1、考研数学一-429 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：14.00)1.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， ，则 1， （分数：1.00）2.设 X 为总体，E(X)=，D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，S n = （分数：1.00）3.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1 （分数：1.00）4.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则 （分数
2、：1.00）5.设随机变量 XN(1，2)，YN(-1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 a(X+Y) 2 +bZ 2 2 (n)，则 a= 1，b= 2，n= 3 （分数：1.00）6.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= （分数：1.00）7.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 + （分数：1.00）8.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 ，X n+m
3、 )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量 U= （分数：1.00）9.设 UN(，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 （分数：1.00）10.设 X 为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX= 2 ，令 ，则 （分数：1.00）11.设总体 X 的分布律为 P(X=i)= （分数：1.00）12.设总体 X 的分布律为 （分数：1.00）13.设正态总体 X 的方差为 1，根据来自总体 X 的容量为 100 的简单随机样本测得样本的均值为 5，则总体X 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 1 （分数：1.00）
4、14.某产品废品率为 3%，采用新技术后对产品重新进行抽样检验，检查是否产品次品率显著降低，取显著性水平为 0.05，则原假设为 H 0 ： 1，犯第一类错误的概率为 2 （分数：1.00）二、选择题(总题数：9，分数：9.00)15.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.16.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则_ A BnS 2 2 (n) C D （分数：1.00）A.B.C.D.17.设 Xt(2)，则 （分数：1.00）A.B.C.D.18
5、.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF (m，n)=(01)，若 P(Xk)=，则 k 等于_ AF (m，n) BF 1- (m，n) C D （分数：1.00）A.B.C.D.19.设 X，Y 都服从标准正态分布，则_ A.X+Y 服从正态分布 B.X2+Y2服从 2分布 C.X2，Y 2都服从 2分布 D.X2/Y2服从 F 分布（分数：1.00）A.B.C.D.20.设随机变量 XF(m，m)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则_（分数：1.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小与自由度 m 有关21.总体 XN(，5 2 )，则总体参数 的置信度为 1- 的置信区间
6、的长度_（分数：1.00）A.与 无关B.随 的增加而增加C.随 的增大而减少D.与 有关但与 的增减性无关22.设总体 XN(， 2 )，其中 2 未知， ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1- 的置信区间为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.23.在假设检验中，H 0 为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是_（分数：1.00）A.H0 为假，接受 H0B.H0 为真，拒绝 H0C.H0 为假，拒绝 H0D.H0 为真，接受 H0三、解答题(总题数：18，分数：77.00)24.设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2 ，用切比雪夫不等式估
7、计 P|X-|3 （分数：5.00）_25.设 X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，令 ，问 n 多大时才能使 （分数：5.00）_26.一批种子中良种占 ，从中任取 6000 粒，计算这些种子中良种所占比例与 （分数：5.00）_某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，用 X 表示抽取的 100 个索赔户中被盗索赔户的户数（分数：5.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：2.50）_(2).用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值（分数：2.50）_27.设总体 XN(0， 2
8、 )，X 1 ，X 2 ，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 （分数：5.00）_28.设总体 XN(0，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计是 （分数：4.00）_29.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 （分数：4.00）_30.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 1.5 的概率 （分数：4.00）_31.设总体 X 的分布律为 P(X=k)=(1-p) k-1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X
9、n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量 （分数：4.00）_32.设总体 X 的密度函数为 （分数：4.00）_设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：2.00）_(2).该估计量是否是无偏估计量?说明理由（分数：2.00）_33.设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）_34.设总体 X 的密度函数为 （分数：4.00）_设总体 X 的密度函数为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_35.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 （分数：4.00）_36.一自动生
10、产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布 N(， 2 )，任取 9 袋测得其平均重量为 （分数：4.00）_37.某厂生产某种产品，正常生产时，该产品的某项指标服从正态分布 N(50，3.8 2 )，在生产过程中为检验机器生产是否正常，随机抽取 50 件产品，其平均指标为 x=51.26(设生产过程中方差不改变)，在显著性水平为 =0.05 下，检验生产过程是否正常 （分数：4.00）_38.某批木材的直径服从正态分布，从中随机抽取 20 根，测得平均直径为 x=32.5cm，样本标准差为15问在显著性水平为 0.05 下，是否可以认为这批木材的直径为 30cm? （分数：4.00）_考研数学一
11、-429 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：14.00)1.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， ，则 1， （分数：1.00）解析： 解析 2.设 X 为总体，E(X)=，D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，S n = （分数：1.00）解析： 2 解析 由 ，得 由 ，得 3.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1 （分数：1.00）解析： 解析 因为 ，所以 ， 4.设总体
12、XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则 （分数：1.00）解析： 2 (1) 解析 因为 ，即 N(2，1)，所以 -2N(0，1)，于是 5.设随机变量 XN(1，2)，YN(-1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 a(X+Y) 2 +bZ 2 2 (n)，则 a= 1，b= 2，n= 3 （分数：1.00）解析： 2 解析 由 XN(1，2)，YN(-1，2)，ZN(0，9)，得 X+YN(0，4) 且 ，故 6.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= （分数：1.00
13、）解析： 9 解析 因为 X i N(0，3 2 )(i=1，2，9)，所以 N(0，1)(i=1，2，9)且相互独立， 故 7.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 + （分数：1.00）解析： 3 解析 因为 X 1 -2X 2 N(0，20)，3X 3 -4X 4 N(0，100)，X 5 N(0，4)， 所以 于是 故 8.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 ，X n+m )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量 U= （分数：1.0
14、0）解析：解析 因为 ，且 相互独立，所以9.设 UN(，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 （分数：1.00）解析：解析 由 UN(，1)，得 ，又 U，V 相互独立，则 10.设 X 为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX= 2 ，令 ，则 （分数：1.00）解析：解析 11.设总体 X 的分布律为 P(X=i)= （分数：1.00）解析： 解析 ， 令 ，则 的矩估计量为 12.设总体 X 的分布律为 （分数：1.00）解析： 解析 L()= 2 (1-2) 2 = 4 (1-2)，lnL()=4ln+ln(1-2) 令 ，得参数
15、的极大似然估计值为 13.设正态总体 X 的方差为 1，根据来自总体 X 的容量为 100 的简单随机样本测得样本的均值为 5，则总体X 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 1 （分数：1.00）解析：(4.804，5.196) 解析 XN(，1)，取统计量 ，则 的置信度为 0.95 的置信区间为 14.某产品废品率为 3%，采用新技术后对产品重新进行抽样检验，检查是否产品次品率显著降低，取显著性水平为 0.05，则原假设为 H 0 ： 1，犯第一类错误的概率为 2 （分数：1.00）解析：p3% 5% 解析 原假设为 H 0 :p3%，犯第一类错误的概率为 5%二、选择题(
16、总题数：9，分数：9.00)15.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是_ A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为统计量为样本的无参函数，故选 B16.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则_ A BnS 2 2 (n) C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 17.设 Xt(2)，则 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 Xt(2)，所以存在 UN(0，1)，V 2 (2)，且 U，V 相互独立，使得 ， 则 ，因为 V 2 (2)，U
17、2 2 (1)且 V，U 2 相互独立，所以 18.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF (m，n)=(01)，若 P(Xk)=，则 k 等于_ AF (m，n) BF 1- (m，n) C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 根据左右分位点的定义，选 B19.设 X，Y 都服从标准正态分布，则_ A.X+Y 服从正态分布 B.X2+Y2服从 2分布 C.X2，Y 2都服从 2分布 D.X2/Y2服从 F 分布（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 X，Y 不一定相互独立，所以 X+Y 不一定服从正态分布，同理 B，D 也不对，选 C20.设随机变量 XF(m，
18、m)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则_（分数：1.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小与自由度 m 有关解析：解析 因为 XF(m，m)，所以 ，于是 q=P(X1)= 21.总体 XN(，5 2 )，则总体参数 的置信度为 1- 的置信区间的长度_（分数：1.00）A.与 无关B.随 的增加而增加C.随 的增大而减少 D.与 有关但与 的增减性无关解析：解析 总体方差已知，参数 的置信度为 1- 的置信区间为 ，其中 n 为样本容量，长度为 ，因为 越小，则22.设总体 XN(， 2 )，其中 2 未知， ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1- 的置信区间为_ A
19、B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 2 未知，所以选用统计量 ，故 的置信度为 1- 的置信区间为 23.在假设检验中，H 0 为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是_（分数：1.00）A.H0 为假，接受 H0B.H0 为真，拒绝 H0 C.H0 为假，拒绝 H0D.H0 为真，接受 H0解析：三、解答题(总题数：18，分数：77.00)24.设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2 ，用切比雪夫不等式估计 P|X-|3 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 25.设 X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1，X 1 ，
20、X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，令 ，问 n 多大时才能使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由切比雪夫不等式得 26.一批种子中良种占 ，从中任取 6000 粒，计算这些种子中良种所占比例与 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 6000 粒种子中良种个数为 X，则 ， E(X)=1000，D(X)= ， 某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，用 X 表示抽取的 100 个索赔户中被盗索赔户的户数（分数：5.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 XB(100，0.2)，即 X 的分布律为 (2).用拉普
21、拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 E(X)=20，D(X)=16， 27.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 N(0，10 2 )，于是 ，又因为 X 11 ，X 12 ，X 20 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 N(0，1)(i=11，12，20)，于是 ，又 独立，故 即 28.设总体 XN(0，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30
22、为总体 X 的简单随机样本，求统计是 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 X 1 ，X 2 ，X 30 相互独立且与总体 XN(0，2 2 )服从同样的分布 所以 ，同理 ， 且 相互独立， 于是 ，即 29.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 X 1 ，X 2 ，X 7 与总体服从相同的分布且相互独立，得 ， 于是 ， 查表得 ，故 30.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 1.5 的概率 （分数：4.00）_正确答
23、案：()解析：解 ，总体均值为 E(X)=， 则 31.设总体 X 的分布律为 P(X=k)=(1-p) k-1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ，令 ，得参数 p 的矩估计量为 L(p)=P(X=x 1 )P(X=x n )= ， 令 ，得参数 p 的极大似然估计量为 32.设总体 X 的密度函数为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 显然 E(X)=0， 由 ，得 的矩估计量为 ，则 ， 由 ，得 的最大似然估计值为 ，则参数 的最大似
24、然估计量为 设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本值，似然函数为 当 x i 0(i=1，2，n)时， ，令 =0，得 的最大似然估计值为 ，因此 的最大似然估计量为 (2).该估计量是否是无偏估计量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由于 ，而 E(X)=，所以 ，故33.设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：由于总体的均值为 ，令 E(X)= ，则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x 1 ，x 2 ，x n )为来自总体(X 1
25、 ，X 2 ，X n )的观察值，则关于参数 的似然函数为 令 ，得参数 的最大似然估计值为 参数 的最大似然估计量为 34.设总体 X 的密度函数为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 L()=f(x 1 )f(x 2 )f(x n )= ， ，令 ，得 ，则参数 的最大似然估计量为 设总体 X 的密度函数为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 ，令 ，则 的矩估计量为(2).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，D(X)=E(X 2 )-E(X) 2 = ， 35.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 （分数：4.
26、00）_正确答案：()解析：解 参数 的似然函数为 当 x i (i=1，2，n)时， ，因为 ，所以lnL()随 的增加而增加，因为 x i (i=1，2，n)，所以参数 的最大似然估计值为 36.一自动生产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布 N(， 2 )，任取 9 袋测得其平均重量为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 2 未知，所以选择统计量 ，查表得 ， 由 得 的置信度为 0.95 的置信区间为 37.某厂生产某种产品，正常生产时，该产品的某项指标服从正态分布 N(50，3.8 2 )，在生产过程中为检验机器生产是否正常，随机抽取 50 件产品，其平均指标为 x=5
27、1.26(设生产过程中方差不改变)，在显著性水平为 =0.05 下，检验生产过程是否正常 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 H 0 ：=50，H 1 ：50，取统计量 ，当 =0.05 时，z 0.025 =1.96，H 0 的接受域为(-1.96，1.96)，因为 =2.35 38.某批木材的直径服从正态分布，从中随机抽取 20 根，测得平均直径为 x=32.5cm，样本标准差为15问在显著性水平为 0.05 下，是否可以认为这批木材的直径为 30cm? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 H 0 ：=30，H 1 ：30已知总体 XN(， 2 )， =32.5，因为 2 未知，所以取统计量 ，查表得 t 0.025 (19)=2.093，则 H 0 的接受域为(-2.093，2.093)，而
