1、考研数学一-428 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 f(x)的反函数为 g(x)记 （分数：4.00）A.x=0必是 F(x)的可去间断点B.x=0必是 F(x)的跳跃间断点C.x=0必是 F(x)的连续点D.x=0必是 F(x)的第二类间断点2.函数 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 xe x (C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)满足的一个微分方程是（分数：4.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“=y“+y“+y=0C.y“+y“-y“+y=0D.y“-y
2、“-y“-y=03.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在三阶导数，且 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=a0，则（分数：4.00）A.f(x0)是 f(x)的极小值B.f(x0)是 f(x)的极大值C.存在 0，使得对任意的 x(x0-，x0)，曲线 y=f(x)是凹的；对任意的 x(x0，x0+)，曲线y=f(x)是凸的D.存在 0，使得对任意的 x(x0-，x0)，曲线 y=f(x)是凸的；对任意的 x(x0，x0+)，曲线y=f(x)是凹的4.设函数 （分数：4.00）A.b为任意常数，a=0B.b为任意常数，a=eC.a为任意常数，b=0D.a为任意常数，
3、b=e5.设 a，b，c，d，e，f 均为常数，则下列向量组线性无关的为 A. 1=(1，-1，0，2) T， 2=(0，1，-1，1) T， 3=(0，0，0，0) T B. 1=(a，b，f) T， 2=(b，c，d) T， 3=(c，d，a) T， 4=(d，a，b) T C. 1=(a，1，b，0，0) T， 2=(c，0，d，1，0) T， 3=(e，0，f，0，1) T D. 1=(1，2，1，5) T， 2=(1，2，3，6) T， 3=(1，2，5，7) T， 4=(0，0，0，1) T（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列矩阵中与矩阵 合同的矩阵是 A B C D （分数
4、：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B，C 是随机事件，且 （分数：4.00）A.0B.0.25C.0.5D.18.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布对 X进行独立重复的观测，直到出现大于 1的观测值时停止，记 Y为观测次数，则 PY=3= Ae -2 (1-e 2 ) 3 Be -2 (1-e -2 ) 2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.幂级数 （分数：4.00）11.已知函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=(x+y)dx+(x-y)dy，且 f(0，0)=1，则 f(x，y)= 1 （分数：4.
5、00）12.设是柱面 x 2 +y 2 =1上由 x0，y0 及 1z3 所限定的那部分曲面的后侧，则曲面积分 （分数：4.00）13.设矩阵 （分数：4.00）14.设随机变量 X的概率分布为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 u=f(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 e yz -xy=1所确定，求 du与 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在0，1上可导，且 （分数：10.00）_18.计算 ，其中 为曲面 （分数：10.00）_19.将函数 展开成 x的幂级数，并求级数 （分数
6、：10.00）_20.设 A为 5行 4列的矩阵，A 的秩为 2向量 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T ， 3 =(5，-1，-8，9) T 是线性方程组 Ax=0的解，求 Ax=0的解空间的标准正交基 （分数：11.00）_21.设矩阵 （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_23.设总体 X的概率分布为 X 1 2 4 P 1- (1-) 2 其中 (01)为未知参数，利用总体 X的如下样本值： 1，4，1，2，4，1，2，1， 求 的矩估计值和最大似然估计值 （分数：11.00）_考研数学一-428 答案解
7、析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 f(x)的反函数为 g(x)记 （分数：4.00）A.x=0必是 F(x)的可去间断点B.x=0必是 F(x)的跳跃间断点C.x=0必是 F(x)的连续点 D.x=0必是 F(x)的第二类间断点解析：解析 题中说 f(x)的反函数是 g(x)，根据反函数的性质有 fg(x)=x，所以有 F(x)=2.函数 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 xe x (C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)满足的一个微分方程是（分数：4.00）A.y“-y“-y
8、“+y=0 B.y“=y“+y“+y=0C.y“+y“-y“+y=0D.y“-y“-y“-y=0解析：解析 由题意，(C 1 +C 3 x)e x 是特征方程的二重根 1对应的项，C 2 e -x 是特征方程的单根-1对应的项因此，特征方程为(r-1) 2 (r+1)=0，即 r 3 -r 2 -r+1=0从而可知所求方程为 y“-y“-y“+y=03.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在三阶导数，且 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=a0，则（分数：4.00）A.f(x0)是 f(x)的极小值B.f(x0)是 f(x)的极大值C.存在 0，使得对任意的 x(x0
9、-，x0)，曲线 y=f(x)是凹的；对任意的 x(x0，x0+)，曲线y=f(x)是凸的D.存在 0，使得对任意的 x(x0-，x0)，曲线 y=f(x)是凸的；对任意的 x(x0，x0+)，曲线y=f(x)是凹的 解析：解析 本题需用到如下结论： 设 f(x)在 x=x 0 处 n阶可导(也就是说 f(x 0 )，f“(x 0 )，f“(x 0 )，f (n) (x 0 )均存在)，且f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f (n-1) (x 0 )=0，f (n) (x 0 )0(n2) 情况：若 n为偶数且 f (n) (x 0 )0，则 x=x 0 为极大值点； 情况：若 n为
10、偶数且 f (n) (x 0 )0，则 x=x 0 为极小值点； 情况：若 n为奇数，则 x=x 0 不是极值点而是拐点 由于题中说 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=a0，故根据以上结论可得 x=x 0 不是极值点而是拐点，所以函数值 f(x 0 )既不是函数 f(x)的极大值，也不是函数 f(x)的极小值，所以选项 A和选项 B都是错误的 由于题中说 f“(x 0 )=a，说明函数 f“(x)在 x=x 0 。处可导根据可导的定义可知 将题中说的 f“(x 0 )=a代入式(1)，得 将题中说的 f“(x 0 )=0代入式(2)，得 由式(3)可知 由于题中说
11、a0，所以有 下面使用极限的局部保号性 首先，对式(4)使用保号性，立刻可得：必存在一个 x 0 的右去心邻域，使得当 x在此邻域内取值时，有 既然 x是在 x 0 的右去心邻域内取值，那么就是说 xx 0 ，所以 x-x 0 0由于 4.设函数 （分数：4.00）A.b为任意常数，a=0B.b为任意常数，a=eC.a为任意常数，b=0D.a为任意常数，b=e 解析：解析 首先求出函数 f“(x)对于分段点来说，要用导数的定义式来求；对于其他点来说，直接用导数公式来求即可 先用导数的定义式求 f(x)在 x=0处的导数： 然后，要分 和 来做因为如果不分，那么就不知道要将 f(x)显化成什么因
12、此有 本题说函数 f“(x)连续，这就暗示函数 f“(x)存在，既然函数 f“(x)存在，则 f“(0)存在由于 f“(0)存在，所以肯定有 5.设 a，b，c，d，e，f 均为常数，则下列向量组线性无关的为 A. 1=(1，-1，0，2) T， 2=(0，1，-1，1) T， 3=(0，0，0，0) T B. 1=(a，b，f) T， 2=(b，c，d) T， 3=(c，d，a) T， 4=(d，a，b) T C. 1=(a，1，b，0，0) T， 2=(c，0，d，1，0) T， 3=(e，0，f，0，1) T D. 1=(1，2，1，5) T， 2=(1，2，3，6) T， 3=(1，2
13、，5，7) T， 4=(0，0，0，1) T（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 单位向量组(1，0，0) T ，(0，1，0) T ，(1，0，0) T 是线性无关的，而如果某个向量组线性无关，则增加维数后(相应的位置)仍线性无关6.下列矩阵中与矩阵 合同的矩阵是 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 两个对称矩阵合同的充分必要条件是：将这两个矩阵写为二次型，再化为标准形，则两个标准形的正负惯性指数相同 将 对应的二次型写为 ，用配方法(用正交变换法也可)将其化为标准形 7.设 A，B，C 是随机事件，且 （分数：4.00）A.0 B.0.25C.0.5D
14、.1解析：解析 由 可知 ，即-P(AB)=P(AB) 根据加法公式，-P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)，即 P(A)+P(B)=0 由于 0P(A)1，0P(B)1，故 P(A)=P(B)=0 由于 P(A)=0，又 8.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布对 X进行独立重复的观测，直到出现大于 1的观测值时停止，记 Y为观测次数，则 PY=3= Ae -2 (1-e 2 ) 3 Be -2 (1-e -2 ) 2 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 X 的概率密度为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：x-2ln|1-e
15、x |+C 解析 10.幂级数 （分数：4.00）解析：2，4 解析 由于 故原级数与 的收敛域相同 令 t=(x-3) 2 ，则 变为 当 t=1时，级数成为 ，该级数收敛；当 t=-1时，级数成为 ，该级数发散 故 11.已知函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=(x+y)dx+(x-y)dy，且 f(0，0)=1，则 f(x，y)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由 dz=(x+y)dx+(x-y)dy可知 等式两边分别对 x、y，积分得 比较两式得 由 f(0，0)=1 得 C=1，故 12.设是柱面 x 2 +y 2 =1上由 x0，y0 及 1z3 所限定的那部分曲面的后侧
16、，则曲面积分 （分数：4.00）解析： 解析 如下图， 13.设矩阵 （分数：4.00）解析： 解析 设 则 ，因此，只要计算出 B n 和 C n 即可 求 B n ，记 则 B= T 由于 T =2，所以 求 C n 将矩阵 C写为 ，由二项式定理可求得 所以 14.设随机变量 X的概率分布为 （分数：4.00）解析：2 解析 由 可知 ，故 X服从参数为 的泊松分布于是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.设函数 u=f(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 e yz -xy=1所确定，求 du
17、与 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 F(x，y，z)=e yz -xy-1，则 F x =-y，F y =ze yz -x，F z =ye yz 于是 从而 故 17.设函数 f(x)在0，1上可导，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 设辅助函数为 F(x)=e -x2 f(x) 根据积分中值定理，在区间 上存在一点 ，使得 f(1)=e 1-2 f() 又由于 F(1)=e -1 f(1)，F()=e -2 f()，故 F()=F(1) 由于函数 F(x)在闭区间，1上连续，在开区间(，1)内可导，且 F()=F(1)，所以根据罗尔定理可知存在 18.计算 ，
18、其中 为曲面 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法 1 如下图， 原式 解法 2 19.将函数 展开成 x的幂级数，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 可知-3x3，故展开式成立的范围是(-3，3) 对展开式令 x=1，则 ，从而 20.设 A为 5行 4列的矩阵，A 的秩为 2向量 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T ， 3 =(5，-1，-8，9) T 是线性方程组 Ax=0的解，求 Ax=0的解空间的标准正交基 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由于矩阵 A为 5行 4列的矩阵，且 r(A)=2，可知齐次方程组
19、 Ax=0的基础解系中含有 4-2=2个解向量 本题给出了齐次线性方程组的三个解向量 1 ， 2 ， 3 ，所以这三个解向量肯定是线性相关的由于两个不成比例的向量是线性无关的，所以 1 ， 2 是线性无关的又因为齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个向量，所以 1 ， 2 可以作为齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系 已证明向量 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系，现把向量 1 ， 2 先利用施密特正交法正交化，然后再将正交化之后所得的两个向量单位化 正交化的过程如下： 取 再将 1 ， 2 单位化， 21.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 矩阵 A
20、是 4阶实对称方阵，肯定有 4个实特征值现求这 4个特征值 令|A-E|=0，即 解得 1 =-2， 2 = 3 = 4 =2 当 1 =-2时，特征向量为 其中 k0 当 2 = 3 = 4 =2时，特征向量为 ，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 不同时为 0 记 f(x)=x 3 -2x+5，又由于 B=A 3 -2A+5E，故 4阶矩阵 B的四个特征值分别为 f( 1 )，f( 2 )，f( 3 )，f( 4 )f( 1 )=f(-2)=-8+4+5=1，对应的特征向量为 f( 2 )=f( 3 )=f( 4 )=f(2)=8-4+5=9，对应的特征向量为 由此可知，矩阵 B有三重根特征
21、值 9，此特征值对应的特征向量的最大无关组中含三个向量，所以矩阵 B可以对角化(B 可以相似于对角矩阵)所以，当 时， 22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 X 的边缘概率密度为 由 可知 故 当 x0 时， 23.设总体 X的概率分布为 X 1 2 4 P 1- (1-) 2 其中 (01)为未知参数，利用总体 X的如下样本值： 1，4，1，2，4，1，2，1， 求 的矩估计值和最大似然估计值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 ，解得 (舍去)，故 的矩估计值为 对于给定的样本值，似然函数为 L()=(1-) 4 (1-) 2 ( 2 ) 2 = 6 =(1-) 6 取对数，得 lnL()=6ln+6ln(1-) 两边对 求导，得 令 ，解得 ，故 的最大似然估计值为
