1、考研数学一-430 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，其一阶导数除 x=a 外都存在，并且其一阶导数的图形如下图所示，则 f(x) （分数：4.00）A.有两个极大值点，一个极小值点，一个拐点B.有一个极大值点，一个极小值点，两个拐点C.有一个极大值点，一个极小值点，一个拐点D.有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是 A若 ，则 f(0)=0 B若 ，则 f(0)=0 C若 ，则 f“(0)=A D若 则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数
2、 f(u，v)连续， ，则 Af(x，y) Bf(y，x) C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列各选项正确的是 A若 收敛，则 都收敛 B若 收敛，则 收敛 C若 收敛，则 收敛 D若正项级数 发散，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 4 线性相关，则（分数：4.00）A.4 必可由 1，2，3 线性表出B.4 必不能由 1，2，3 线性表出C.1 必可由 2，3，4 线性表出D.2 必不能由 1，3，4 线性表出6.设矩阵 A 的列数为 n，则下列各选项正确的是（分数：4.00）A.若方程组 Ax=0 只有零解，则
3、方程组 Ax=b 有唯一解B.若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 Ax=b 有无穷多解C.若方程组 Ax=b 有两个不同的解，则方程组 Ax=0 有无穷多解D.方程组 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是 A 的秩为 n7.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y=X 2 ，则 A.YF(n，1) B.YF(1，n) C.Y 2(n) D.Y 2(n-1)（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 都服从二项分布 （分数：4.00）A.PY=X-3=1B.PY=-X-3=1C.PY=X+3=1D.PY=-X+3=1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 y=x ax
4、 ，则 y“= 1 （分数：4.00）10.曲线 ，与直线 （分数：4.00）11.微分方程 2y=(14y 3 -x)y“满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为 y= 1 （分数：4.00）12.若是曲面 z=1-x 2 -y 2 (z0)的上侧，则曲面积分 （分数：4.00）13.设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1，9，2记 B=A 3 -3A 2 ，则|B|= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 z=z(x，y)是由 2x 2 -2xy+4xz+y
5、 2 +12z 2 -8=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_17.设二元函数 计算二重积分 （分数：10.00）_18.将函数 f(x)=x 2 (0x2)展开成余弦级数，并求 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在区间-2，2上有一阶连续的导数，在(-2，2)内二阶可导，且|f(x)|1，f“(0)1，证明：存在 (-2，2)，使得 f“()=0 （分数：10.00）_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O（分数：11.00）(1).证明矩阵 A，A+2E，A+4E 可逆，并求出它们的逆矩阵；（分数：5.50）_(2).当 AE 时
6、，判断矩阵 A+3E 是否可逆，并说明理由（分数：5.50）_设二次型 （分数：11.00）(1).求实数 a 的值；（分数：5.50）_(2).求二次型 f 的标准形（分数：5.50）_设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Y 的概率密度 f Y (y)；（分数：5.50）_(2).求方差 DY（分数：5.50）_第一个盒中有 2 个白球，3 个黑球；第二个盒中有 1 个白球，2 个黑球现从第一个盒中随机地取出 2 个球，记 X 为取出的白球个数，Y 为取出的黑球个数（分数：11.00）(1).求二维随机变量(X，Y)的概率分布；（分数：5.50）_(2).若将从第一
7、个盒中取出的 2 个球放入第二个盒中，然后从第二个盒中随机地取出 1 个球，记 Z 为取出的黑球个数求 PX=2|Z=0（分数：5.50）_考研数学一-430 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，其一阶导数除 x=a 外都存在，并且其一阶导数的图形如下图所示，则 f(x) （分数：4.00）A.有两个极大值点，一个极小值点，一个拐点B.有一个极大值点，一个极小值点，两个拐点C.有一个极大值点，一个极小值点，一个拐点D.有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点 解析：解析 为方便表示，故在图中加上字母(如下图所示)
8、一共加了两个字母，分别是 x 1 ，x 2 关注极值点 2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是 A若 ，则 f(0)=0 B若 ，则 f(0)=0 C若 ，则 f“(0)=A D若 则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 采用举例法请注意：举的例子必须要满足 f(x)在 x=0 处连续的条件，还要满足 存在的条件 举例如下： 现讨论 f(x)在 x=0 处是否可导，利用可导的定义来讨论也就是说，计算 由于 所以 由于 ，所以 3.设函数 f(u，v)连续， ，则 Af(x，y) Bf(y，x) C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 交换积分次序
9、，则有 记 ，则 两边再对 y 求导， 4.下列各选项正确的是 A若 收敛，则 都收敛 B若 收敛，则 收敛 C若 收敛，则 收敛 D若正项级数 发散，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 取 ，排除 A；取 ，排除 B；取 ，排除 D对于 C，因为 而 收敛，故 收敛，从而 5.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 4 线性相关，则（分数：4.00）A.4 必可由 1，2，3 线性表出 B.4 必不能由 1，2，3 线性表出C.1 必可由 2，3，4 线性表出D.2 必不能由 1，3，4 线性表出解析：解析 由于 1 ， 2 ， 4 线性相关，所以 1 ，
10、2 ， 3 ， 4 线性相关由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关， 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出6.设矩阵 A 的列数为 n，则下列各选项正确的是（分数：4.00）A.若方程组 Ax=0 只有零解，则方程组 Ax=b 有唯一解B.若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 Ax=b 有无穷多解C.若方程组 Ax=b 有两个不同的解，则方程组 Ax=0 有无穷多解 D.方程组 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是 A 的秩为 n解析：解析 题中说 Ax=b 有两个不同的解，故 Ax=b 有无穷多组解，因此有 r(A)=r(A，b)n而 Ax=0有无
11、穷多解说明 r(A)n很明显由 r(A)=r(A，b)n 可以推出 r(A)n7.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y=X 2 ，则 A.YF(n，1) B.YF(1，n) C.Y 2(n) D.Y 2(n-1)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设随机变量 UN(0，1)，V 2 (n)，且 U 与 V 相互独立，则 因此 8.设随机变量 X 与 Y 都服从二项分布 （分数：4.00）A.PY=X-3=1B.PY=-X-3=1C.PY=X+3=1D.PY=-X+3=1 解析：解析 由于 X 与 Y 都服从二项分布 ，故 由于 XY =-1，故存在常数 a，b(其中 a0)，使 PY
12、=aX+b=1 由 EY=aEX+b 可知 ，由 DY=a 2 DX 可知 解方程组 得 或 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 y=x ax ，则 y“= 1 （分数：4.00）解析： 解析 两边取对数，得 lny=a x lnx 两边求导，得 从而 10.曲线 ，与直线 （分数：4.00）解析： 解析 设切点为 ，则 由题意，T 与已知直线的方向向量 s=(3，-3，1)垂直，故 解得 t 0 =1，于是切点为 N(1，1，1)，T=(1，2，3)，所求切线方程为 11.微分方程 2y=(14y 3 -x)y“满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为 y= 1 （分数：
13、4.00）解析： 解析 将微分方程变形为 ，这是一阶线性微分方程，其通解为 以 y| x=2 =1 代入上式，得 C=0，于是 x=2y 3 ，即 12.若是曲面 z=1-x 2 -y 2 (z0)的上侧，则曲面积分 （分数：4.00）解析： 解析 如下图所示，设 1 为 xOy 面上被圆 x 2 +y 2 =1 所围部分的下侧， 为由和 1 围成的空间区域 根据高斯公式，原式 13.设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1，9，2记 B=A 3 -3A 2 ，则|B|= 1 （分数：4.00）解析：7776 解析 由于矩阵 A 的三个特征值是-1，9，2，所以矩阵 B=A 3 -3A 2 的三个特
14、征值是-4，486，-4，故矩阵 B=A 3 -3A 2 所对应的行列式|A 3 -3A 2 |=(-4)486(-4)=777614.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 （分数：4.00）解析： 解析 由题意，X 的概率分布为 ，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1= ，且 Z 的取值只有 0 和 1 故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.设 z=z(x，y)是由 2x 2 -2xy+4xz+y 2 +12z 2 -8=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解
15、 两边分别对 x 和 y 求导，得 令 得 解得 将上式代入 2x 2 -2xy+4xz+y 2 +12z 2 -8=0，可得 或 由于 故对于点(2，2，-1)，有 因为 ，又 ，所以点(2，2)是函数 z=z(x，y)的极小值点，极小值为 z(2，2)=-1 类似地，对于点(-2，-2，1)，有 因为 ，又 17.设二元函数 计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图所示，记 故 18.将函数 f(x)=x 2 (0x2)展开成余弦级数，并求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 对 f(x)先作偶延拓，后作周期延拓，得到以 4 为周期的偶函数 F(x)，它
16、在(-2，2上的表达式为 F(x)=x 2 由于 F(x)是偶函数，b n =0(n=1，2，3，)， 所以， ，即 令 x=0，则 ，从而 19.设函数 f(x)在区间-2，2上有一阶连续的导数，在(-2，2)内二阶可导，且|f(x)|1，f“(0)1，证明：存在 (-2，2)，使得 f“()=0 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 使用带拉格朗日型余项的麦克劳林公式，有 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O（分数：11.00）(1).证明矩阵 A，A+2E，A+4E 可逆，并求出它们的逆矩阵；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 所以，矩阵 A 可逆，且
17、由于 ，所以矩阵 A+2E 可逆，且 由于 A 2 +2A-3E=O，所以 A 2 +2A-8E=-5E 而 A 2 +2A-8E=(A+4E)(A-2E)，即(A+4E)(A-2E)=-5E所以，矩阵 A+4E 可逆，且 (2).当 AE 时，判断矩阵 A+3E 是否可逆，并说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 AE 时，A-EO 由于 A 2 +2A-3E=O，因式分解得(A+3E)(A-E)=O 令 A-E=( 1 ， 2 ， n )，其中的每一列都是齐次线性方程组(A+3E)x=0 的解，而 A-E 不是零矩阵，说明 1 ， 2 ， n )中至少有一个向量不为 0，即
18、齐次线性方程组(A+3E)x=0 有非零解 故矩阵 A+3E 不是可逆矩阵设二次型 （分数：11.00）(1).求实数 a 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 二次型的矩阵为 (2).求二次型 f 的标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 把上一小问求出的 a=2 代入(2-)( 2 -6+9-a 2 )=0 中，则有 (2-)( 2 -6+5)=0 由上式可解得 1 =1， 2 =2， 3 =5 所以，该二次型的标准形是 设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 Y 的概率密度 f Y (y)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 Y 的分布
19、函数为 当 y1 时，F Y (y)=0； 当 1ye 时， 当 eye 2 时， 当 ye 2 时，F Y (y)=1 故 Y 的概率密度为 (2).求方差 DY（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 第一个盒中有 2 个白球，3 个黑球；第二个盒中有 1 个白球，2 个黑球现从第一个盒中随机地取出 2 个球，记 X 为取出的白球个数，Y 为取出的黑球个数（分数：11.00）(1).求二维随机变量(X，Y)的概率分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 (X，Y)的概率分布为 (2).若将从第一个盒中取出的 2 个球放入第二个盒中，然后从第二个盒中随机地取出 1 个球，记 Z 为取出的黑球个数求 PX=2|Z=0（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由全概率公式， 由贝叶斯公式，
