1、考研数学一-427 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设随机变量 X 的概率密度函数为 （分数：1.00）2.设离散型随机变量 X 的分布函数为 （分数：1.00）3.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1 （分数：1.00）4.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0= 1 （分数：1.00）5.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：1.00）6.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y-2)= （
2、分数：1.00）二、选择题(总题数：8，分数：8.00)7.设随机变量 ，且满足 P(X 1 X 2 =0)=1，则 P(X 1 =X 2 )等于_ A0 B C （分数：1.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于_ A （分数：1.00）A.B.C.D.9.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表不概率 P(-Xa，Yy)，则下列结论正确的是_（分数：1.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(+，y-0)-F(-a，y-0)D.F(+，y)-F(-a，y)10.设随机变量 X，Y 相互独
3、立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则_ AP(X+Y0)= BP(X+Y1)= CP(X-Y0)= DP(X-Y1)= （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则_ APmax(X，Y)0= BPmin(X，Y)0= CP(X+Y0)= DP(X-Y0)= （分数：1.00）A.B.C.D.12.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1)= ，P(X1)=P(Y1)= ，则 Pmin(X，Y)1=_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.13.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分
4、布，p=P(X 2 +9Y 2 9a 2 ，则_ Ap 的值与 a 无关，且 Bp 的值与 a 无关，且 （分数：1.00）A.B.C.D.14.设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是_（分数：1.00）A.X，Y 一定相互独立B.X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，Y 相互独立三、解答题(总题数：29，分数：86.00)15.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布 （分数：3.00）_16.设袋中有
5、 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数 （分数：3.00）_设 （分数：3.00）(1).求 F(x)；（分数：1.50）_(2).求 （分数：1.50）_17.设 X 的密度函数为 若 P(Xk)= （分数：3.00）_有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数（分数：3.00）(1).写出 X 的分布律；（分数：1.50）_(2).求所取到的红球数不少于 2 个概率（分
6、数：1.50）_设连续型随机变量 X 的分布函数为 （分数：3.00）(1).求常数 A，B；（分数：1.00）_(2).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：1.00）_(3).求 （分数：1.00）_18.设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布 （分数：3.00）_设随机变量 X 的密度函数为 （分数：3.00）(1).求常数 A；（分数：1.00）_(2).求 X 在 （分数：1.00）_(3).求 X 的分布函数 F(x)（分数：1.00）_19.设 XN(， 2 )，其
7、分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(-a)+F(a)与 1 的大小关系 （分数：3.00）_20.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数 （分数：3.00）_21.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数 （分数：3.00）_设 X，Y 的概率分布为 （分数：3.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：1.50）_(2).X，Y 是否独立?（分数：1.50）_设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：3.00）(1).求在发车时有 n 个
8、乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：1.50）_(2).求(X，Y)的概率分布（分数：1.50）_袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：3.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：1.50）_(2).第一次抽取后不放回（分数：1.50）_设(X，Y)在区域 D：0x1，|y|=x 内服从均匀分布（分数：3.00）(1).求随机变量 X 的边缘密度函数；（分数：1.50）_(2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：1.50）_设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：3.00）(1).(X，Y
9、)的边缘密度函数；（分数：1.50）_(2).Z=2X-Y 的密度函数（分数：1.50）_随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：3.00）(1).求常数 A；（分数：1.50）_(2).求(X，Y)落在区域 （分数：1.50）_22.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 （分数：3.00）_23.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2X-Y+3 的密度 （分数：3.00）_设 X 在区间-2，2上服从均匀分布，令 （分数：3.00）
10、(1).Y，Z 的联合分布律；（分数：1.50）_(2).D(Y+Z)（分数：1.50）_24.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：3.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：3.00）(1).求 c；（分数：1.00）_(2).求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?（分数：1.00）_(3).求 Z=max(X，Y)的密度（分数：1.00）_设随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：3.00）(1).X，Y 的边缘密度；（分数：1.50）_(2). （分数：1.50）_设(X，Y)的联合密度函数为 （分数：3.00）(1).求 a；（分数：1.00）_(2)
11、.求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；（分数：1.00）_(3).求 f X|Y (x|y)（分数：1.00）_25.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布 （分数：3.00）_设 （分数：3.00）(1).判断 X，Y 是否独立，说明理由；（分数：1.00）_(2).判断 X，Y 是否不相关，说明理由；（分数：1.00）_(3).求 Z=X+Y 的密度（分数：1.00）_设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2
12、+Y 2 求：（分数：3.00）(1).f U (u)；（分数：1.50）_(2).PUD(U)|UE(U)（分数：1.50）_26.设 X，Y 相互独立，且 （分数：3.00）_27.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度 （分数：2.00）_考研数学一-427 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设随机变量 X 的概率密度函数为 （分数：1.00）解析： 解析 因为 F Y (y)=P(Yy)= ， 所以 2.设离散型随机变量 X 的分布函数为 （分数：1.00）解析
13、： 解析 X 的分布律为 Y 的可能取值为 1，2，10， P(Y=1)=P(X=0)= ，P(Y=2)=P(X=1)= ，P(Y=10)=P(X=3)= ， 于是 Y 的分布函数为 3.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1 （分数：1.00）解析： 解析 P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)， 由 X，Y 相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)= 4.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0=
14、1 （分数：1.00）解析：2(1-p) n -(1-p) 2n 解析 令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)=P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)-P(X=0，Y=0)=2(1-p) n -(1-p) 2n5.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：1.00）解析：6 解析 由 ，得 a=6，于是 6.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y-2)= （分数：1.00）解析： 解析 令X1=A，Y-2=B， ， 且 ，则 二、选择题(总题数：8，分数：8.00)7.设随机变量 ，且满足 P(X
15、 1 X 2 =0)=1，则 P(X 1 =X 2 )等于_ A0 B C （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由题意得 P(X 1 =-1，X 2 =-1)=P(X 1 =-1，X 2 =1)=P(X 1 =1，X 2 =-1)=P(X 1 =1，X 2 =1)=0 P(X 1 =-1，X 2 =0)=P(X 1 =-1)= ，P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)= ， P(X 1 =0，X 2 =-1)=P(X 2 =-1)= ，P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 -1)= 8.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1
16、)等于_ A （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由 XU(0，2)，YE(1)得 再由 X，Y 相互独立得(X，Y)的联合密度函数为 则 9.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表不概率 P(-Xa，Yy)，则下列结论正确的是_（分数：1.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(+，y-0)-F(-a，y-0) D.F(+，y)-F(-a，y)解析：解析 P(-Xa，Yy)=P(X-a，Yy) 因为 P(Yy)=P(X-a，Yy)+P(X-a，Yy)， 所以 P(X-a，Yy)=P(Yy)-P(X-a，Yy)=F(+，y-0)-F(-a-0，
17、y-0)，选 C10.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则_ AP(X+Y0)= BP(X+Y1)= CP(X-Y0)= DP(X-Y1)= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1，1)，X+YN(1，2) P(X+Y1)=11.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则_ APmax(X，Y)0= BPmin(X，Y)0= CP(X+Y0)= DP(X-Y0)= （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布， 所以 XYN(0，8)，从而 P(X+Y0)
18、= ，P(X-Y0)= ，故 C、D 都不对； Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-P(X0，Y0)=1-P(X0)P(Y0) 因为 XN(0，4)，YN(0，4)，所以 P(X0)=P(Y0)= ，从而有 Pmax(X，Y)0= ，A 不对； Pmin(X，Y)0=P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)= 12.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1)= ，P(X1)=P(Y1)= ，则 Pmin(X，Y)1=_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 令 A=X1，B=Y1，则 ， Pmin(X，Y)1=1-Pmin(X，Y)1=1-P(X1，Y
19、1)= =P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 13.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=P(X 2 +9Y 2 9a 2 ，则_ Ap 的值与 a 无关，且 Bp 的值与 a 无关，且 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 上服从均匀分布， 所以(X，Y)的联合密度函数为 14.设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是_（分数：1.00）A.X，Y 一定相互独立 B.X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0
20、时 X，Y 相互独立解析：解析 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 B，C，D 都是正确的，只有当 =0 时，X，Y 才相互独立，选 A三、解答题(总题数：29，分数：86.00)15.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，则 X 的可能取值为 0，1，2，3 P(X=0)=P(X 1 =1)= ， P(X=1)=P(X 1 =0，X 2 =1)= ， P(X=2)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =1)= ， P
21、(X=3)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =0)= 所以 X 的分布律为 16.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 X 的可能取值为 1，2，3， 所以 X 的分布律为 ，分布函数为 设 （分数：3.00）(1).求 F(x)；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 F(x)=PXx= 当 x-1 时，F(x)=0； 当-1x0 时， ； 当 0x1 时， ； 当 x1 时，F(x)=1 (2).求 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解
22、 17.设 X 的密度函数为 若 P(Xk)= （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 显然 k6，当 3k6 时， ； 当 1k3 时， 当 0k1 时， 有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数（分数：3.00）(1).写出 X 的分布律；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 令 A k =所取的为第 k 个盒子(k=1，2，3)， ， X 的可能取值为 0，1，2，3，P(X=0)=P(X=0|A 3 ) ， P(X=3)=P(X=3|A
23、 1 )P(A 1 )+P(X=3|A 2 )P(A 2 )= 所以 X 的分布律为 (2).求所取到的红球数不少于 2 个概率（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 设连续型随机变量 X 的分布函数为 （分数：3.00）(1).求常数 A，B；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 因为连续型随机变量的分布函数是连续的， 所以有 ，解得 A=B= (2).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 (3).求 （分数：1.00）_正确答案：()解析：解 18.设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间
24、服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设 T i =第 i 个元件的正常工作时间，T i E()，i=1，2，6 F(t)=PTt，注意Tt表示系统在0，t内一定正常工作 则Tt=(T 1 t+T 2 t)(T 3 t+T 4 t)(T 5 t+T 6 t)， 又 T 1 ，T 2 ，T 6 相互独立同分布，所以有 F(t)=PTt=P(T 1 t+T 2 t) 3 而 P(T 1 t)+T 2 t)=1-PT 1 t，T 2 t=1-PT 1 tPT 2 t=1-1-F T1 (t) 2 所以 T 的分布函数为 设随机变量 X
25、 的密度函数为 （分数：3.00）(1).求常数 A；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 ，解得(2).求 X 在 （分数：1.00）_正确答案：()解析：解 (3).求 X 的分布函数 F(x)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 当 时，F(x)=0； 当 时， ； 当 时，F(x)=1，于是 X 的分布函数为 19.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(-a)+F(a)与 1 的大小关系 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 20.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数 （分数：3.00）_正确答案：(
26、)解析：解 ，-x+ F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 因此 21.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 所以 设 X，Y 的概率分布为 （分数：3.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0， P(X=-1，Y=0)=P(X=-1)= ，P(X=1，Y
27、=0)=P(X=1)= ， P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= (X，Y)的联合分布律为： (2).X，Y 是否独立?（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)=设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：3.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车)，则 P(B|A)=P(Y=m|X=n)= (2).求(X，Y)的概率分布（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 P(X=n，Y=m)
