将 t=0，x=1， 代入得 18.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 x 3 -3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 ，解得 ， 令 得 y=x 2 ，代入 x 3 -3xy+y 3 =3 得 x=-
15、1 或 ， 因为 ，所以 x=-1 为极小点，极限值为 y=1； 因为 ，所以 为极大点，极大值为 19.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)=e x2+x+1 ，f(0)=3，求 “(3) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，而 f“(0)=e，所以 ， f“(x)=(2x+1)e x2+x+1 ，f“(0)=e， 因为 所以 20.设 f(x)连续， ，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， ， 当 x=0 时， ， 则 因为 21.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)-2e x |(x-1) 2
16、 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以|x-1|，得 而 22.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(0)=f“(0)=0， 又 则 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率为 23.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 由 f(x)在 x=0 处可导，得 b=1，即 于是 由 f“(0)存在，得 ，即 设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)
17、内可导，f(0)=0， （分数：3.00）(1).存在 （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=f(x)-x，(x)在0，1上连续， ，(1)=-10， 由零点定理，存在 (2).对任意的 k(-，+)，存在 (0，)，使得 f“()-kf()-=1（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 设 F(x)=e -kx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F“()=0，整理得 f“()-kf()-=124.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 ，又 f(2)= （分数：3.00）
18、_正确答案：()解析：证明 由 ，得 f(1)=-1， 又 ，所以 f“(1)=0 由积分中值定理得 ，其中 ， 由罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f“(x 0 )=0 令 (x)=e x f“(x)，则 (1)=(x 0 )=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) 25.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而|f(x)|在0，1上连续，故|f(x)|在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得|f(x 0 )|=M 当 x 0 =0 时，则 M
19、=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0 时，M=|f(x 0 )|-|f(x 0 )-f(0)|=|f“()|x 0 |f“()| 26.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2- =(e a +e b )f“()+f() （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 再由 f(a)=f(b)=1，得 ， 从而 ， 令 (x)=e 2x ，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 27.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：3.00
20、）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， ，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=-1，再由费马定理知 f“(c)=0， 根据泰勒公式 整理得 当 时， ，取 = 1 ； 当 时， 28.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S“(
21、0)=0，S(1)=1，S“(1)=0由泰勒公式 两式相减，得 S“( 2 )-S“( 1 )=-8 29.设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f“(x)|1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式得 两式相减，得 两边取绝对值，再由|f“(x)|1，得 设 f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：（分数：2.00）(1).内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x；（分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 对任意 x(-1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f
22、(0)+xf“(x)x，其中 0(x)1 因为 f“(x)C(-1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在(-1，1)内保号，不妨设 f“(x)0， 则 f“(x)在(-1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的(2). （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f“(0)x+ ，其中 介于 0 与 x 之间， 而 f(x)=f(0)+xf“(xx，所以有 令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 30.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明
23、 由泰勒公式得 即 两式相减得 取绝对值得 (1)当|f“( 1 )|f“( 2 )|时，取 = 1 ，则有 ； (2)当|f“( 1 )|f“( 2 )|时，取 = 2 ，则有 31.f(x)在-1，1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：存在 (-1，1)，使得f“()=3 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式得 即 两式相减得 f“( 1 )+f“( 2 )=6 因为 f(x)在-1，1上三阶连续可导，所以 f“(x)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf“( 1 )+f“( 2 )2M，即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理，存在 1 ， 2 32.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 其中 两式相加得 因为 f“(x)在(a，b)内连续，所以 f“(x)在 1 ， 2 上连续，从而 f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 ， 由介值定理，存在 1 ， 2 (a，b)，使得 ， 故
