1、考研数学一-430 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：14.00)1. （分数：1.00）2. （分数：1.00）3. （分数：1.00）4. （分数：1.00）5.当 x0 时，x-sinxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2 （分数：1.00）6. （分数：1.00）7.设 （分数：1.00）8. ，则 （分数：1.00）9.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，则 （分数：1.00）10.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：1.00）11.设 f(x)连续，且 ，则 （分数：1
2、.00）12. （分数：1.00）13.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：1.00）14.设 （分数：1.00）二、选择题(总题数：9，分数：9.00)15.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx ，则_ Aa= ，b=1，c=0 Ba= ，b=1，c=0 Ca= （分数：1.00）A.B.C.D.16.设 （分数：1.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小17.设 （分数：1.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小18.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是_ A若a n 与b n 都发散，则a
3、n b n 一定发散 B若a n )与b n 都无界，则a n b n 一定无界 C若a n )无界且 D若 a n 为无穷大，且 （分数：1.00）A.B.C.D.19.设 在(-，+)内连续，且 （分数：1.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b020.设 (xa)，则 等于_ Ae Be 2 C1 D （分数：1.00）A.B.C.D.21.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得_（分数：1.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，
4、f(x)是单调减函数22.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：1.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他23.下列命题正确的是_ A若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续 B若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续 C若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续 D若 （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：20，分数：77.00)24. （分数：4.00）_25. （
5、分数：4.00）_26.设 f(x)连续可导， ，求 （分数：4.00）_27.设 f“(0)=6，且 ，求 （分数：4.00）_28.设 （分数：4.00）_29.已知 （分数：4.00）_30.确定 a，b，使得 x-(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小 （分数：4.00）_31.设 （分数：4.00）_32.确定常数 a，b，c，使得 （分数：4.00）_33.设 其中 f(x)连续，求 （分数：4.00）_34.求 （分数：4.00）_35.求 （分数：4.00）_36.求 （分数：4.00）_37. （分数：4.00）_38.设 f“(x)连续，f(0)=0
6、，f“(0)0， （分数：4.00）_39.设 f(x)在1，+)内可导，f“(x)0 且 ，令 证明：a n 收敛且 （分数：4.00）_40.设 a0，x 1 0，且定义 ，证明： （分数：4.00）_41.设 a 1 =1，当 n1 时， （分数：3.00）_设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：3.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c；（分数：1.50）_(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：1.50）_42.设 （分数：3.00）_考研数学一-430 (1)答案解析(总分：100.00，做
7、题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：14.00)1. （分数：1.00）解析：1 解析 因为 ， 所以 2. （分数：1.00）解析： 解析 则 3. （分数：1.00）解析： 解析 由 ，得 4. （分数：1.00）解析： 解析 因为 x0 时， ， 所以 由于 又 于是原式 5.当 x0 时，x-sinxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2 （分数：1.00）解析： 3 解析 因为 x0 时， ， 所以 ，故 6. （分数：1.00）解析：解析 7.设 （分数：1.00）解析：2 解析 8. ，则 （分数：1.00）解析： 解析 由 得 9.设 f“(x)连续，f(
8、0)=0，f“(0)=1，则 （分数：1.00）解析：0解析 10.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：1.00）解析：1 解析 因为 所以 11.设 f(x)连续，且 ，则 （分数：1.00）解析：1 解析 则 12. （分数：1.00）解析：2 解析 当 x0 时，有 ，则 ， 原式= 13.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：1.00）解析： 解析 由 ，且 ，则曲线 y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 14.设 （分数：1.00）解析：-1 1 解析 f(0)=3， 二、选择题(总题数：9，分数：9.00)15.设当 x0 时，有 a
9、x 3 +bx 2 +cx ，则_ Aa= ，b=1，c=0 Ba= ，b=1，c=0 Ca= （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 x0 时， ， 所以 ，显然 c=0， 再由 16.设 （分数：1.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析 因为17.设 （分数：1.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：解析 由 得 n=5，x0 时， ； 由 得 m=6，x0 时， 18.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是_ A若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散 B若a n
10、 )与b n 都无界，则a n b n 一定无界 C若a n )无界且 D若 a n 为无穷大，且 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 不对，如 a n =2+(-1) n ，b n =2-(-1) n ，显然a n 与b n 都发散，但 a n b n =3， 显然a n b n 收敛；B、C 都不对，如 a n =n1+(-1) n ，b n =n1-(-1) n ，显然a n 与b n 都无界，但 a n b n =0，显然a n b n 有界且 19.设 在(-，+)内连续，且 （分数：1.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析 因为
11、 在(-，+)内连续，所以 a0，又因为20.设 (xa)，则 等于_ Ae Be 2 C1 D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，所以 ， 于是 21.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得_（分数：1.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析 因为 f“(0)0，所以 ，根据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时，有22.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e
12、 x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：1.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析 因为 f(0)=f“(0)=0，所以 f“(0)=2，于是 23.下列命题正确的是_ A若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续 B若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续 C若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续 D若 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 令 显然|f(x)|1 处处连续，然而 f(x)处处间断，A 不对； 令 显然 f(x)在 x=0
13、处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故 C 不对；令 显然 ，但 f(x)在 x=0 处不连续，D 不对；若 f(x)在 x=a 处连续，则 ，又 0|f(x)|-|f(a)|f(x)-f(a)|，根据夹逼定理， 三、解答题(总题数：20，分数：77.00)24. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 25. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 26.设 f(x)连续可导， ，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 ， x0 时， 得 27.设 f“(0)=6，且 ，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(0)=0，f“(0)=
14、0， 28.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 29.已知 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 于是由 ，解得 或 30.确定 a，b，使得 x-(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 y=x-(a+bcosx)sinx， y“=1+bsin 2 x-(a+bcosx)cosx， y“=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x， y“=acosx+4bcos2x， 显然 y(0)=0，y“(0)=0， 所以令 y“(0)=y“(0)=0 得 解得
15、 ， 故当 31.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 x0 时， ， 于是 32.确定常数 a，b，c，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 得 b=-1； 由 得 于是 方法二 由 从而 于是 解得 33.设 其中 f(x)连续，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ，于是 34.求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 而 则 35.求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 36.求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 37. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以原式 38.设
16、f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则 n-2=2，n=4，且 39.设 f(x)在1，+)内可导，f“(x)0 且 ，令 证明：a n 收敛且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 a n+1 -a n =f(n+1)- f(x)dx=f(n+1)-f()0(n，n+1)， 所以a n 单调减少 因为 ，而 且 ，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+)，故 a n f(n)0，所以 存在 由 而 ，所以 a n f(1)，从而 4
17、0.设 a0，x 1 0，且定义 ，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 从而 故 单调减少，再由 x n 0(n=2，3，)，则 存在， 令 ，等式 两边令 n得 ，解得 41.设 a 1 =1，当 n1 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，因为 ，所以数列a n 单调 又因为 a 1 =1，0a n+1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 ，则有 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：3.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c；（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=f(x)-1+2x，(0)=-1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=1-2c(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， 由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M，得 ， 由介值定理，存在 0，2，使得 42.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 取 0 =1，因为
